चक्री सहनिर्देशकांचा उपयोग करून चक्रव्यूह रचणे (Use of Polar Coordinates to measure Circular displacement)

विक्रमराजाचे मन चिंतातूर होते. परकीय आक्रमण झाले होते. विक्रमाच्या शूर सैनकांनी ते परतवले खरे, तरीही शत्रू काही अंतरापर्यंत आत शिरलाच होता या गोष्टीचा राहून राहून तो विचार करत होता, सेनापती, पदाती (पायदळ) सेनाध्यक्ष, तोफाध्यक्ष, दारुसाठ्याचे प्रमूख, शस्त्रसाठ्याचे कोषाधिपती या सर्वांशी तो विचार विनिमय करत होता. शिवाय राज्याबाहेरील गुप्तवार्ता विभागाचे प्रमूख यांच्याशीही सतत मसलती चालल्याच होत्या.

“अरे राजा, किती मसलती करशील? नुसत्या मसलती आणि चर्चांनी काय होते? आता काही कृती कर, शत्रूसैन्याला रणांगणात आव्हान दे आणि व्यूह रचून त्याचा बिमोड कर. आता हे एकरेषीय-चक्रीय गतीचा नाद सोड आणि शत्रूला संपव. पुरे आता!!”

“असं कसं म्हणतोस वेताळा? अरे सेनापतींनी आजच युद्धाचा प्रस्ताव मांडला, त्यासाठी चक्रव्यूह मांडला आणि वेताळा यातही चक्रगतीच्या तत्वांचा उपयोग करण्याचा आमचा निर्णय झाला.”

“अरे काय रे हे विक्रमा? तुम्हाला बुद्धी दिली आहे ती यासाठी का? यात चक्रगतीचा (circular motion), चक्री विस्थापनाचा (angular displacement) काय संबंध? या रणनीतीमध्ये तुम्ही रेडीयन ने काय मोजणार?”

“वेताळा तू अतिबुद्धिमान आहेस. असं बघ, चक्रव्यूह म्हणजे सैन्याची वर्तुळाकारात मांडणी, अशी मांडणी की ज्यामुळे आत शिरलेला शत्रू जीवंत बाहेर पडता कामा नये.”

“”अरे ते ठीक आहे विक्रमा, पण तू रणांगणात अंश किंवा रेडियन ने मोजणार तरी काय?”

“अरे वेताळा, अशा वर्तुळ मांडणी साठीच हिपार्कस नावाच्या तत्ववेत्त्याने चक्री सहनिर्देकां(Polar coordinates) ची एक पद्धती विकसित केली. यात मूळ स्थानापासून झालेले अंशीय विस्थापन (angular displacement -  θ) आणि अक्षापासूनचे अंतर किंवा त्रिज्या (Radius - R) यांचा हिशेब केला जातो. प्रत्येक बिंदूचे स्थान (θ,R) च्या संदर्भात मोजले जाते.”

“अरे विक्रमा, असा मोघम बोलू नकोस, उदाहरण दे रे.. मगाचे चक्रव्यूहाचे उदाहरण घेऊया. समजा आपली सेना रणभूमीवर उभी ठाकली आहे, ती एका रेषेत उभ्या असलेल्या अनेक रांगांच्या स्वरूपात. आता आपल्याला तिला चक्राकारात उभे करायचे आहे, तर याकामात तू तुझ्या थिटा का फिटाचा उपयोग कसा करणार?”

“ठीक आहे, समजा पहिली फळी उभी आहे १० सैनिकांची. खरेतर १००-२०० सैनिकही एका फळीत असू शकतात, पण सोयीसाठी १० घेतल्या..” (आकृती १)

“समजलं रे..नस्तं पाल्हाळ लावू नकोस..पुढे बोल..”

“तर ते दहा सैनिक आडव्या रांगेत उभे आहेत व रांगेच्या मध्यभागी सेनाध्येक्ष आहेत. सेनाध्यक्षांच्या डाव्या बाजूला ५ व उजव्या बाजूला ५ सैनिक आहेत. या चक्राकार व्यूहाच्या केंद्रभागी सेनाध्यक्ष असतील. प्रत्येक सैनिक १ मीटर चे आडव्या हाताचे अंतर राखून उभा आहे. 

आता हे लक्षात घेऊया की सेनाध्यक्षा जवळ उभ्या असलेल्या सैनिकांचे अंतर १ मी आहे. तिथे १मी त्रिज्येचे(Radius) वर्तुळ काढू. त्यांच्याशेजारी उभ्या असलेल्या सैनिकांना सामावणारे २मी. त्रिज्येचे वर्तुळ काढू. त्यांच्या शेजारी उभ्या असलेल्या सैनिकांना सामावणारे ३ मी. त्रिज्येचे, ४ मी. त्रिज्येचे  व ५ मी. त्रिज्येचे अशी वर्तुळे काढूया. शिवाय त्या वर्तुळांचे आठ तुकडे करुया. आता मैदान खालीलप्रमाणे दिसेल. सैनिकांची नावे s1 ते s10 अशी आहेत. सैनिकांचे मूळ स्थान θ=० हे आहे. सैनिकांना हालचाल करताना सेनाध्यक्षांपासूनचे अंतर कायम ठेवावे लागेल. आपल्या समजण्याच्या सोयीसाठी वर्तुळाचे ४५ अंश किंवा π/४ रेडियन या मापातच हलवायचे आहेत.” (आकृती २)

आता या १० सैनिकांना कुठे ठेवायचे हे ठरवूया. ती सैनिकांची रचना खालीलप्रमाणे आहे. (आकृती ३)

  

“पण विक्रमा, यात प्रत्येक सैनिकाला किती विस्थापन करावे लागेल ते नाही सांगितलेस..”

“सांगतो. यासाठी आपण असे ठरवून घेऊ की चक्री विस्थापन सेनाध्यक्षाच्या उजवीकडून डावीकडे झाले की ते धन (+) आणि या विरुद्ध झाले की ते ऋण (-). प्रत्येक सैनिकाला करावे लागलेले चक्री विस्थापन (angular displacement) आणि त्यांचे नवीन चक्रीय सहनिर्देशक (Polar Coordinates) खालील प्रमाणे

सैनिक	चक्री विस्थापन (रेडियन)	चक्रीय सहनिर्देशक ( θ, R)
S1	π/२	(π/2,1)
S2	π/४	(π/4,2)
S3	π/२	(π/2,3)
S4	π/२	(π/2,4)
S5	π/२	(π/2,5)
S6	-π/४	(3π/4,1)
S7	०	(π,2)
S8	-π/४	(3π/4,3)
S9	-π/४	(3π/4,4)
S10	-π/४	(3π/4,5)

थोडक्यात काय तर आखलेल्या मैदानात प्रत्येक सैनिकाला त्याचा चक्रीय सहनिर्देशक सांगितला की तो बरोबर त्याठिकाणी त्याला आखून दिलेल्या वर्तुळ मार्गावरून जाऊन उभा राहिल. अशा रितीने १०० किंवा अधिक सैनिकांचे चक्री सहनिर्देशक ठरवून व त्याप्रमाणे सैनिकांना हलवून चक्रव्यूह सिद्ध होईल. आहे कि नाही चक्रगती माहित असणं गरजेचं?”

“अरे विक्रमा, त्या शूर सैनिकांनी युद्ध सराव करावा की हे असलं चक्र आणि वक्रचाल खेळत बसावं? पण तू अजूनही मला चक्री वेग आणि एकरेषीय वेग यांमधलं नातं सांगितलं नाहियेस. पण माझं निसर्गचक्र मला पाळायलाच हवं. मला झाडाकडे पुन्हा जायलाच हवं. पुन्हा भेटू. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

विक्रम राजा गेला आणि त्या रस्त्याशेजारी असलेल्या मुंग्यांच्या वारुळातील मुख्य मुंगी आणि तिची सेविका बाहेर आली.

मुख्य मुंगी म्हणाली, “ऐकलेस ना सेविके त्या चक्र चाली विषयी? आपल्याला एक किटक मारायचा आहे, तर आपणही एक चक्रव्यूह तयार करू.”

“जशी आज्ञा राणी सरकार..मी १०० मुंग्यांसाठीच्या चक्री सहनिर्देशकांची यादी बनवायला घेते.”

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

© अनिकेत कवठेकर