विकलांची गोळाबेरीज: हे n व त्यांची पिल्लावळ कुठून पैदा झाली? (Importance of ‘n’ in integration)

विक्रम राजा नेहमी प्रमाणेच एकांतात तजविजा करीत वेताळाच्या स्थानाकडे निघाला होता. दर अमावास्येच्या रात्रीचा प्रहर आता महालात बसून सारीपाट खेळण्या ऐवजी काही मननात, विचारात जात होता. त्यातही पदार्थविज्ञानाविषयीच्या विचारांमध्ये व त्याचे दैनंदिन जीवनातील उपयोगांविषयीच्या चर्चेत तर वेताळ फारच रस दाखवत होता. पण विक्रमाचे दीर्घविचारी मन प्रजाजनांना केवळ एक संख्या म्हणून मानत नव्हते. उलटपक्षी प्रत्येक प्रजाजनाच्या मनात आनंद असला तर राज्य ही आनंदी होईल या विचाराने तो सतत कार्यमग्न होता. पिंडी ते ब्रह्मांडी या विचाराने तो आपल्या प्रजाजनांच्या लहान लहान सुखांची काळजी घेतली, तर त्याची गोळाबेरीज म्हणजेच राज्याच्या सुखाची काळजी घेतली जाईल असा विचार तो करत होता. आपल्या कामाने प्रजेला अधिकाधिक आनंद मिळून ती अजून सुखी कशी होईल याचा त्याला निदिध्यासच होता.

“विक्रमा, प्रजेच्या सुखाचा एवढा विचार करणारा तू राजा, मी विचारलेल्या प्रश्नांना मात्र नीट उत्तरे देतच नाहीस. मागील वेळी मी क्षणिक बदलांच्या गोळाबेरजेबद्दल (Integration) विचारले तर कुठल्याकुठे गेलास! 

वारुळावर पाय पडल्यावर लाल मुंग्यांनी पायाला कडकडून चावावं किंवा पोळ्याला आग लावल्यावर मधमाश्यांनी हल्ला करून तोंड सुजवावं तसं तुझ्या त्या n च्या मधमाश्या येतच राहिल्या. काय भानगड आहे ही? आणि या n च्या प्रकोपापासून मुक्ती पावावी म्हणून तुम्ही मानवांनी गोळाबेरजेच्या क्लृप्त्या लढवल्या ना? पटकन सांग नाहीतर मीच मधमाश्याच्या झुंडीसारखा तुझ्यावर हल्ला करेन..याद राख..बोल पटकन..”

“वेताळा, मानवाला फार पूर्वीपासून निसर्गातील विविध गोष्टींची मोजमापे करण्याची सवय. आधी लांबी, मग क्षेत्रफळ, मग घनफळ अशी सूत्रे त्याने चौकोन, आयत, वर्तुळ, त्रिकोण, चौरस, भरीव गोल, विटांसारखे आकार, ठोकळे यांसारख्या नियमित वस्तूंसाठी वापरले. पण मजा अशी आहे की निसर्गातील सर्वच आकार असे नियमित नसतात, किंबहुना बरेच वेळा एखाद्या अनियमित आकाराला मानवाची बुद्धी एखादा त्या सारखा दिसणारा आकार सुचवत असते. मानवाला विविध गोष्टींसाठी या क्षेत्रफळांचे मोजमाप करण्याची गरज पडू लागली (आकृती १)”

“अरे पण काय रे हे राजा..यात सगळे आयतच दिसतायत? बाकी आकारांची क्षेत्रफळे तुम्हाला काढता येत नाहीत?”

“हा अंदाजपंचे कार्यक्रमच होता. आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी (length) x रुंदी (Width) हे मानवाला खूपच आधी समजले होते. झालं. त्याचाच जिथे तिथे वापर सुरू झाला. मग एखाद्या परिसराचे क्षेत्रफळ असो, कापडाचे क्षेत्रफळ असो, चंद्राचा छायेखालील भाग असो. सर्वच ठिकाणी लहानमोठ्या विविध आकारांच्या आयतांच्या सहाय्याने अंदाज लावण्याचे (approximation) तंत्र पहिल्याप्रथम प्राचीन ग्रीकांनी काढले. 

भारतीय वैशेषिकांनाही याचे ज्ञान होतेच. विविध यज्ञांसाठी वेगवेगळ्या आकाराच्या वेदी तयार कराव्या लागत. त्या तयार करण्याची सूत्र शुल्बसूत्रांमध्ये दिली गेली आहेत. शिवाय विविध दिवशी असणाऱ्या चंद्राच्या कला मोजण्यासाठी आर्यभट्टापासूनच त्रिकोणमितीच्या सूत्रांचा वापर सुरू झाला होता. पण यातील अधिक काम हे साधारण १४ व्या शतकात झालेल्या माधव (इ.स. १३४०-१४२५) इत्यादि केरळी गणितींनी केले. केरळ च्या थ्रिसूर जिल्ह्यातील संगमग्रामच्या या माधवांनी गणित व खगोलविज्ञानाच्या केरळी शाखेची स्थापना केली.”

“अरे त्रिकोणमिती आधीच माहित होती तर माधवांचे विशेष कार्य काय?”

“वेताळा, याच माधवांनी अंदाज लावण्याच्या खटपटींतून आपली मुक्तता करण्यासाठी त्रिकोणमिती आणि संख्यामाला यांची सांगड घातली व त्याची माला तयार केली. त्यांचं वैशिष्ट्य म्हणजे चंद्राचा प्रकाशित भाग रोज कसा बदलत जातो हे त्यांनी रेखांशाच्या (longitude) माध्यमातून मोजायला सुरुवात केली. रेखांश मोजण्यासाठी त्यांनी प्रत्यक्ष निरीक्षणांचा आधार घेतला. रेखांश हे अंशांच्या माध्यमातून व्यक्त केले जातात. थोडक्यात काय तर रोज बदलणाऱ्या चंद्रबिंबाच्या परीघ (circumference) मोजमाप करण्यासाठी त्याने संख्यामाला दिली आहे:

समजा s ही चंद्रकलेची लांबी(length of arc), जीवेची(sine) लांबी y, कोटीजीवेची(cosine) लांबी x आणि वर्तुळाची त्रिज्या (radius) ही r धरूया.

माधवाच्या सिद्धांतानुसार कलेची लांबी(s) ही खालील सूत्राने दिली आहे

s = ((1/1)(y.r/x)+(1/5)(y.r/x)(y²/x²)(y²/x²)+…)-((1/3)(y.r/x).(y²/x²)+(1/7).(y.r/x)(y²/x²)(y²/x²) (y²/x²)+…)  

हीच गोष्ट आधुनिक पद्धतीने लिहायची झाल्यास जर त्या कलेने केंद्राशी केलेला कोन θ इतका असेल तर s=rθ या न्यायाने

rθ = rsinθ/cosθ – (1/3)r(sinθ)³ /(cosθ)³+(1/5)r(sinθ)⁵ /(cosθ)⁵-(1/7)r(sinθ)⁷ /(cosθ)⁷+...

अधिक सोप्या भाषेत सांगायचं झाल्यास

θ = tanθ – tan³θ/3+tan⁵θ/5-tan⁷θ/7+…  

या अनिर्बंध संख्यामालेत (Infinite Series) जितक्या अधिक किंमती घालत जाऊ तितके अचूक उत्तर मिळेल. माधवानंतर ३०० वर्षांनी जेम्स ग्रेगरी नेही हीच माला प्रतिपादित केली. आता सर्वमान्यापणे या मालेला माधव-ग्रेगरी-लिबनिझ संख्यामाला म्हणतात.”

“पण विक्रमा, या संख्यामालांतून मिळणारे कलांचे मोजमाप किती बरोबर आहे हे ते कसे पाहात होते?”

“वेताळा, महर्षि भारद्वाजांनी अंशुबोधिनी या ग्रंथात ध्वांतप्रमापक यंत्राची (spectrometer) रचना दिली आहे..त्या द्वारे दूरच्या ताऱ्यांच्याही प्रकाशाचा अभ्यास करणे शक्य होते..त्या मानाने चंद्र तर अगदीच जवळचा म्हणायला हवा..”

“असो दे  जाऊदे. पण विक्रमा या गोळाबेरजेत n कुठून शिरले हे सांगत का नाहीस?”

“वेताळा हा n म्हणजे खरेतर कितीही लहान किंवा मोठी होऊ शकणारी संख्या. अनियमित, ओबडधोबड आकारात बसणारे आयत किती तर n. कारण किती आयत बसतील हे सांगता येत नाहीत. वर दिलेल्या संख्यामालेत  असे  संख्यांचे किती डबे एकमेकाला जोडावे लागतील, तर ते ही उत्तर n. कारण अचूक उत्तर येण्यासाठी ही बेरजांची गिरणी n वेळा फिरवत बसवावी लागणार आहे. n म्हणजे अनेक एवढाच ढोबळ अर्थ घ्यायचा. किंवा दुसऱ्या बाजूने विचार केल्यास n म्हणजे उत्तर अचूक येण्यासाठी किती वेळा त्या गणिती प्रक्रीयेची आवर्तने करावी लागतील ती आवर्तनांची संख्या. तुम्हाला जितकी अचूकता पाहिजे तितक्या वेळा हे दळण दळत बसा.”

“पण म्हणजे n हे ते लहान मोठ्या आकाराचे आयत?”

“नाही वेताळा, अंदाजाने क्षेत्रफळ काढण्याच्या तंत्रातसुरुवातीला असे केले जाई. पण त्यानंतर मात्र अतिशय लहान(infinitesimal) आकाराच्या एकसमान क्षेत्रफळाचे असे n आयत अशी संकल्पना रूढ झाली.”

“पण अतिशय लहान, अतिशय लहान म्हणजे काय म्हणायचंय तुला? तुम्हा माणसांना इतकी लहान मोजमापे करता तरी येतात का?”

हो वैशेषिकांना लांबीच्या मोजमापाची खालील एकके माहित होती (स्रोत: Physics In Ancient India – N.G. Dongre, S.G. Nene)

वैशेषिक	आधुनिक
८ परमाणु =  १ त्रासरेणू
८ त्रासरेणु = १ रेणु
८ रेणु = १ बालाग्र
८ बालाग्र = १ लिख्य
८ लिख्य = १ युका
८ युका = १ यवा
८ यवा = १ अंगुली
२१ अंगुली = १ रत्नी	10 mm = 1cm
२४ अंगुली = १ हस्त	10 cm = 1 decimetre
४ हस्त = १ दंड	10 decimetre = 1 m
९६ अंगुली = १ दंड	10 m = 1 decametre
२००० दंड = १ क्रोश	10 decametres = 1 hectometre
४ क्रोश = १ योजन	10 hectometre = 1 kilometre
८००० दंड = १ योजन	8 kilometres = 5 miles

“अरे विक्रमा, या दोन मोजमापात काही संबंध आहे की नाही?”

“आहे ना..मीटर आणि दंड या दोन एककांमध्ये तुलना करण्यासारखी आहे. सूर्यसिद्धांतानुसार, पृथ्वीची त्रिज्या ८०० योजने आहे. या ग्रंथाच्या पान २६४ वर श्लोक आहे

एकस्मिन् योजने चत्वार: क्रोशा: प्रतिकोश: सहस्त्रद्वय दण्ड:, प्रतिदण्डं चत्वारो हस्ता:, इत्यादय:‌|

म्हणजे १ योजन = ८००० दण्ड. पृथ्वीची त्रिज्या सेंटीमीटर च्या हिशेबात ६.३७ x १० ^८ सेंटीमीटर एवढी भरते.

म्हणजेच १ योजन = ८००० मीटर. अर्थात १ दण्ड = १ मीटर.

शिवाय १ दण्ड = ९६ अंगुली आणि १ मीटर = १०० सेंटिमीटर. अर्थात १ अंगुली = १.०४१६७ सेंटीमीटर (अंदाजे)” (स्रोत: Physics In Ancient India – N.G. Dongre, S.G. Nene)

“मग राजा या परमाणूचा आकार किती झाला?”

“परमाणूचा आकार १ परमाणू = ०.४९६७ x १०^-८ सेंटीमीटर”

“विक्रमा, हे झाले लांबीचे मोजमाप, पण ज्या काळात हे मोजमाप घेतोयस, त्या काळाची मोजमापे काय आहेत?”

“वेताळा, सूर्यसिद्धांत या ग्रंथाच्या मानाध्यायात कालमापनाच्या ९ पद्धती सांगितल्या आहेत

ब्रह्मं दिव्यं तथा पित्र्यं प्राजापत्यं च गौरवम् |

सौरंच सावनं चान्द्रं आर्क्षं मानानि वै नव ||

अर्थात ब्रह्म, दिव्य, पित्र्य, प्रजापत्य, गौरव, सौर, सावन, चान्द्र, आर्क्ष हे कालमापनाचे नऊ प्रकार आहेत. त्यापैकी सावन दिन आणि आधुनिक दिवस हे सारखे आहेत.

सावन दिन	आधुनिक दिवस
६० विपल = १ पळ
६० पळे = १ घटी (नाडी / दण्ड)	60 seconds = 1 minute
२ १/२ घटी = १ होरा	60 minutes = 1 hour
२४ होरा = १ सावनदिन	24 hours = 1 solar day

“म्हणजे विक्रमा, आधुनिक तास (hour) हा एका  होराइतका असतो.” (स्रोत: Physics In Ancient India – N.G. Dongre, S.G. Nene)

“वेताळा १ तासात १ मीटर विस्थापन ही तितकीशी साधी सोपी गोष्ट नाही. विशेषकरुन कोणती वस्तू/ पदार्थ आहे, तिचा आकार परमाणू एवढा आहे, का केसाएवढा आहे, की भोपळ्या एवढा आहे की पृथ्वीएवढा हे महत्वाचे. तिचा वेग कासवाएवढा आहे, वटवाघळा एवढा आहे, चित्त्याएवढा आहे का थेट प्रकाशाशाशी स्पर्धा करणारा आहे हे पाहून मग t चे लहान लहान तुकडे करावे लागतात. खालील आकृतीमध्ये १ मीटर मध्ये विविध किती प्रकारचे आकार बसू शकतात आणि १ तासामध्ये किती तुकडे (n) होऊ शकतात हे दाखवले आहे.” (आकृती : n च्या किंमती)

“अरेच्चा म्हणजे पहिल्यांदा अनियमित आकाराचे (Irregular shape) क्षेत्रफळ काढण्यासाठी पहिल्यांदा वेगवेगळ्या आकाराचे आयत कोंबणे (approximation), मग आयतांऐवजी संख्यामाला आल्या (number series) व त्यानंतर विकलांच्या गोळाबेरजेचं (Integration) तंत्र अवलंबिलं..पण आकारावरून थेट वेग, त्वरणाकडे उडी कधी मारली?”

“वेताळा जेव्हा या भौतिकराशी एकरेषीय (linear equation) व वर्गसमीकरणांद्वारे(quadratic equation) आलेखाच्या स्वरूपात दाखवायला सुरुवात झाली तेव्हा या राशीच्या विकलेची(anti-derivative) किंमत काढण्यासाठी या आलेखाचे क्षेत्रफळ मोजायचं तंत्र वापरायला सुरुवात झाली.”

“अरे विक्रमा, असे काही अवघड बोलायला लागलास की उदाहरण देत जा बरं? दर वेळी का सांगायला लावतोस?”

“म्हणजे त्वरणासाठीचं समीकरण घेतलं आणि त्याचा आलेख काढला, तर त्या आलेखाचं क्षेत्रफळ म्हणजे वेग, वेगाच्या आलेखाचं क्षेत्रफळ म्हणजे विस्थापन..”

“अरे किती वेळा तेच तेच सांगशील? पण मला सांग, जर एखाद्या बाह्यबलाने १किलोची वस्तू १ मीटर पर्यंत सरकवली तर त्या वस्तूने किती कार्य(work) केले हे तुला माहिती आहे का? की तुम्हा माणसांची बुद्धी या विस्थापन-वेग-त्वरणाच्या चरकातच रुतून बसली आहे..पण हे रे काय हा प्रहर संपला..मला तुझ्या गप्पा ऐकण्यासाठी एका पळाचीच काय एका विपळाचीही उसंत नाही..हा मी चाललो..पुन्हा भेटू राजा..नवीन सांग काही पुढच्या वेळी..तोच तोच पणा पुरे झाला..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

राजावरचं अरिष्ट टळलं असं वाटलं पण त्याचं हे दुष्टचक्र मात्र चालूच राहणार हे पाहून वनातील पशुपक्ष्यांनी सुस्कारा टाकला. पण विक्रमाने सांगितलेल्या मापांबद्दल सगळेच जण विचार करु लागले. हत्ती किती दंडाचे? हरणे किती हस्तांची? गांडुळे अर्ध्या अंगुळीची की पाऊण, मुंग्यांनी वारुळाबाहेर येऊन त्यांना लागू असणाऱ्या मापाविषयी चर्चा करायला सुरुवात केली,..शेजारच्या तळ्यातला चंद्र ही हसतच होता..तो पृथ्वीला म्हणत होता “या मानवांच्या मोजमापांच्या कचाट्यातून आपण तरी कुठे सुटलोय?”

(क्रमश:)

मुख्य पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्याजंगलात 
संदर्भ सूची (Bibliography)