द्रव्यांचे जागा बदलणे हे काळाचे फलित कसे? (How come displacement of substance becomes a function of time?)

खाल्ल्या जांभळाची एक बी कुणीतरी मातीत टाकून द्यावी. जमिनीच्या पोटात तिने दडून बसावं, मायेची ऊब घ्यावी, आपुलकीचा ओलावा घ्यावा व थोड्या काळाने एका छोट्याशा अंकुराच्या स्वरूपात बाहेर प्रकटावं. दिस, मास, वर्षे जावीत व त्याचं महाकाय वृक्षात व्हावं. जमिनीच्या लगतच वाहणारं पाणी तेजाच्या सान्निध्यात यावं व बाष्प होउन जमिनीपासून दूर दूर जावं. काही काळ प्रवास घडावा, ते पाणी काळ्या ढगात साठावं आणि काही कालावधीनंतर पुन्हा ते पाणी पावसातून जमिनीकडे परत जावं. गरम दूधाची वाटी एका थंड पाण्याने भरलेल्या कुंड्यात ठेवावी, थोड्या काळाने पाहावं तर दूध थोडं गार झालेलं असतं व पाणी थोडं गरम. पूजेला बसलेलं असताना मन मात्र कधी खाण्याच्या पदार्थावर, कधी चिंता करायला लावणाऱ्या गोष्टीवर, कधी देवाच्या दिव्यावर तर सारखं उड्या मारत असतं. उद्बत्ती लावल्यावर तिच्या पेटलेल्या टोकाजवळ धुराची छोटी वर्तुळं निर्माण व्हावीत, काही काळानं ती वर्तुळं मोठी मोठी होत विरून जावीत. तरीही त्यांच्यामुळे परिसरात सुगंध पसरावा..एवढंच काय माणसाच्या जन्मानंतर..शैशव, बाल्य, कौमार्य, तारुण्य, प्रौढत्व अशा अवस्थांमध्ये माणसाच्या शरीरात बदल घडत राहावेत..

“विक्रमा आज जरा वेगळ्याच विश्वात दिसतोयस..अरे हे जे विचार तू करतोयस तो काळाचा महिमा आहे रे..काळ जसा जसा पुढे जात राहतो तसतश्या या गोष्टी घडत राहतात..”

“वेताळा काळ हा केवळ नैमित्तिक आहे रे..आपण मागील वेळीच म्हटलं

क्षितिजलज्योतिरनिलमनसां क्रियावत्त्वमूर्त्तत्वपरत्वापरत्ववेगवत्वानि ||23||

स्थायू, द्रव, वायू, तेज व मन हे हालचाल करत असतात, त्यांना जाणीव स्वरूप असते, ते जवळ येऊ शकतात व लांब जाऊ शकतात आणि ते बलप्रयोग करून गती निर्माण करू शकतात. पदार्थविज्ञानाच्या भाषेत बोलायचं झाल्यास वर सांगितलेली पाच द्रव्ये आपल्या नेहमीच्या व्यवहारातल्या हालचालींना कारण घडतात. या द्रव्यांचे एकमेकांवर कुरघोडी करणे, आपटाआपटी करणे, ढकलाढकली करणे या हालचालींना कारण घडते.”  

“मग विक्रमा या हालचालींचा व काल-दिक् यांचा ताळमेळ कसा घालायचा?”

“वेताळा, खरेतर या हालचालींना ही बाह्यबले कारणीभूत ठरतात. आधुनिक भौतिकशास्रज्ञांचा अग्रणी न्यूटन सुद्धा हेच म्हणाला. पण यामुळे होणाऱ्या दृष्य बदलांचा मागोवा कसा घेणार? हे म्हणजे असं आहे वेताळा, की एक माणूस शांत तळ्याकाठी उभा आहे. त्याच्या समोर एक नाव काठावरून निघाली. मुख्य धारेतून पलिकडे गेली. पण हे सगळं लक्षात येण्यासाठी त्या माणसाने एका ठिकाणी स्थिर असलं पाहिजे. म्हणजे नावेच्या जवळ येणे लांब जाणे या हालचालींचा अर्थ लावता येईल. दिक् हे द्रव्य असंच नैमित्तिक आहे. तळ्याकाठी ते आलं. त्याला आरंभबिंदू असं आपण सोयीने म्हटलं. थोडा वेळ गेला, पाहातो तर मानलेल्या आरंभबिंदू पासून नाव जी गेली ती पलिकडच्या काठालाच जाऊन थांबली. तो झाला अंतिमबिंदू. म्हणजे तोही मानलेला. प्रवास संपला.”

“चला संपला एकदाचा.”

“प्रवास संपला, पण माणसाचे विचार इथून सुरु झाले. किती वेळ लागला? मागच्या वेळे पेक्षा जास्त लागला वाटतं. होडीवाल्याने जरा लांबूनच आणलं वाटतं वगैरे. अशा शक्याशक्यता टाळण्यासाठी माणसाने काय केले की घड्याळ नावाचे यंत्र शोधले. पूर्ण सूर्यदिनाचे २४ समान भाग केले, त्याला तास म्हटले. प्रत्येक तासाचे ६० समान भाग केले, त्या भागाला मिनिट म्हणले. प्रत्येक मिनिटाचे पुन्हा ६० भाग केले. त्या भागाला एक सेकंद म्हटले. नशीब म्हणजे सगळ्यांनी मानले की एक सेकंदाला घड्याळाचा काटा एक सेकंदानेच पुढे जाईल.”

“चला, तुमच्यामध्ये कशामध्येतरी एकमत झालं हे ऐकून आनंदच झाला..”

“सगळ्यांमध्ये एकमत झाल्याने प्रत्येक हालचालीसाठी लागणारा काळ एकाने मोजला की सर्वांनीच तो मानला. म्हणून जेव्हा हालचाल झाली, वैशेषिकाच्या भाषेत आरंभ बिंदूपासून(initial position) वियोग झाल्यापासून अंतिमबिंदूशी (final position) संयोग झाला. या विस्थापनाला (s) काही काळ (t) लागला. तर हे विस्थापन काळाचे फलित(function) मानले गेले.”

“काही सूत्र वगैरे आहे का हे?”

“हो, आधुनिक गणिती भाषेत, Displacement = function (time)"

S = f (t) 

“पण या विस्थापनात त्या नावाड्याचे कष्ट कामी पडले ना? काळाने काहीच केले नाही असे तू म्हटलास..काळ नैमित्तिक आहे ना. मग हे काय? यावरून तर असं वाटतं की हे विस्थापन नावाड्याने नाही तर काळाने घडवलं आहे..जणू काही काळच वल्ही मारत होता व नावाडी घोरत पडला होता..”

“कसं आहे वेताळा प्रवासाच्या काळात नावाड्याचेच बळ कामी आलं. पण समोर दिसलं ते केवळ एका ठिकाणापासून दुसऱ्या ठिकाणी जाणंच. बळाचा प्रभाव कमी जास्त होत राहणार पण दिक्-काळ मात्र कायम साथ करणार. म्हणून दिक् किंवा स्थळातला बदल हे काळाचं फलित म्हटलं. ग्रहफळ, राशीफळ हे शब्द तू ऐकलेच असतील. इथेही फळ म्हणजे फलित असाच अर्थ आहे”

“पण काल व दिक् हेच का?”

“थोडं उपमेच्या भाषेत बोलायचं झालं तर क्रिकेट नावाचा एक लोकप्रिय खेळ आहे. यात एकासंघाचे दोन लोक फलंदाजी करतात. प्रतिस्पर्धी संघाचे ११ लोक त्यांना बाद करण्याचा प्रयत्न करतात. हा खेळ निष्पक्षपातीपणे खेळला जावा म्हणून दोन पंच मैदानात उभे असतात. एक गोलंदाज जिथून चेंडू टाकतो तिथे उभा असतो. दुसरा फलंदाजाच्या रेषेत सुरक्षित अंतरावर उभा असतो. ”

“म्हणजे विक्रमा तुला असं म्हणायचंय की दिक् व काळ हे त्या दोन पंचांसारखेच आहेत..”

“हो वेताळा. हे पंच कोणत्याही खेळाडू संघाकडून नसतात. हे पंच खेळणाऱ्या दोन देशांच्या संघाकडून नसतात. शिवाय हे पंच हा क्रिकेटचा सामना कोणी जिंकला यात स्वारस्य घेत नाहीत. सामना चालू असताना ते आपल्या जागेवर स्थिर असतात व डोळ्यात तेल घालून लक्ष देतात. चौकार, षट्कार असल्याचे सांगतात, फलंदाज बाद असल्याचे सांगतात. पण हे पंच ना फलंदाजी करतात ना गोलंदाजी करतात..”

“म्हणजे या पंचांनी नुसते खाणाखुणा करत राहायचे..ना षट्कार ठोकायचे, ना फलंदाज बाद करायचे, ना जल्लोष करायचा, ना एकमेकांना शिविगाळ करायचा..ना कशात गुंतायचे..अरेरे किती अवघड आहे बरं..”

“हेच काम एका अर्थी दिक् व काल अव्याहतपणे करत राहतात..आत्मे व मने ही पृथ्वी, आप, तेज, वायू व आकाशांच्या सहाय्याने काही खेळ खेळत राहतात..दिक् व काल हे त्या खेळात सहभागी न होता केवळ खाणाखुणा देत राहतात..”

“अच्छा विक्रमा, म्हणजे काल व दिक् यांच्या साक्षीने बाकीची द्रव्ये खेळ खेळणार. यात त्यांनी एकमेकांना किती ढकलले, किती आपटले याची नोंद दिक् ठेवणार व त्यासाठी लागलेला वेळ काळद्रव्य नोंदवणार. म्हणून ही सुरुवात S = f(t) अशी झाली. म्हणजे दिक् किंवा स्थळात जो नैमित्तिक बदल झाला ते काळातील नैमित्तिक बदलाचे फलित किंवा परिणाम आहे. पण हा बदल केला मात्र पृथ्वी, आप, तेज, वायु व मन यांनी आपापसावर लादलेल्या बाह्यबलाने.”

“होय खरंय तुझं..”

“पण विक्रमा यात बळाचा अंदाज कसा येणार?”

“वेताळा, आधुनिक काळात यात विस्थापनापासून गती(velocity), गतीपासून त्वरण-मंदन(acceleration-deceleration) हे आलेखाने(graphing) तसेच विखंडन(differentiation) पद्धतीने जाणून घेण्याचे तंत्र विकसित झाले..”

“हो आपण बोललो होतो याविषयी..पण विक्रमा या बळांचे प्रकार कोणते..शिवाय या बळांचा अभ्यास कसा करायचा..कोणत्या दिशेत ते  किती काम करतेय याची तू काहीच कल्पना दिली नाहीस मला..नुसताच त्या बाह्यबळांच्या नावाने शिमगा चालू आहे..आता मात्र मला निघायला पाहिजे कारण तुझा तो काळ माझ्यावरही नजर ठेवून आहे..येतो विक्रमा..पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

खेळात आता कुठे मजा येऊ लागली होती आणि तेवढ्यात वेताळ निसटला हे पाहून तसा बाकीच्यांचा हिरमोडच झाला. पण वेताळ पुन्हा एखाद्या रात्री येणार व विक्रमाशी शाब्दिक झटापट करणार याची सर्वांनाच खात्री झाली होती..त्यामुळे सर्वांनीच विनातक्रार निरोप घेतला..काल व दिक् यांचा अपवाद सोडून..

(क्रमश:)

मूळ कथा: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

विखंडन पद्धत: बदल मोजण्याची गुरुकिल्ली (Differentiation or derivatives: A tool to measure the rate of change)

बदल हा सृष्टीचा स्वभावधर्मच आहे. दिवसा मागून रात्र, उन्हाळ्याच्या झळांवर पाऊसधारांचा उतारा, शैशव-तारुण्य-वार्धक्य, चांगल्या अनुकूल काळानंतर येणारा संकट काळ अशा सृष्टीत नेमाने चालणऱ्या बदलांचा विक्रमाला पुरेसा अनुभव होताच. एक राजा असला तरीही तो एक माणूसच होता, सततच्या युद्धांनंतर त्याच्या प्रजेप्रमाणेच तो ही विश्रांतीसाठी आसुसला होता. पण तरीही त्याला पराभूत शत्रूच्या मनसुब्यांची, त्याच्या लहान सहान हालचालींची, व्यूहात्मक बदलांची माहिती ठेवावीच लागत होती. दुसरीकडे राज्यातील नद्यांना पूर आले होते. त्याचे पाणी शेती आणि घरांना वाहून नेते की काय अशी भिती निर्माण झाली होते. त्यामुळे नदीच्या पाण्याच्या पातळीत क्षणाक्षणाला होणाऱ्या बदलांची बित्तमबातमी तो ठेवत होता. त्याच विचारांमध्ये तो गर्क होता.

“हेरे काय राजा, कुठल्या तारेत चाललायस? आजकाल तुझ्या पाठीवर बसलो तरीही तुझ्या चालण्याच्या वेगात काही फरक नाही. एकसमान, एकाच लयीत चालत जातोस. पण ते जाऊदे. राजा आता मी तुला एक यक्षप्रश्नच विचारतो. इतके दिवस तू मला वेगवेगळ्या भुतांना मोजण्यासाठी तुम्हा माणसांनी तयार केलेल्या विविध परिमाणांची (Units of measure) माहिती देतोस. त्यासाठी भरभरून बोलतोस. विस्थापनाला (displacement) मीटर, वेगाला (velocity) मी/सेकंद, त्वरण/मंदनाला(acceleration) मी/सेकंद२, संवेगाला(momentum) किग्रा मी/सेकंद आणि वजनासाठी न्यूटन. पण हे मोजमाप ती भौतिक राशी एकसमान असेल तो पर्यंत कायम राहणार नाहीतर क्षणाक्षणाला बदलणार. तुम्हा माणसांच्या क्षणभंगुर जीवनाला अशी स्थिर राहणारी मापे कशी जमणार. तुमच्या मनातल्या क्षणिक टिकणाऱ्या विचारांसारखीच विस्थापने, वेग, त्वरण/मंदन, संवेग कायम बदलत राहणार. मग तुम्ही दर क्षणाला बदलणाऱ्या गोष्टी मोजण्यासाठी काही शक्कल लढवलीच असेलच ना? काय आहे ती शक्कल? लवकर सांग मला. नाहीतर तुझ्या डोक्याची शकले झालीच म्हणून समज..मला क्षणाचाही काळ लागायचा नाही तुझं क्षणभंगूर आयुष्य संपवायला!”   

“वेताळा, एखादी वस्तू जागच्या जागीच बसून राहिली असती तर पुढचे प्रश्नच नसते आले. पण सारा घोळ झालाय तो त्या बाहेरच्या बलाने ढकलल्या मुळेच. या बलामुळेच ती वस्तू  ती आरंभी जिथे होती, ज्यावेळी होती त्या पुढील काळात मूळ जागेपासून दुसरीकडे जाते (change in terms of space against the change in terms of time ) आणि सारी भुते तुटून पडतात. हे जे बदल होतात ते त्या बदलासाठी लागलेल्या काळाच्या संदर्भात मोजले जातात. शिवाय हे एकसमान गतीने होतीलच असेही नाही. म्हणूनच हे बदल (Δs) काळाच्या लहान लहान भागांच्या (Δt) किंवा तुकड्यांच्या हिशोबात मोजावे लागतात. काळाचा हा भाग एका युगा पासून एका क्षणापर्यंत कितीही बदलता येऊ शकतो. या पद्धतीलाच विकलन, विखंडन (differentiation) पद्धत म्हणतात.”

“झाले तुझे शब्दांचे खेळ सुरू. नीट उलगडून सांग”

“याचा अर्थ कुठल्याही बदलाचे कालसापेक्ष लहान लहान तुकडे करत जाणे आणि काळाच्या त्या लहानशा तुकड्यात किती बदल झाले ते  पाहणे. थोडक्यात स्थूलातून सूक्ष्मात जाणे (zoom in). यालाच त्या बदलाचा दर असेही आपण म्हणतो. पण हा सरासरी दर नाही. असं बघ वेताळा, समोरून एखादा डोंगर तुला दिसतो आणि तू म्हणतोस अरे हा डोंगर तर हिरवागार आहे. हे झाले ढोबळ विधान.

पण कोणी विचारले की या डोंगरावरील हिरवळीचे प्रमाण कसे कसे बदलते हे सांग तर तुला निव्वळ हिरवेगार असे म्हणून नाही भागणार. तर तुला त्या डोंगराच्या पायथ्यावर, माथ्यावर, उंचीच्या प्रत्येक लहान लहान टप्प्यावर, प्रत्येक ठिकाणी किती झाडी आहे याचा अभ्यास करावा लागतो. यासाठी आपण त्या डोंगराचे लहान लहान चौकोनात विभाजन केले आणि त्या चौकोनातील झाडांच्या संख्येनुसार त्या चौकोनाला गडद हिरव्यापासून(दाट झाडी) ते हिरवट पांढऱ्यापर्यंत (अतिविरळ झाडी) रंग दिला तर ते चित्र खालील प्रमाणे दिसेल. यात आपल्याला हे लक्षात आले की डोंगराचा रंग हिरवाच असला तरीही आता त्याला छटा आल्या. ढोबळ हिरव्या डोंगरापासून ते डोंगराच्या वेगवेगळ्या भागावरील झाडीच्या वेगवेगळ्या हिरव्या छटा  काढत येणे यालाच विकलन किंवा विखंडन म्हणतात. तुला हेही लक्षात येईल की चोकोनाचा आकार जसा जसा लहान होत जाईल तस तसा डोंगरावरील हिरवाईत होणाऱ्या बदलाचे अधिकाधिक कंगोरे आपल्याला लक्षात येऊ लागतील. एकुणात काय तर ढोबळमाना कडून सूक्ष्मतेकडे जाणे व सूक्ष्मातील बदलांचे कंगोरे पाहणे हा या विखंडन पद्धतीचा मूलभूत विचार होय.”

“म्हणजे राजा बदल केवळ कालसापेक्षच असला पाहिजे असे नाही?”

“अगदी योग्य. नक्की कशातला बदल मोजायचा आहे आणि कशाच्या संदर्भात मोजायचा आहे हे मोजणाऱ्याने ठरवायचे. मग एखाद्या माणसाचे केस आधी काळे होते ते कसेकसे पांढरे होत गेले, भुंग्याने लाकूड किंवा घुशीने जमीन कशी पोखरत नेली, राज्याचा आकार कसा वाढत किंवा घटत गेला, दर वर्षीचे उत्पन्न कसेकसे बदलत गेले, नदीला आलेल्या पुराचे पाणी दिवसेंदिवस कसे पसरत गेले, जंगलतोडीमुळे डोंगरावरील हिरवाई वरचेवर कशी कमी होत गेली, शत्रुसैन्याची सीमेवरील मोर्चेबंदी आणि युद्धाची तयारी वरचेवर कशी बदलत गेली या कशाचाही समावेश होऊ शकतो. यात बदलाचा स्थलसापेक्ष दर म्हणजे झाडांची विभागवार घनता, शत्रूची जागोजागची मोर्चेबांधणी, शेतीचे विभागवार उत्पन्न किंवा काल सापेक्ष बदल म्हणजे प्रतिवर्षीचे पर्जन्यमान, प्रतिवर्षीचे उत्पन्न, दरमहिन्याची आवक, दर आठवड्याची राज्यात येणाऱ्यांची संख्या, दर दिवसाचे मजुरांचे उत्पन्न, दर तासाला शत्रूसैन्याची होणारी आगेकूच, दर मिनिटाला पडणारे हृदयाचे ठोके, दर सेकंदाला होणारे...”

“पुरे पुरे..पण राजा म्हणजे यात मोजणाऱ्यानेच सर्व ठरवायचे..पण यात संख्यात्मक बदल (quantitative change) आणि गुणात्मक बदल (qualitative change) यांच्या बदलाचा दर कसा मोजायचा?”

“एक समजायला सोपे उदाहरण घेऊ. समुद्रकिनाऱ्यावर एक मुंगी आहे. तेथील एका नारळाच्या झाडावर चढून तिला नारळपाणी चाखायचे आहे. तर त्या झाडावर चढताना तिचा वेग कसा कसा बदलत होता? याचा अभ्यास आपण संख्यात्मक आणि गुणात्मक दोन्ही पद्धतीने करू शकतो.”

केवळ संख्यात्मक दृष्टीने पाहिल्यास, हे नारळाचे झाड चढण्यासाठी मुंगीला २४ पायऱ्या चढाव्या लागतील. पण गुणात्मक दृष्टीने पाहिल्यास मात्र प्रत्येक पायरीसाठी मुंगीला कापावे लागलेले अंतर, त्यासाठी तिला पार करावे लागलेले चढ-उतार, सोसावे लागलेले ऊन-पाऊस, गुरुत्वाकर्षणाविरुद्ध लावावी लागलेली ताकद या आणि अशा सर्वच गोष्टींचा विचार करावा लागतो”

“विक्रमा केवळ मुंगीने केलेल्या विस्थापनाबद्दलच बोल..त्यासाठी लागलेल्या सूक्ष्मकाळाबद्दल बोल..म्हणजेच त्या क्षणिक वेगाबद्दल बोल..”

“होय वेताळा..त्या प्रत्येक पायरी वरील सूक्ष्म अंतर, त्यासाठी लागलेला सूक्ष्म काळ, पर्यायाने त्या पायरीवरचा सूक्ष्मकाळासाठीचा वेग खालील प्रमाणे..”

पायरी क्र.	सूक्ष्म अंतर (Δs)	लागलेला वेळ (Δt) (seconds)	क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second	पायरी क्र.	सूक्ष्म अंतर (Δs)	लागलेला वेळ (Δt) (seconds)	क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second
१	3 cm	2	1.5	१३	2cm	2	1
२	3cm	2	1.5	१४	1.5cm	1	1.5
३	4cm	2.5	1.6	१५	2.5cm	1	2.5
४	3cm	2	1.5	१६	1cm	2	.5
५	3cm	2	1.5	१७	1.5cm	1	1.5
६	2cm	1.5	1.34	१८	2cm	.5	4
७	4cm	3	1.34	१९	2cm	3	.67
८	2cm	2	1	२०	2.5cm	1	2.5
९	2cm	3	.67	२१	.75cm	3	.25
१०	3cm	2	1.5	२२	.75cm	3	.25
११	2cm	2	1	२३	.75cm	2	.4
१२	3cm	4	.75	२४	.5cm	2	.25

आपण हीच गोष्ट आलेखातूनही पाहू शकतो..

तिच्या पूर्ण प्रवासातील पायरीगणिक बदलणारे अंतर, त्यासाठी लागलेला काळ आणि त्या पायरीसाठीचा वेग या सर्व गोष्टी वरील आलेखात स्पष्ट दिसतात. हे झालं तुझ्या प्रश्नाचं उत्तर...हीच ती बदलाचा दर(rate of change) मोजण्याची गुरुकिल्ली”

“पण विक्रमा हे जे काही तू सांगितलंस, ही जी काही लांबड लावलीस ती तू आलेखाच्या भाषेत आधीच सांगू शकला असतास..पण तरीही हा बदलाचा दर तू भूमितीच्या भाषेत सांगू शकतोस का? पण आज तरी मला ते ऐकायला वेळ नाही. हा मी निघतो...पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ

वेताळाचा आवाज जसा हवेत विरत गेला तसे पलिकडील एका झाडावर बसलेला विक्रमाच्या गुप्तहेर पथकातला एक घुबड जोरजोरात किंचाळत जाणाऱ्या टिटवीला ओरडला “ए टिटवे, अगं किती जोरात ओरडतेस? पण तुला माहित आहे का की तू कितीही जोरात ओरडलीस तरीही तुझा आवाज काही अंतरावर गेला की हळू हळू बारीक होत जातो..किती बारीक होतो माहित आहे का तुला?”

“अरे घुबडा, हेर तू आहेस..विखंडन पद्धत शिकलास ना? वापर मग...” टी टी टी करत आणि कुत्सित पणे हसत टिटवी निघून गेली...

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात