गतिविषयक समीकरणे: विस्थापन, वेग, त्वरण यांना सांधणारे दुवे आणि भास्कराचार्यांची लीलावती(Kinematic Equations and Bhaskaracharya)

राजा विक्रम शत्रूंच्या कारवायांमुळे चिंतातूर झाला होता. शत्रूंचे हेर राज्यात नर्तक, खेळाडू, व्यापारी, साधू-सन्याशी, चोर, डाकू, जवाहिरे अशा सर्व प्रकारच्या रूपांमध्ये फिरत होते.त्यांना शोधून काढणे महाकठीण काम होते. त्या सर्वांचे काही लागेबांधे, काही सूत्र खासच होते. पण ते काय हे कळत नव्हते. त्याची चिंता करत करत विक्रमाने सवयीनेच ते शव खांद्यावर घेतले व तो चालू लागला. चंद्राचे अमावस्येला लुप्त होणे, मग राजाने जंगलाकडे निघणे, वेताळाशी विज्ञानातील भुतांविषयी बोलणे आणि संपता –संपता  वेताळाने चकवा देऊन निघून जाणे हेच एक सूत्र बनले होते.

“राजा, किती रे विचारांचे गुंते निर्माण कसतोस आणि मग ते सोडविण्यासाठी सूत्रे शोधत बसतोस. आपणच गुंते निर्माण करायचे आणि आपणच ते सोडवत बसायचे हा मानवांचा आवडता छंदच आहे. पण एखाद्या बाह्यबळाने (external force) ढकलून दिल्यावर जी भूतांची पिल्लावळ त्या वस्तूच्या मानगुटीवर बसते त्यांना ओळखण्याचं काही सूत्र आहे का? विस्थापन (displacement), वेग(velocity), त्वरण(acceleration)-मंदन(deceleration) यांना जोडणारं काही सूत्र तुम्ही शोधलंय का?”

“वेताळा माणसाच्या बुद्धी वापरण्याच्या सवयी तू चांगलाच ओळखतोस. मानवाने प्रथम विस्थापन आणि वेग यांच्यातला संबंध कल-विकलांच्या सहाय्याने प्रस्थापित केला. मग त्यानंतर तेच तंत्र वापरून वेग आणि त्वरण-मंदन यांच्यातला संबंध प्रस्थापित केला. साहजिकच आता विस्थापनाचा थेट त्वरण-मंदनाशी संबंध जोडण्याचा प्रयत्न माणसाने केला आणि समीकरणे शोधून काढली. तसं पाहायचं तर डोळ्यांना फक्त या बाह्यबलामुळे वस्तू सरकलेली दिसते, पण वेग, त्वरण-मंदन, संवेग किंवा जोर आणि बळ या गोष्टी जाणिवेच्या पातळीवरच असतात. जाणिवेच्या पातळीवर असणारे बळ वापरून ती वस्तू सरकवण्याचा दृश्य परिणाम कसा काय घडला याचे कुतुहल माणसाला स्वस्थ बसू देईना व म्हणूनच या गोष्टींचा प्रत्यक्ष अभ्यास करण्याची माणसाची इच्छा झाली. त्यातूनच तो निरीक्षणे व प्रयोग करत गेला आणि निष्कर्ष काढत गेला. या बुद्धीनेच..” (आकृती १)

 “विक्रमा पुरे कर रे मानवी बुद्धीची स्तुती! ”

“सांगतो, सांगतो. समजा एखादी वस्तू बाह्यबलाने ढकलल्यामुळे काही अंतर(s) गेली. समजा तिचा निघतानाचा व

पोहोचल्यावरचा वेग(velocity) सारखाच राहिला,  तर वेग-काल आलेख (velocity-time graph) कसा दिसेल? (आकृती २)

आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे अंतर(s) = v x t

पण याच ठिकाणी समजा वस्तूचा आरंभिचा वेग (u) मार्गक्रमण करताना वाढला व अंतिम वेग (v) जास्त झाला तर पर्यायाने त्वरण तिथे आलेच. तर वेग – काळ आलेख कसा दिसेल?” (आकृती ३)

  

या ठिकाणी असं लक्षात येतं की दर सेकंदाला वेग u, (u+at), (u+2at)…असा होत जाईल.

अंतिम वेग v ची किंमत भास्कराचार्यांच्या पुढील सूत्राने काढता येईल 

(स्रोत: Kanada’s Science of Physics – N.G. Dongre, S.G. Nene)

व्यैकपदघ्नचयो मुखयुक्स्यादन्त्यधनम् |--(लीलावती)

यात

·        मुख – first term – u,

·        अन्त्य – last term – v,

·        चय – बदल (change) – a,

·        पद – number of terms – t+1

अर्थात,  

शेवटचे पद(अन्त्य) = (एकूण पदसंख्येतून(t+1) एक कमी करणे x समान बदल(a)) +  पहिले पद (u)

किंवा v = u + at किंवा at = (v – u) किंवा t =(v-u)/a ----------------(१)”

“अरे पण राजा, त्वरण आणि विस्थापनातील संबंधाचे काय?”

“सांगतो वेताळा. सूत्ररूपात सिद्ध करायची असल्यास लीलावतीमधील खालील श्लोकाचा आधार घ्यावा लागतो 

(स्रोत: Kanada’s Science of Physics – N.G. Dongre, S.G. Nene)

मुखयुग्दलितं तत् (अन्त्यधनम्) मध्यधनम् |--(लीलावती)

सरासरी (मध्य) = (मुख + अन्त्य)/2

सरासरी वेग = (u + v)/2 = (u+u+at)/2=(2u+at)/2 = u +at/2

म्हणूनच अंतर (s) =  सरासरी वेग x काळ

S = (u+at/2)xt = ut + at²/2

थोडं भूमितीच्या भाषेत किंवा आलेखाच्या भाषेत सांगायचं झाल्यास

एकूण विस्थापन = आयताचे क्षेत्रफळ + त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

S = u x t + (v-u)xt/2

या समीकरणात (१) प्रमाणे (v-u) = at ही किंमत घातली तर

S = ut + (at)xt/2 किंवा S = ut + 1/2at²------------- (२)

वेताळा हा पहा झाला विस्थापन आणि त्वरणातील संबंध.”

“पण राजा, जर आरंभीचा वेग, त्वरण आणि कापलेले अंतर माहित असेल तर अंतिम वेग काढता येईल का?”

“का नाही वेताळा. पण तू आता खरोखरीच माणसासारखा प्रश्न विचारलास..तर आपण सरासरी वेग सरासरी वेग  (v+u)/2 आहे असे पाहिले.

आता  कापलेले अंतर (s) = सरासरी वेग x लागलेला कालावधी = (v+u)xt/2

या समीकरणात जर समीकरण (२) वरून t=(v-u)/a अशी किंमत घातली तर

S = (v+u)x(v-u)/2a

S = (v²-u²)/2a

V²-u² = 2as म्हणजेच v² = u² + 2as ----------------(३) 

”मग आता सांगा, जर आरंभीचा वेग, त्वरण आणि कालावधी माहित असेल तर अंतिम वेग कसा काढणार?

“पहिल्या समीकरणाने” एक हुशार काजवा म्हणाला.

“आणि जर आरंभीचा वेग, त्वरण आणि विस्थापन माहित असले तर कुठले सूत्र?”

“दुसऱ्या समीकरणाने” दुसरा काजवा उत्तरली”

“आणि जर..” त्या काजव्याला थांबवता, थांबवता दुसरा काजवा म्हणाला “आता पुरे, या प्रश्नांनीच आमची डोकी खराब झाली आहेत. डोळ्यासमोर काजवे यायला लागले आहेत. आम्ही निघतो. पण भास्कराचार्यांच्या लीलावतीशिवाय ही समीकरणे मिळाली नसती हे लक्षात ठेवा.“

(क्रमश:)   

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

© अनिकेत कवठेकर