दोन स्थायूंची टक्कर..और ये लगा सिक्सरऽऽ (Projectile Motion)

दोन जवळ असलेली माणसे जेव्हा दूर जातात तेव्हा तिसऱ्याच माणसांच्या पुन्हा संपर्कात येणे ठरलेले. एक गाव व त्यातील सगे सोयरे सोडून माणूस दुसरीकडे जातो तेव्हा काही काळाने तेथे नवीन मित्र मिळणे हे निश्चितच असते. गावोगावी फिरणारे विक्रेते प्रत्येक ठिकाणी कुठल्या ना कुठल्या गिऱ्हाइकाशी जुळलेले असतात. या अर्थी हे जुळणे आणि दूर जाणे या गोष्टी तशा तात्पुरत्याच. जसे लांब जावे तसे दूरचे नातलग अधिक आठवावेत पण जवळ, पलिकडच्याच गल्लीत राहणाऱ्यांकडे मात्र वर्षानुवर्षे जाणं होऊ नये हा अचंबितच करणारा प्रकार. करावे देशाटन, पंडित मैत्री, सभेत संचार, याने चातुर्य येतसे फार हे म्हटलंच आहे. किंवा घोडा का अडला, भाकरी का करपली..न फिरवल्याने. अर्थात या संयोग-वियोगाला फार महत्व आहे. त्या अर्थी या संयोग वियोगात काहीतरी दडलेलं निश्चित आहे. राजकारणातही नाहिका काही लोक एक राज्य सोडून दुसऱ्याचे हेर होतात, फितुरी करतात."

“अरे विक्रमा, एकदा का राजा म्हणून गादीवर बसला की येणाऱ्या प्रत्येक श्वासागणिक बहुतेक तुम्ही असले राजकारणाचेच विचार करता बहुतेक. आता सुद्धा तू दोन राज्यांचे भांडण, आपल्याच राज्यात राहणाऱ्या पण दूरदेशी स्वामिनिष्ठा बाळगणाऱ्या हेरांविषयी विचार करतोयस. पण मला सांग पदार्थविज्ञानात अशी भांडणे, अशी भाऊबंदकी असते का? दोन स्थायू जर एकमेकांच्या सान्निध्यात आले आणि एकाने दुसऱ्याला टक्कर दिली तर नक्की काय होते?”

“हे बघ वेताळा, मागच्या वेळी आपण पाहिलं की जर तो चेंडू दोरी तुटल्यामुळे सुटला तर तो काही विशिष्ट अंतरापर्यंत हवेत उडेल व गुरुत्वाकर्षण त्याला खाली पाडेल..”

“अरे होरे, कळलं मला गुरुत्वाकर्षण आणि पडणे वगैरे. चेंडूचंच उदाहरण घेतोयस तर मग त्याला क्रिकेटच्या मैदानात आण जरा. आधी ते स्विंग कि काय ते जरा मजेशीर सांगितलं होतंस..आता या टक्करीबद्दल सांग..सांग सांग पटकन सांग..”

“होय वेताळा, क्रिकेटच्या खेळातील सर्वात मजेदार, रोमहर्षक व महत्वाची टक्कर म्हणजे बॅट आणि चेंडूची टक्कर. वैशेषिकाच्या दृष्टिकोनातून पाहिल्यास हे दोन्हीही स्थायू किंवा ही दोन्हीही पृथ्वीद्रव्याची उदाहरणे. प्रशस्तपादांनी सांगूनच ठेवले आहे की

क्षितिजलज्योतिरनिलमनसां क्रियावत्त्वमूर्त्तत्वपरत्वापरत्ववेगवत्वानि ||23||

अर्थात स्थायू, द्रव, वायू, तेज व मन हे हालचाल करत असतात, त्यांना जाणीव स्वरूप असते, ते जवळ येऊ शकतात व लांब जाऊ शकतात आणि ते बलप्रयोग करून गती निर्माण करू शकतात.”

“बलप्रयोग करून गती निर्माण करु शकतात? कसली गती?”

“हे बघ वेताळा, याठिकाणी बॅट या स्थायूला फलंदाजाने हाताने जोर दिलेला आहे. चेंडूवर गोलंदाजाने जोर लावलेला आहे. म्हणजे या फलंदाजाने व गोलंदाजाने आपापल्या मनाचे बळ हाताच्या स्नायूंमध्ये आणले व त्यामुळे चेंडू व बॅट दोन्हींना गती मिळाली. वेगसंस्काराची (Mechanical Force) व्याख्या करताना अमरकोश ग्रंथाच्या रामाश्रमी टिकेमध्ये लिहिलंय -

वेजनं इति वेग: |

अर्थात वेग म्हणजे ‘वेजन’. वेजन म्हणजे हालचाल होणे. भारतातले प्राचीन आचार्य ऋषी कणाद यांनी आपल्या वैशेषिक दर्शन या ग्रंथामध्ये बलामुळे होणारे पदार्थाचे विस्थापन इत्यादि अनेक अंगांना स्पर्श केला होता.

ओविजिभ्ययचलनयो: वेजयति चालयति इति वेगो इति |

अर्थात हालचाल, चलन ज्या गोष्टीमुळे निर्माण होते ते कारण म्हणजे ‘वेग’. त्यावर भाष्य करून त्यातील संकल्पना सोप्या करुन दाखवताना आचार्य प्रशस्तपाद यांनी ‘प्रशस्तपाद भाष्य’ या ग्रंथामध्ये बलाचे(force) पुढील तीन प्रकार सांगितले:

संस्कारस्त्रिविध उक्त: वेगो-भावना-स्थितीस्थापकश्चेति‌|

अर्थ हा की संस्कार किंवा बल (Force) हे तीन प्रकारचे असते: वेग संस्कार (Mechanical Force), भावनिक संस्कार (Emotional Force) आणि स्थितीस्थापक संस्कार (Elastic Force).  (Source: Physics in Ancient India) हे ते तीन प्रकार.”

“अरे ते ठिक आहे विक्रमा, पण प्रशस्तपादांनी या वेग संस्काराची काही व्याख्या केली आहे की नाही?”

“आहे तर. त्यातही वेग संस्काराची (Mechanical Force) व्याख्या आचार्य प्रशस्तपाद खालीलप्रमाणे करतात:

वेगो मूर्तिमत्सु पंचसु द्रव्येषु निमित्तविशेषापेक्षात् कर्मणो जायते|

अर्थ हा की पृथ्वी/स्थायू(Solid), आप/द्रव (Liquid), तेज(Energy), वायू (Gaseous) आणि मन(Mind) या  पाचही द्रव्यांपासून बनलेल्या पदार्थांध्ये केवळ वेगसंस्कारामुळेच(Mechanical Force) मुळेच कर्म किंवा हालचाल (Motion) निर्माण होते.  कणाद ‘कार्यविरोधीकर्म’ नावाच्या वैशेषिक सूत्र १-१-१४ मध्ये वेगसंस्काराविषयी म्हणतात

अत्र – वेग: निमित्त-विशेषात् कर्मणो जायते|

Translation: Vega means the force. Karma means motion. Force is specific cause for motion or force generates motion, i.e. a change in motion occurs till the force is active. (Kanada's Science of Physics - N. G. Dongre, S.G. Nene)

अर्थात एखादी विशिष्ठ हालचाल ही वेगसंस्कारा (Mechanical Force) मुळेच होते. हीच गोष्ट न्यूटनच्या पहिल्या नियमात खालीलप्रमाणे येते.

Newton's 1st law of motion: The change of motion is due to impressed force. (Principia)”   

“बर ठीक आहे, पण मग हे दोन स्थायू हे कर्म म्हणजे हालचाल कशी निर्माण करतात ते सांग जरा.”

“हे बघ वेताळा, या ठिकाणी बॅट व चेंडू दोघांनाही वेगामुळे काही विशिष्ट संवेग(momentum) प्राप्त झालेलाच असतो. संवेग व त्याच्या अक्षय्यतेबद्दल(law of conservation of momentum) आपण आधी बोललोच होतो. या संदर्भात आपण क्रिकेटमधल्या अतिशय लोकप्रिय अशा षटकाराबद्दल बोलू.”

“त्यात काय बोलायचं? निष्णात फलंदाजासमोर चुकार गोलंदाज आला की तो चोपला गेलाच समजायचा.”

“तेच तर या वेगसंस्कारामुळे होणारं विस्थापन आहे. ४०ते ५० मैल प्रतितास वेगाने टाकलेला चेडू काही वेळ हवेत राहिला व फलमदाजाने टप्पा अचूक हेरून तो बरोबर उचलला व आकाशाकडे धाडला की झाली ना दोन स्थायूंमधील धडक. एकदा का बॅटला धडकून परत निघाला की चेंडू उंच आकाशी झेपावतो..बॅट पासून दुरावतो..व प्रेक्षकांमध्ये तर कधी कधी मैदानाबाहेरही जातो. पण शेवटी पृथ्वीग्रह नावाच्या महाकाय स्थायूकडेच जाऊन विसावतो.”

“मग विक्रमा, या चेंडूंच्या वेगाचं कसं होणार. आपण मागील वेळी पाहिलं होतं की लंबक वेगवेगळ्या ठिकाणी असताना त्यावर काम करणारे गुरुत्वबळ व दोरीचे स्थिती स्थापकता बळ यांच्यात जे कोणी शिरजोर ठरते त्यानुसार वेग कमी-जास्त होतो.”

“होय वेताळा, इथेही तसं पाहू शकतोस. ”      

“अरे पण विक्रमा, या षटकारात इतकं काय विचार करण्यासारखे आहे ? ख्रिस गेल सारखे महाकाय फलंदाज जेव्हा बॅट ने चेंडू टोलवतात तेव्हा त्यांनी शक्ती लावलेली असते. त्यामुळं तो चेंडू सहज षट्कारात रूपांतरित होतो. त्यात आता काय विशेष असणार?”

“अरे तेच तर सांगतोय वेताळा. जेव्हा गोलंदाज चेंडू फेकतो तेव्हा त्याला एक दिशा व गती प्राप्त झालेली असते. समजा ती गती ७० किमी प्रति तास आहे व दिशा गोलंदाजा कडून फलंदाजाकडे अशी आहे. आता त्याच वेळी फलंदाज सुद्धा काही केळी खात नाहीये. तोही एकाग्रपणे येणाऱ्या चेंडूकडे बघत शस्त्र परजावं तसा बॅट घेऊन उभा आहे. त्याने आक्रमकपणे पुढे येऊन चेंडूचा टप्पा हेरला व त्याला व्यवस्थित बॅट लावली.”

“आता हे काय? व्यवस्थित बॅट लावली ?”

“म्हणजे असे की बॅट च्या कोणत्याही कडांना चेंडू लागला की कुठेतरी झेल जाण्याची शक्यता. बॅट च्या दांड्याकडे लागला तर फोरवर्ड शॉर्टलेग टपून बसलेला. म्हणून बॅट च्या मध्य भागापासून खालपर्यंत च्या कुठल्याही ठिकाणी चेंडू बसला तर बॅट नीट लावली असं समजायचं. आता बघ या ठिकाणी फलंदाजाने बॅट हलवली गोलंदाजाच्या दिशेनं समजा तो वेग होता ५ किमी प्रति तास व दिशा होती खालून वर, थोडीशी चक्राकार. 

आता या धुमश्चक्रीत काय झाले की बॅट व चेंडू दोघांनाही काही संवेग (momentum) प्राप्त झाला. संवेग अक्षय्ययतेचा नियम सांगतो

बॅट चा आरंभीचा संवेग  = चेंडूचा अंतिम संवेग

बॅट चे वस्तुमान x  बॅट चा वेग = चेंडूचे वस्तुमान x चेंडूचा अंतिम वेग

१.५ किलोग्रॅम x ५ = . ६ ग्राम x चेंडूचा वेग

चेंडूचा अंतिम वेग =  ४७ किमी प्रतितास, यावेगाने चेंडू जाऊ लागतो. आणि चेंडूला व्यवस्थित बॅट लावण्याबद्दलच सांगायचं तर आपल्या लाडक्या सचिनच्या स्ट्रेट ड्राइव्ह पेक्षा सुंदर उदाहरण काय देऊ शकणार?”

“होय विक्रमा, त्याची बॅट म्हणजे जणू बॉलवर गारुडच करायची. कृष्णाने मुरली वाजवली कि नाठाळ वासरेही गपगुमान परतु लागायची, तशी या अफलातून बॅट्समन ची सरळ बॅट लागली की चेंडूसुद्धा मैदानाबाहेर जायला आसूसायचा. तो स्ट्रेटड्राइव्ह मारलेला बॉल जातो कसा, ते बॉल बॅटचं मिलन पाहिलं की प्रतिस्पर्धी क्षेत्ररक्षकही बघ्यासारखे उभे राहायचे. सचिनचं सोड, तो एक अद्भुतच प्रकार होता. पण बाकिच्यांनी काय समजायचं? जड बॅट वापरली किंवा ती अधिक जोरात फिरवली तर चेंडूचा वेग वाढेल हे दिसतंय. पुढे सांग.”

“मग तो चेंडू तोफगोळ्यासारखा आकाशा कडे तिरका जाऊ लागतो. जसा तो वर वर जाउ लागतो तसा तसा त्याचा वेग कमी कमी होत जातो. एका विशिष्ट उंची पर्यंत गेला की वेग शून्य होतो किंवा पृथ्वी त्याचा वेग शून्य करून टाकते. असं झालं की मग मात्र तो चेंडू सरळ खाली पडायला सुरुवात होते. म्हणजेच पृथ्वी त्याला खेचून घेते. त्यावेळी तो मैदानाबाहेर असला तर षटकार आत असला तर कोणीतरी झेल घेण्याची शक्यता!”

“म्हणजे विक्रमा तुला असं म्हणायचं की तो एका विशिष्ट पद्धतीने व विशिष्ट वेगाने निघाला तरच षटकाराची संधी आहे?”

“हो. निश्चितच. बॅट पासून निघताना चेंडूचा वेग जास्त असेल व निघताना तो मैदानाशी किती कोन करेल यावर षटकार का झेल हे ठरते..शिवाय मैदानेही अंडाकृती असतात, कधी वर्तुळाकार असतात. लहान मोठी असतात. पुण्याच्या नेहरू स्टेडियम वर जो षटकार ठरेल तो औस्ट्रेलियामधल्या मेलबर्न या अवाढव्य मैदानावर झेलही टिपला जाईल.” 

“म्हणजे सामन्यापूर्वी जशी खेळपट्टीची चाचपणी करतात तशी फलंदाजांनी मैदानाची मापे वगैरे लक्षात घेतली पाहिजेत. पण विक्रमा हा चेंडू जेव्हा असा तिरक्या दिशेत वर जातो तेव्हा त्याच्या या प्रवासात काही टप्पे करता येतील?”

“हो वेताळा. नक्कीच करता येतील. पहिला टप्पा म्हणजे बॅट ने जोरदार तडाखा दिल्याचा. दुसरा म्हणजे चेंडू खालून वर जातानाचा वेग कमी कमी होत जाणारा टप्पा आणि तिसरा म्हणजे तो हवेत उंचावर थांबल्यासारखा वाटल्यावर गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रभावाखाली जमिनीकडे परत येण्याचा टप्पा. पहिल्या टप्प्यात बॅट ने चेंडूला जोरात तडाखा दिलेला असतो त्यामुळे चेंडूला गती मिळालेली असते. तशी तर गोलंदाजाने टाकताच त्याला गती मिळालेली असते व फलंदाजाने त्या गतीमध्ये वाढ करून चेंडूची दिशा बदललेली असते.

दुसऱ्या  टप्प्यात चेंडूवर फलंदाजाने लावलेले बळ हे वरच्या दिशेने ओढत असते व गुरुत्वाकर्षण बळ खाली ओढत असते. या रस्सीखेचीत चेंडूचा वेग कमी होत जातो.

तिसऱ्या म्हणजे खाली पडण्याच्या टप्प्यात मात्र केवळ गुरुत्वाकर्षण बळच काम करत असते. या टप्प्यात चेंडू जसा खाली झेपावू लागतो तसा त्याचा वेग वाढत जातो. शेवटी धडामकन खाली पडतो.”

“पण विक्रमा, समजा मी माझा चेंडू रबराचा, नेहमीचा कॉर्कचा किंवा तशाच पदार्थाचा बनवला तर त्याच्या वेगावर किती परिणाम  होईल? तो किती उंच जाईल यावर काय परिणाम होईल?  तसेच तो किती अंतर कापतो त्यावर काय परिणाम होईल?”

“त्याने फार काही फरक पडणार नाही कारण चेंडूचा वेग हा फलंदाजाने त्याला कसा टोलवलाय, बॅट कशी लावली आहे म्हणजे मध्यभागी का खाली का वर का कडेला ? किती ताकदीनं टोलवलाय, त्याची दिशा कशी बदलली आहे यावर ठरतो. अगदी हलका प्लॅस्टिक चा चेंडू असला व मैदानात खूप वारा असेल तर मग तो वारा चेंडूला आपल्या बळाने हवा तसा नाचवेल. सगळंच बदलेल. असो. तर आता मी तो चेंडू किती अंतर कापेल याविषयी सांगतो."

“मग ते  अंतर मोजायचे सूत्र कोणते?”

“ वेताळा, चेंडूने कापलेले आडवे अंतर X = U0.t cos Ɵ आणि चेंडूने कापलेले उभे अंतर Y = U0.t sin Ɵ – g.t²/2  

यामध्ये t = x / U0.t cos Ɵ असे घेतल्यास शेवटी

Y = x tan Ɵ – x².g/ 2U₀²cos² Ɵ
 या चेंडूने कापलेले एकूण अंतर आपल्याला अंतर(R) आपल्याला पुढील सूत्राने मिळेल (R²) = (X² + Y²)"

“अरे विक्रमा, हे तर ब्रह्मगुप्ताने सांगितलेल्या वर्गसमीकरणासारखे म्हणजे y = ax² +bx +c या समीकरणासारखे दिसतंय रे.. ”

“हो, आणि हे समीकरण पिंडीच्या आकाराला (parabola) जन्म देते. आपण वरील आकृतीमध्ये केवळ ती हालचाल समजून घेण्यासाठी तीन टप्पे पाहिले. पण चेंडू हा पिंडीच्या आकारातच मार्गक्रमण करतो.”

“बर मग विक्रमा, तो चेंडू किती उंचीवर गेला हे कसं ठरवशील?”

“हे बघ वेताळा, तो चेंडू जेव्हा सर्वाधिक उंची गाठतो तेव्हा त्याचा वेग शून्य होतो.

मूळच्या v = u + at या गतीसमीकरणात आवश्यक किंमती घातल्या तर येणाऱ्या

Vy = U₀.sin Ɵ –g.t या सूत्रानुसार

0 = U₀.sin Ɵ –g.t म्हणजेच t_h= U₀.sin Ɵ/g ही किंमत आपण या आधी बोललो त्या समीकरणात घातली तर

Y = U0.t sin Ɵ – g.t²/2

Height = U0.t_h sin Ɵ – g.t_h²/2

एकुणात काय तर उंची(Height) = U₀².sin² Ɵ/2g”

“विक्रमा, जरा उदाहरण देरे. आणि मला सचिन ने जो कॅडिकला षट्कार ठोकला होता त्याबद्दल सांग.”

“होय वेताळा. हा जो षटकार त्याने मैदानाबाहेर ठोकला होता त्याचेच उदाहरण घेऊ. हा षटकार जेव्हा जमिनीवर पोहोचला तेव्हा साधारण अंतर १२० मीटर कापले होते म्हणतात. यात किती अचूकता आहे माहित नाही. पण धरून चालू. शिवाय सचिनने हा चेंडू टोलवताना बॅट जशी होती तो कोन साधारणपणे ४० अंश असेल असे धरू. शिवाय फटका मारल्या नंतर चेंडूला जमिनीवर पडायला १५ सेकंद लागले असे पकडू.

 Y = 120 meter, Ɵ = 40 degree t=15 seconds

तर सचिनने फटका मारताना त्या चेंडूला किती गती दिली हे पाहता येईल

Y = U0.t sin Ɵ – g.t²/2

120 = U0. 15. Sin 40 – 9.8.(15.15)/2

120 + 1102.5 = U0. 15. Sin 40

1222.5/(15. Sin 40) = U0

U0 = 81.5/.64 = 127 मीटर/ सेकंद

१२७ मी/सेकंद या अतिप्रचंड वेगाने चेंडू मैदानाबाहेर गेला.”

“आणि हा चेंडू साधारण किती उंच गेला असेल?”

“आपण आधी पाहिलं तसं उंची(Height) = U₀².sin² Ɵ/2g

Height = (127)2.(sin 40)2/2x9.8 = 16129x.4/19.6 = 330 मीटर

म्हणजे तो चेंडू साधारण 330 मीटर इतका उंच गेला. अर्थात ही सर्व मोजमापे आपणा सारख्यांना आनंद होण्यासाठी तो मास्टर ब्लास्टर पुढचा चेंडू सुद्धा इतक्या वेळात खेळाला असेल.”

“विक्रमा हे चेंडूच्या पडण्याधडण्याविषयी सांगतोयस..पण मग ऋषी प्रशस्तपादांनी या पडण्याचे काही प्रकार सांगितले होते का? हे तिरकं पडणं, टक्कर झाल्याने गती मिळणं वगैरे याबद्दल काही सांगितलंय का त्यांनी?”

“हो सांगितलंय ना त्यांनी. किंबहुना प्रशस्तपाद भाष्याचा एक धडाच या कर्म किंवा हालचालींवर आहे. हालचालींचे प्रकार सांगताना ते म्हणतात

उत्क्षेपणापक्षेपणाकुञ्चनप्रसारणगमनानि पञ्चैव कर्माणि ||4||

Throwing upwards, throwing downwards, contracting, expanding, and going – these are the only five actions.

वर फेकणे, खाली टाकणे, आकुंचन पावणे, प्रसरणपावणे व जात राहणे हे या हालचालीचे पाच प्रकार आहेत.

यातील पहिल्या दोन हालचाली या अदृश्य बळ व गुरुत्वाकर्षणाशी संबंधित आहेत. नंतरच्या दोन या अदृश्य बळ व पदार्थाची स्थितीस्थापकता यांच्याशी संबंधातल्या आहेत. पाचवी क्रीया ही मात्र संमिश्र स्वरूपाची आहे व ती अनेक क्रीयांचा गटच आहे.

गमनग्रहणाद्भ्रमणरेचनस्यन्दनोर्ध्वज्वलनतिर्य्यक्पतननमनोन्नमनादयो गमनविशेषा न जात्यन्तराणि ||5||

Because of the mention of the going : all such actions such as gyrating, evacuating, quivering, flowing upwards, transverse falling, falling downwards, rising and the like, being the particular forms of Going, and not forming distinct classes by themselves.

गोलगोल फिरणे, कंप पावणे, वर वाहणे, वरून खाली तिरके पडत येणे, थेट खाली पडणे, वर जाणे आणि अशा अन्य क्रीया या ‘जात राहणे’ या वर नमूद केलेल्या गटातच मोडतात. त्यांचे वेगळे गट पाडायची आवश्यकता नाही. यात तिर्यक् पतन म्हणजेच हे चेंडूचे खाली पडणे होय. महत्वाची गोष्ट म्हणजे यात खाली फेकणे व तिरके पडणे या दोन वेगवेगळ्या हालचाली धरल्या आहेत. कारण खाली फेकण्यात लावलेले बळ आणि गुरुत्वाकर्षण यांची दिशा एकच असते. तर खाली पडण्यात केवळ गुरुत्वाकर्षणाचाच प्रभाव असतो. यामुळेच या दोन वेगळ्या हालचाली गणल्या गेल्या असाव्यात. इतका सूक्ष्मविचार ४थ्या शतकात मांडला होता हे महत्वाचं!”

“ते तर आहेच पण विक्रमा तू इतकं बोललास, पण हा चेंडू वर फेकताना किती अंशात फेकावा म्हणजे तो जास्तीत जास्त अंतर जाईल याविषयी काही बोलला नाहीस, शिवाय अश्याही काही वेगाने फेकल्यास एखादी वस्तू परत खाली न येता पृथ्वीभोवती फिरत राहील काय? ती फिरली तर अंडाकृती कक्षेत फिरेल का गोलाकृती? या कक्षांचे हे आकार नक्की कशामुळे ठरतात हे मात्र नाहीच सांगितलंस. पण आता मला कुठलंसं बळ पुन्हा स्वस्थानाकडे खेचतंय. मला जायलाच हवं विक्रमा..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

गुरुत्वाचा नक्की कशाकशावर आणि काय काय परिणाम होतो हे कळत होतं तसं सर्वांनाच नवल वाटत होतं. पृथ्वी आपल्या नकळत काय काय परिणाम घडवत असते हे कळाल्यावर आता सर्व जणांचं कुतुहल गुरुत्वबलामुळे निर्माण होणाऱ्या वर्तुळाकार व अंडाकृती कक्षांकडे गेलं. पण त्याही आधी क्रिकेट विश्वावर आपल्या बॅटने अधिराज्य गाजवलेल्या व ध्रुवासारखं आपलं स्थान बनवलेल्या सचिन तेंडुलकरला मानाचा मुजरा द्यायला मात्र कोणीच विसरलं नाही..

(क्रमश:)

मूळ गोष्ट: विक्रम वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

स्थायू पदार्थांचे उडणे व पुन्हा खाली पडणे (Falling of solids)

आपल्या भोवतालचं प्रत्येक पृथ्वी आणि आप द्रव्यरूप म्हणजेच सर्व स्थायु(solids) व द्रव(liquids) हे एकमेकाला ओढण्याचा प्रयत्न करतच राहतात हे तर कळालं. पण त्यातही पृथ्वी स्वतःच तिच्या अदृश्य हातांनी प्रत्येक सूक्ष्मातिसूक्ष्म कणाला ओढतच राहते. तो कण सुद्धा ओढायचा प्रयत्न करतोच म्हणा पृथ्वीला.. पण हे म्हणजे काजव्याने सूर्यापुढे चमकण्यासारखं क्षीण आहे. तरीही पृथ्वी वर उभे राहून एखादी गोष्ट वर फेकली की थोडावेळ ती हवेत प्रवास करत राहते आणि मग धराशायी होते. या प्रवासात त्या वस्तूला फेकताना लावलेलं बळ किती वेळ टिकतं? या बाह्यबळाने लावलेल्या बळाच्या विरुद्ध जाऊन पृथ्वी त्या वस्तूला कशी खाली पाडते? वस्तू वर जात जात अचानक कशी थांबल्यासारखी वाटते व पुन्हा वेगाने जमिनीकडे कशीकाय झेपावू लागते? खाली येऊ लागली की तिच्यावर फक्त पृथ्वीचं गुरुत्वबळच काम करत असतं का?

"अरे अरे विक्रमा विचारांना थांबव थोडं..किती वेग आहे हा विचाराचा? मला हे तर कळतं की गुरुत्वबळ हे त्याचं काम करतंच राहतं, तुम्हाला ते कळो वा न कळो, जसा माणसाचा श्वासोच्छवास. पण या वस्तूंच्या फेकाफकीमध्ये जे बाह्यबळ काम करतं ते नक्की कसं त्या वस्तूला हवेत उडवंत ठेवतं या पृथ्वीच्या विरोधात? एकदा का एखादी वस्तू फेकली गेली हवेत तर त्या वस्तूचा वेग नक्की कसा कमी होतो हे जरा सांग.. ”

“वेताळा, एकतर कणादांनी वैशेषिक सूत्रात म्हटलं तसं

पतनोपदेशाद् गुरुत्वम् |

म्हणजे वस्तूच्या पडण्याला गुरुत्वबळच कारणीभूत असतं. याचाच अर्थ असा की वस्तू जमिनीपासून दूर गेलीच नसती तर या गुरुत्वाचा म्हणावा तितका परिणाम जाणवला नसता. असं समज की एक अतिशय विस्तीर्ण असा सपाट मंच तयार केलाय व तो जमिनीवर ठेवलाय. त्या मंचाचा पृष्ठभाग अतिशय गुळगुळीत केलाय. त्यामुळे त्या मंचावर एखादी गोष्ट ढकलली तर सहजपणे सटकते व दूरवर जात राहाते. काही बर्फाळ देशांमध्ये जसं बर्फावर घसरतात व नृत्य करतात तसं. या हालचालीमध्ये गुरुत्वामुळे होणारा परिणाम तितकासा जाणवत नाही.”

“ म्हणजे वस्तू सपाट, गुळगुळीत मंचावर एखादी वस्तू घसरतगेली तर गुरुत्व प्रभावशुन्य होते? पण हे आता का सांगतोयस?”

“सांगतो, सांगतो. ही क्षितिजसमांतर(Horizontal) दिशेतली हालचाल झाली. या दिशेत कोणतेही घर्षणबलकार्य करत नाहिये असं धरलं तर या दिशेत बाह्यबळाने त्या वस्तूला जी गती प्राप्त करून दिली ती कायम राहते असे आपण समजू शकतो. हा या गतीचा क्षितिजसमांतर घटक झाला. आता दुसरा म्हणजे उर्ध्वगामी(Vertical) घटक पाहू.”

“उर्ध्वगामी..म्हणजे वर जाणारा?”

“हो. एखादी वस्तू या क्षितिजसमांतर पातळीला अगदी काटकोनात वर फेकली, म्हणजे ध्वजदंडाच्या दिशेत किंवा कारंजातून पाणी जसं सरळ सरळ वर फेकलं जातं तशी वर फेकली तर तिच्या गतीवर गुरुत्वबळाचा परिणाम घडायला लगेचच सुरुवात होते.”

“म्हणजे अगदी फेकल्याच्या क्षणापासून?”

“हो हो, अगदी फेकल्याच्या क्षणापासून किंवा त्या क्षणाच्या सूक्ष्मातिसूक्ष्म भागापासून हे गुरुत्वबळ ओढाओढी सुरु करते..”

“पण मग ही पृथ्वी वस्तूंना जाऊच का देते वर? बसवायचं ना सगळ्यांना जमिनीलाच चिकटून? आधी थोडं वर जाऊ द्यायचं काय, मग खाली खेचायचं काय? ह्या खेळाला काही नियम आहे की नाही?”

“वेताळा, हा प्रश्न बहुतेक न्यूटनलाही पडला असावा व म्हणूनच त्याने या गुरुत्व बळासाठीचा नियम (law of gravity) शोधला..हो. एकतर प्रशस्तपादांनी सांगूनच ठेवले होते की

क्षितिजलज्योतिरनिलमनसां क्रियावत्त्वमूर्त्तत्वपरत्वापरत्ववेगवत्वानि ||23||

अर्थात स्थायू, द्रव, वायू, तेज व मन हे हालचाल करत असतात, त्यांना जाणीव स्वरूप असते, ते जवळ येऊ शकतात व लांब जाऊ शकतात आणि ते बलप्रयोग करून गती निर्माण करू शकतात. प्रशस्तपाद भाष्याच्या २ऱ्या धड्यात द्रव्यांमधील समानता दाखवताना प्रशस्तपादांनी (३रे-४थे शतक) म्हटलंय

द्वयोर्गुरुत्वं रसवत्वञ्च ||28||

पृथ्वी व आप यांना गुरुत्त्व असते व चव असते. नंतर अधिक विवेचन करताना ते म्हणतात

गुरुत्वं जलभूम्यो: पतनकारणम् |

अप्रत्यक्षं पतनकर्मानुमेयं संयोगप्रयत्नसंस्कारविरोधि अस्य चाबादिपरमाणुरूपादिवन्नित्यान्नित्यत्वनिष्पत्तय: |

Gravity is the cause for falling of solids and liquids. It is invisible, but can be inferred by the falling motion which is counteractive to material conjunction, effort and action of a force. Further, perceptibility of gurutva, like other properties of a material depends on the size of the finer constituent parts under consideration. (Physics in Ancient India – N. G. Dongre, S.G. Nene) 

पृथ्वी म्हणजेच स्थायुपदार्थ व आप म्हणजे सर्व द्रवपदार्थांच्या जमिनीवर पडण्याचे किंवा सांडण्याचे ‘गुरुत्व’ हेच कारण. ते अदृष्य असते पण दोन पदार्थांना एकत्र करण्याचा प्रयत्न करणाऱ्या बळाच्या विरुद्ध दिशेत जेव्हा तो पदार्थ खाली पडतो त्यावरून या बळाची कल्पना येते. शिवाय, जडपदार्थांच्या इतर गुणधर्मांप्रमाणेच गुरुत्वाची कल्पना येणे हे त्या पदार्थाच्या लहानात लहान कणांच्या आकारावर अवलंबून असते. हे गुरुत्व वस्तू परमाणू आकारात असली किंवा मोठी असली तरीही कार्य करतच राहतं..”

“कळलं की गुरुत्व आणि त्याचा नियम स्थायू व द्रवांनाच लागू पडणार, पण तो नियम तरी सांग..”

“न्यूटनचा गुरुत्वाचा नियम(Law of gravity) सांगतो

A particle attracts every other particle in the universe with a force which is directly proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between their centres.

अर्थात प्रत्येक जड वस्तूचा कण हा त्याच्या आजुबाजूच्या सर्व कणांना एका विशिष्ठ बळाने खेचतो. हे बळ त्या दोन वस्तूंच्या वस्तुमानाच्या गुणाकाराशी समप्रमाणात बदलते. तसेच हे बळ त्या दोन वस्तूंमधील अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्तप्रमाणात बदलते..”

“हां आता कसा नियम वाटतोय बरंका..पण म्हणजे हे बळ कमी जास्त कसं होतं..किंवा कसं कसं बदलतं?..उदाहरण दे बघू..”

“समजा दोन लोखंडाचे गोळे आहेत. त्यातील एक २० किलोग्राम वस्तुमानाचा आहे व दुसरा ४० किलोग्राम वस्तुमानाचा आहे. ते एकमेकांपासून १० मीटर अंतरावर आहेत. तर त्यांच्यातील गुरुत्वबळ किती असेल, तर

F = Gm1m2/r²

यात m1 म्हणजे पहिल्या गोळ्याचे वस्तुमान अर्थात २० किग्रा., m2 म्हणजे दुसऱ्या गोळ्याचे वस्तुमान अर्थात ४० किग्रा. त्यांच्यातील अंतर r हे झाले १० मीटर. शिवाय G हा गुरुत्व स्थिरांक त्याची किंमत असते ६.६७x१०^-११ न्युटन मीटर^२/ किलोग्राम^२. मग या सूत्रानुसार गुणाकार केला तर या गुरुत्वबळाची किंमत येते..

F=20x40x6.67x10^-11/10x10 न्यूटन”

“इऽऽऽ जाउदे. फारच कमी असणार रे हे बळ..एक उदाहरण दे..मला सांग की या दोन वस्तू एखाद्या बाह्यबळाने जवळ आणल्या तसेच लांब नेल्या, तसेच यांमधील एका वस्तूचे वस्तुमान दुप्पट केले, चौपट केले, किंवा दोन्ही वस्तूंची वस्तुमाने दुप्पट केली तर हे गुरुत्वबळ कितीपट होईल..शिवाय त्यांच्यातले अंतर दुप्पट केले, अर्ध्यावर आणले तर गुरुत्वबळ कितीने कमी होइल?”

M1(किलोग्राम)	M2(किलोग्राम)	R(मीटर)	गुरुत्वबळ(न्यूटन)= Gm1m2/r2
२०	४०	१०	F=53.36x10-9N
४०	४०	१०	2F
८०	४०	१०	4F
८०	८०	१०	16F
८०	८०	२०	4F
८०	८०	४०	F
20	5.97x1024	10	F = 20x9.8=196 Newton

“अरे हे शेवटचं काय महाभयंकर वस्तुमान आहे? काय आहे हे विक्रमा?”

“हो वेताळा, त्या दोन वस्तूंची वस्तुमाने दुप्पट, चौपट केली तरीही ते दोन गोळे एकमेकावर आदळत नाहीत. म्हणूनच तर पृथ्वीवरील सर्व स्थायू व द्रव एकमेकांवर सारखे आदळत नाहीत. कारण ते बळ अतिक्षीण आहे. ही ओढाओढ प्रभावीपणे होण्यासाठी या सूत्रातील एक वस्तुमान हे पृथ्वीसारखे अतिप्रचंड हवे. शेवटच्या ओळीतील वस्तुमान हे पृथ्वीचे वस्तुमान आहे. मग जे गुरुत्व आपण बोलतोय ते दिसू लागते. म्हणजे या सूत्रात जर आपण एक वस्तू ही पृथ्वी घेतली तर तिचे वस्तुमान म्हणजे पृथ्वीचे वस्तुमान(5.97x10²⁴ किग्रा) घेतले तर त्या दोन वस्तूंमधील अंतर हे साधारण पृथ्वीच्या त्रिज्येइतके(earth’s radius=6.37x10⁶ मीटर) असेल

F=20x5.97x10²⁴x 6.67x 10^-11/ (6.37x10⁶)²”

“मग विक्रमा ह्या सूत्रात एक वस्तू कायमची पृथ्वी घेतली तर ते सूत्र कसे होईल? आणि त्याला काय म्हणावे? आणि या सारणीत हा ९.८ अंक कसला आलाय?”

“उत्तम प्रश्न वेताळा. हे गुरुत्वबळ म्हणजे खरे त्या पदार्थाचे पृथ्वीवरील वजन.”

“अरे विक्रमा, म्हणजे पृथ्वीवरील वजनाचा खरा अर्थ पृथ्वी त्या वस्तूला किती बळाने ओढते ते गुरुत्वबळ होय! बर बर. सांग मग त्यासाठीचे सूत्र काय असेल?”

“F=Gm1m2/r²

या सूत्रात

गुरुत्व स्थिरांक(G) = ६.६७x१०-११ न्युटन मीटर२/ किलोग्राम२

m2 = पृथ्वीचे वस्तुमान = 5.97x10²⁴ किग्रा

r = पृथ्वीची त्रिज्या (earth’s radius) =6.37x10⁶ मीटर

या किंमती घातल्या तर

F = m1 x (Gm2)/(r²) = m1 x ६.६७x१०-११ x ५.९७ x १०^२४/(६.३७x१०^६)^२

= m1 x ३९.८२ x १०^१३/४०.५७ x १०^१२

= m1 x ९.८ Newton

“अरे विक्रमा हे नंतरचे शेपुट काय आहे? आणि ह्या ९.८ चे एकक काय?”

“वेताळा या ९.८ चे एकक मी/सेकंद^२”

“मीटर प्रति सेकंद^२ हे तर त्वरणाचे एकक..म्हणजे पृथ्वी प्रत्येक वस्तूचा वेग ९.८ ने वाढवते?”

“दुसऱ्या कोणत्या बळाने एखाद्या वस्तूला फेकले असेल म्हणजे पृथ्वीच्या गुरुत्वाच्या विरुद्ध दिशे
त ते बळ काम करत असेल तर त्या वस्तूचा वेग पृथ्वी दर सेकंदाला ९.८ मीटर/सेकंदाने कमी करते..जर वस्तू खाली पडत असेल तर पृथ्वी तोच वेग दर सेकंदाला ९.८ मीटर/सेकंदाने वाढवते..”

“अच्छा पण विक्रमा तू मला हे सांगितले नाहीस की ती २० किलोग्रामची वस्तू किती लांब पडेल? ती फेकण्यासाठी किती बळ लावावे लागेल? तिचा प्रवास कसा घडेल? किती अंतरावर ती वस्तू थांबल्यासारखी होईल व खाली पडायला सुरुवात करेल? पण हे काय विक्रमा तू सारा वेळ ही सूत्रे सांगण्यातच खर्च केलास..शिवाय क्षितिजसमांतर व ऊर्ध्वगामी दिशेतील हालचालींविषयी काहीतरी सांगत होतास त्याचं काय पुढं झालं तेही सांगितलं नाहीस. काही हरकत नाही..पुन्हा येणारच मी, गुरुत्वबळासारखा दरक्षणाला येत नसलो तरीही दर अमावस्येला मात्र येतच असतो मी..तेव्हा भेटू पुन्हा विक्रमा हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

गुरुत्वबळ हे भौतिकशास्त्रात केवळ काही न्यूटन इतकेच दिसत असले तरीही आपण बहुतेक जण पृथ्वीवरच चालत फिरत असल्याने त्याच्या प्रचंड प्रभावाची कल्पनाच येत नाही. एखादया अपघातग्रस्त होऊन खाली पडणाऱ्या विमानातील वैमानिकालाच त्याचे प्रखर रूप अनुभावाने माहित असते. पॅराशुट घेउन विमानातून खाली उडी मारली व दुर्दैवाने ते पॅराशूट उघडलेच नाही तर मृत्यू अटळ..बंजीजंपिग सारख्या खेळात बांधून ठेवणारी दोरी तुटली तर मरण वाढून ठेवलेलं. डोंगरदऱ्यांवर चढताना पाय घसरून खोल दऱ्यांकडे खेचते तेही हेच गुरुत्वबळ. एवढेच काय तर अवकाशातून पुन्हा पृथ्वीच्या वातावरणात शिरताना अंतराळयानालाही हे महाप्रचंड गुरुत्वबळ ग्रासतेच व त्यात भारताच्या कल्पना चावलासारख्या अंतराळवीराला वीरगतीही प्राप्त होते. त्या महाप्रचंड गुरुत्वाकर्षणाला व त्यालाही उल्लंघून अवकाशयानातून सफरी करणाऱ्या कल्पना चावलांसारख्या उत्तुंग कर्तृत्वाच्या अंतराळवीरांना प्रणाम करतच सारी सृष्टी निद्रादेवीची आराधना करु लागली..

(क्रमश:)

मूळ गोष्ट : विक्रम वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात