ब्रह्मगुप्ताची वर्गसमीकरणाची उकल आणि गतीचे दुसरे समीकरण (Brahmagupt’s solution for the quadratic equation and the second kinematic equation)

वरवर पाहता दोन अजिबात संबंध नसणाऱ्या गोष्टींमध्ये जो संबंध लावू शकतो आणि त्याच्या आधारे आपल्याला हवी ती गोष्ट जो माहिती करून घेऊ शकतो आणि त्याचा इतर दोन गोष्टींवर होणारा संबंध जो जाणतो तो खरा द्रष्टा, तो खरा ज्ञानी. पावलाच्या ठशावरून वाघ आहे का सिंह हे जो ओळखतो तो वाटाड्या, पण केवळ ठशावरून जो प्राण्याचा स्वभाव ओळखतो आणि त्याच्या पासून होणाऱ्या धोक्याची पूर्वसूचना योग्य वेळी देतो तो खरा ज्ञानी. विक्रम राजा हा तर महाज्ञानी. बुद्धिबळाच्या पटावर शत्रूच्या पुढच्या चार चाली जाणून त्यावर प्रतिचाल करण्याची त्याची सवय. निसर्गाच्या बदलत्या लहरींच्या भविष्यात होणाऱ्या परिणामांचा अंदाज बांधून त्यातून प्रजाजनांची कशी दैना होणार नाही याच्या उपाययोजनांची सूत्रे तो मानातच जोखत होता. या सूत्रांची पडताळणी आपल्या अनुभवांच्या/निरीक्षणांच्या आधारे करत होता.

“काय रे राजा, तुम्हा मानवांचा या समीकरणांवर फारच भर असतो. शिवाय तुम्ही लोक आलेखही काढता. तू म्हणालास तसे एकसमान सरासरी गती (constant average velocity) असताना विस्थापनाच्या रेषीय समीकरणात (linear equation of displacement) त्याचा पहिला विकलीत किंवा विखंडित (primary derivative) वेग हा त्या रेषेच्या चढणीच्या किंवा उतरणीच्या(slope of the line graph) स्वरूपात दडलेला असतो. पण एखादा चोर हुडकून काढावा तसे शोधणाऱ्याला कुठे शोधायचे ते माहिती पाहिजे. तीच गत एकसमान त्वरण (constant acceleration) असताना जर वेग-काळ आलेख काढला तर ते त्वरण सुद्धा त्या रेषेच्या चढणीच्या स्वरूपात येउन दडतेच. गरज असते ती फक्त आलेखाद्वारे त्या त्वरणाचा माग काढायची. पण मला ही माहिती अपुरीच वाटतेय. मी तुम्हा मानवांना जर नीट ओळखत असेन तर तुम्ही माणसं पक्की आळशी आणि कामचुकार असता. थोडक्या कष्टांमध्ये अधिकाधिक काम कसे करता येईल हे पाहात असता. असलेल्या गोष्टीपेक्षा जास्तच तुम्हाला हवं असतं. तुम्हाला चाकाचा शोध लागला मग तुम्ही चाकांवर चालणाऱ्या घोडागाड्या आणल्या. घोड्यांचा वेगात समाधान झालं नाही म्हणून गाड्या काढल्या, गाड्यांनी समाधान होइना मग विमानं काढली असो. त्यासाठीच्या संधी तुम्ही कायम शोधत असता. हे जर खरं असेल तर विस्थापनावरून थेट त्वरण कळून घेण्यासाठी तुम्ही काहीतरी शोधलंच असेल नाही का? बरोबर आहेना मी म्हणतो ते?”

“वेताळा तू उपहास करतोयस की कौतुक हेच कधी कधी समजेनासं होतं. तू पूर्वीच्या जन्मी कधी भारतदेशातील पुण्यनगरीत जन्माला आला होतास की काय अशी शंका वाटते..”

“विक्रमा ही विनोद करण्याची वेळ नव्हे..य:कश्चित मानवांबरोबर करावयाचे विनोद इथे नकोत..लवकर सांग..”

“वेताळा तुझं निरीक्षण नेहमीप्रमाणेच निर्विवादपणे अचूक आहे. खरे तर मानवाने बुद्धीचा वापर विधायक गोष्टींसाठी केला तर तो एकच गणिती सूत्र ज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये करून वेगवेगळ्या गोष्टी साध्य करू शकतो. विविध ज्ञानशाखा या एकाच गोष्टींकडे बघण्याचे विविधरंगी चष्मे आहेत एवढेच. त्यातून ज्या गोष्टीचा अभ्यास चालला आहे तिच्याविषयीची सर्वच माहिती मिळेल असे नाही. आता  हेच पहा ना..गणितातील (algebra) वर्गीय समीकरण(quadratic equation) हेच मानवाने विस्थापनापासून त्वरण मिळवण्यासाठी वापरले.”

“बघ मी म्हटलं होतं ना! पटकन सांग यामागे तुम्ही काय डोकं चालवलंय ते..”

“वेताळा वर्गीय समीकरण हे सर्वसाधारण पणे ax2 + bx + c = 0 या सूत्राने दर्शविले जाते. Y = mx + c या एकरेषीय समीकरणा प्रमाणेच याही समीकरणात x हेच मोजपट्टीसाठी वापरले जाणारे चल (variable) आहे. मजा अशी आहे की या समीकरणातील a ची किंमत आपण ० केली तर हे समीकरण bx = c एवढेच उरते.”

“अरेचा म्हणजे a जर शून्य झाला तर वर्गसमीकरण हे एकरेषीय समीकरणच होते. पण याचा व्यवहारात काय उपयोग. उगीच हा शून्य झाला तर असे आणि नाही झाला तर तसे ह्याला काही व्यवहारात अर्थ असला पाहिजे की नाही?”

“आहे जरूरच आहे. ब्रह्मगुप्त या प्राचीन भारतीय गणितज्ञाने वर्गसमीकरणे ० बरोबर पहिल्याप्रथम सोडविली (इसवीसन ५९८ - ~ ६६५) आणि या समीकरणाला ax2 + bx = c  असे मांडले. ब्रह्मगुप्ताने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत या ग्रंथाच्या १८ व्या प्रकरणात या समीकरणाची उकल पहिल्याप्रथम एकरेषीय समीकरण स्वरूपात
x=(-b+√(b^2+4ac ))/2a
अशी मांडली. यात नंतर सुधारणा झाल्या तरीही ब्रह्मगुप्ताने पहिल्यानेच इतकी चांगली व अचूकतेच्या जवळ जाणारी उकल सांगितली. हा ब्रह्मगुप्त गणित आणि खगोलशास्त्राच्या अनेक शाखांमध्ये पारंगत होता. त्रिकोणीय भूमिती मध्ये पायथागोरसचा सिद्धांत पाळणाऱ्या संख्यांची मालिका यानेच सांगितली. शून्याचा एक संख्येच्या स्वरूपात उपयोग यानेच केला. π ची किंमत त्यानेच ३ इतकी वापरली.”

“विक्रमा हा ब्रह्मगुप्त नि:संशय एक महान गणिती होता हे मान्य. पण या वर्गसमीकरणाचा पदार्थ विज्ञानाशी संबंध काय तो सांग..”

“वेताळा ax2 + bx + c या समीकरणात a ची किंमत शून्य झाली तर ते एकरेषीय समीकरण होते. समजा एखादी वस्तू एकसमान वेगाने प्रवास करत असेल तर तिचे त्वरण(acceleration) शून्य असते. जर वर्गसमीकरणात a ची किंमत शून्य नसेल तर ते समीकरण आपण एकसमान त्वरण (constant acceleration) असलेल्या गतीसाठी आपण वापरू शकतो. पण असे करताना आपल्याला याचा उपयोग एखाद्या सूत्रासारखा करावा लागतो. ते सूत्र म्हणजे वर्गीय सूत्र (quadratic formula). हे सूत्र y = ax2 + bx + c अशा रितीने लिहिले जाते.”

“विक्रमा, याचा संबंध कोणत्या गतिविषयक समीकरणाशी लावुन दाखव मग?”

“हो हो का नाही? वेताळा, s = ut + at2/2 या समीकरणात जर त्वरण म्हणजे a ची किंमत जर शून्य नसली, म्हणजेच वस्तूचा वेग एकसमान दराने वाढत किंवा घटत असला तर हे समीकरण आपण वर्गसमीकरण म्हणून वापरू शकतो. याच समीकरणाची वेगळी मांडणी केली व विस्थापन(s), प्रवासाचा काळ(t), सुरुवातीचा वेग (u) माहित असला तर आपल्याला थेट त्वरण(a) किती आहे ते मोजता येते.”

“पण राजा, या समीकरणाचा उपयोग करून तू काही आलेख काढशील की नाही? सगळंच हवेत चालल्यासारखं वाटतंय”

“होय सर्वप्रथम हे सांगितलं पाहिजे की या समीकरणात केवळ काळ(t) हेच चल घेतलं आहे. काळाच्या मोजपट्टीवर विस्थापन मोजलं आहे. शिवाय वस्तूची आरंभस्थिती जर आरंभबिंदूपाशी नसली तर वस्तूची मूळस्थिती S0 या अक्षराने दाखवू. वस्तूचा आरंभीचा वेग u इतका होता. वस्तूला मिळालेले एकसमान त्वरण a इतके होते. या संदर्भात दुसरे गतीसमीकरण वर्गसमीकरणासारखे दिसू लागते. (आकृती १)

“विक्रमा काही उदाहरण घेऊन सांग.”
“हो..जर वस्तूचा वेग वाढत(acceleration) असेल उदाहरणार्थ: s0 = 1, u = 2, a= 3 तर गतीचे समीकरण s = 1+2t+3t2 /2 असे होते व  आलेख खालील प्रमाणे येतो

पण जर वस्तू समजा सुरुवातीला ३०मी/सेकंद वेगाने जाऊ लागली व नंतर तिचा वेग घटत गेला (deceleration). उदा.s0 = 1, u = 30, a= -3 तर गतीचे समीकरण s = 1+30t-3t2 /2 असे होते व  आलेख खालील प्रमाणे येतो 

“वेताळा आपल्या उदाहरणांमध्ये काळ हा ऋण नसल्याने Y अक्षाच्या एकाच बाजूचे आलेख आहेत. पण यावरून तू कल्पना करू शकतोस की त्वरणाचा आलेख कायम कढई सारखा (parabola) व मंदनाचा आलेख पिंडीसारखा (Inverse parabola) येतो. शिवाय त्वरण वाढते तसे हा कढई सारखा आकार निमुळता  होत जातो.”

“राजा मला हे लक्षात येतंय की तुम्ही वेगवेगळ्या कारणांसाठी वेगवेगळी समीकरणे बदलता. विखंडन(differentiation) करता. वर्ग(square) करता, आलेखाद्वारे चढण(slope) काढता. पण मला सांग जर मला वेगाकडून विस्थापनाकडे जायचं तर मी काय करू? किंवा त्वरणाकडून वेगाकडे जायचं तर ते आलेखाद्वारे कसे करायचे? का अभिमन्यूसारखा चक्रव्यूह भेदून तुम्ही यातच अडकलात? विखंडिता कडून मूळ राशीकडे कसे परत जाता? पण ते असो. माझी मात्र जायची वेळ झाली आणि मला जायचा रस्ताही माहिती आहे. पुन्हा भेटू राजा..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

वटवाघळे, घुबडे, रातकिडे या साऱ्यांनीच हे संभाषण ऐकले. वर्गसमीकरणाशी आपल्या प्रवासाचा संबंध कसा आहे. आपला आधीचा वेग, प्रवासाचा काळ, कापलेले अंतर मोजण्याची सर्वांनीच सोय केली व सारेच प्रवासाला निघाले. जंगल या सर्वांच्या वर्दळीने गलबलून गेले...विक्रमाच्या रथाचे घोडे मात्र राजा हा चक्रव्यूह कसा भेदणार या चिंतेतच होते...

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

वेग = विस्थापनाच्या रेषीय समीकरणाची चढण (velocity = slope of the linear equation of displacement)

विक्रम हा एक राजा. ‘राजा कालस्य कारणम्’ या न्यायाने आजुबाजूला घडणाऱ्या गोष्टींची माहिती त्याला असणं साहजिकच. आणि बऱ्याचश्या आर्थिक, सामाजिक धोरणांचा तोच कर्ता-करविता. राज्यात हे सर्व करायला अष्टप्रधान, सेवक, अधिकारी असले तरीही सर्व राज्याच्या रथाची सूत्रे राजाच्याच हाती. वरवर पाहणाऱ्याला प्रत्यक्ष राजाचा सहभाग दिसत नसला तरीही जाणकाराला मात्र तो जाणवल्या शिवाय राहत नसे. फलिते काही असली तरीही सर्व सूत्रे व समीकरणे राजाच्याच दरबारातून आणि खलबतखान्यातून हलविली जात.

अश्याच काही भावी समीकरणांची जुळवाजुळव राजाच्या मनात चालली असतानाच वेताळ राजाच्या पाठीवर स्वार होत्साता म्हणाला. “राजा एक चक्रवर्ती राजा म्हणून तुझ्या मांडलिक राजांना एवढ्या समीकरणांत बांधून ठेवलंस..मग विस्थापन-वेग-त्वरणादि भुतांच्या पिल्लावळीला का मोकाट सोडलयंस? का तू माझ्या पासून काही लपवित आहेस? विखंडन (differentiation or derivative ) पद्धतीचे पुराण सांगत बसलास तेव्हाच मला खात्री झाली होती की तुझी ती मुंगी झाडावर चढताना तिच्या मागे मागे जाऊन मोजमापे घेण्याइतके तुम्ही मानव कष्टाळू मुळीच नाही आहात. यासर्व विस्थापनांना त्यांच्या विकलनाशी म्हणजेच वेगाशी, किंवा वेगाला त्याच्या विकलानाशी बांधणाऱ्या काही युक्त्या तुम्ही शोधल्या असणारच..बऱ्या बोलानं सांग..नाही तर तुझ्या तलवारीने तुझेच खंड खंड करीन!”

“सांगतो वेताळा सांगतो..एखाद्या वस्तूला बाह्यबलाने ढकललं. त्याकारणाने ती वस्तू मूळ स्थानापासून दुसऱ्या ठिकाणी जाऊन विसावली. दरम्यानच्या t एवढ्या काळात तिचं s इतकं विस्थापन झालं. याठिकाणी जसा जसा काळ पुढे सरकतो तशी वस्तू जागा बदलत असल्याने वस्तूचे जागा बदलणे हे काळाच्या परिभाषेत मांडल्यास विस्थापन हे काळाचे फलित आहे (Displacement is a function of time) असे म्हणू.

S = f (t)
यात विस्थापनाची जबाबदारी मात्र काळावर ठेवलेली नाही. ते घडतंय बाह्यबलामुळेच. पण काळाचे टिकटिकणे पृथ्वीवर सर्वठिकाणी एकसमान असल्याने त्याचा केवळ संदर्भ आपण घेतोय. जसा काळ जातोय तसं विस्थापन मोजतोय. म्हणूनच या ठिकाणी काळ हा निरीक्षकाच्या स्थितीगती चौकटीतूनच पुढे सरकतोय. त्या सरकणाऱ्या काळाच्या आधारे निरीक्षकच विस्थापनादि मापे घेतोय.”

“फलित? ही काय भानगड आहे? त्याचा या सर्वांशी काय संबंध?”

“वेताळा..या पारंपारिक पदार्थविज्ञानाचा पाया हा ‘कारण-परिणाम’ (cause-effect) साखळीवर नितांत विश्वास ठेवतो. बाह्य बल (external force) हे कारण (cause)..विस्थापन(displacement) हा दिसणारा परिणाम(effect). काळ(t) ही झाली ते मोजायची स्थिर मोजपट्टी. अगदीच सोपं उदाहरण द्यायचं झालं तर दुधाचं घेता येईल. दूध असलेलं पातेलं घेतलं, त्याला विरजण लावलं तर थोड्या वेळानं दही तयार झालं. मग दही घुसळलं तर त्याचं ताक तयार झालं. शिवाय लोण्याला कढवलं तर त्याचं तूप तयार झालं. पण मुळात दूधच नसतं तर हे बाकीचं तयार झालं असतं काय? नाही. त्याप्रमाणेच बाह्यबल आणि विस्थापन नसतं तर वेग, त्वरण/मंदन, संवेग या शक्यताच निर्माण झाल्या नसत्या. म्हणूनच या संदर्भात आपण म्हणू शकतो की दुधापासून होणारी ती काळाची फलिते आहेत..केवळ या अर्थी की दूधापासून काही काळानंतर अनुक्रमे दही, ताक, लोणी, व तूप ही निर्माण होतात..या ठिकाणी कारणे मात्र दुधावरील प्रक्रीया हे आहे. सांगायचा मुद्दा एवढाच की काळाचे फलित(function of time) याचा अर्थ केवळ काळाच्या मोजपट्टीवर(on the scale of time) एवढाच घ्यायचा. विस्थापन हे काळामुळे होतंय असा अर्थ घ्यायचा नाही. यात काळ हा कारण नाही. बाह्यबल हेच मुख्य कारण. काळ ही केवळ स्थिती-गती चौकट(frame of reference) किंवा मोजपट्टी! ”

“ते  ठिक आहे राजा..पण या फलिताचा इथे काय रे संबंध?”

“वेताळा एकदा का तू s = f(t) हे मान्य केलेस की आपण अर्धी लढाई जिंकली. दुधावर प्रक्रीया करून जसे दही व दह्याचे घुसळून ताक तयार करते तशीच विस्थापनावर विखंडन प्रक्रीया करून वेग आणि वेगावर पुन्हा विखंडन करून त्वरण/मंदन मिळवता येते. पण केवळ दूध नुसतेच ठेवून दिले तर त्याचे कालांतराने आपोआप दही, ताक होईलच असे नाही, ते नासूनही जाईल. तात्पर्य एवढंच की इथेही काळ ही मोजपट्टीच.

f (t) = s
याचे पहिले विखंडन (derivative) म्हणजे
f’(t) = ds/dt = v जसे दुधापासून दही.
पुन्हा या वेगाचे विखंडन केले म्हणजे
f’’(t) = dv/dt = a” जसे दह्यापासून ताक.
“पण राजा ह्यातून काय अर्थबोध घ्यायचा? काही उदाहरण देशील की नाही?”
“हो..हो वेताळा..s एवढे विस्थापन होण्यासाठी t हा काळ लागला. आता  याच विस्थापनाची काही निरीक्षणे नोंदवू. शिवाय असेही गृहित धरूया की विस्थपन होताना ते एकसमान सरासरी वेगाने (constant average velocity) होत आहे. म्हणजे त्वरण शून्य (zero acceleration). तर अशा काही विस्थापनांचा आपण विस्थापन-काळ(displacement-time) आलेख काढूया.

वेताळा याकडे अनेक गणितज्ञांनी आणि भौतिकींनी वेगवेगळ्या पद्धतीने बघितले. एकाच सोप्या वाटाणाऱ्या गोष्टीपासून मानवाची बुद्धी किती अर्थ काढू शकते पाहा:

• केवळ या रेषेकडे पाहिल्यास आपणास म्हणता  येते की त्या रेषेची चढण(slope) ही एकसमान असून ती चढण =  २/१=४/२=६/३=८/४=१०/५ म्हणजेच २ ही चढण आहे.
• दुसरे म्हणजे s = f(t) या न्यायाने पाहिल्यास प्रत्येक ठिकाणी 2=f(1), 4=f(2) असा एकसमान धागा दिसतो.
• x आणि y अक्ष आणि आलेखाच्या बाबतीत बोलायचे झाल्यास..Y=2 x X असे या रेषेचे समीकरण आपल्याला मिळते. यावरूनच आपल्याला कळते की हे एकरेषीय समीकरण आहे(linear equation).
• शिवाय याचा प्रथम विखंडित(primary derivative) काढल्यास असे दिसते की v = ds/dt = 2/1=4/2=6/3…10/5..म्हणजे वस्तूचा एकसमान वेग २ एकक/सेकंद इतका आहे.”

“म्हणजे राजा तुला असे म्हणायचंय की विस्थापनाचा प्रथम विखंडित (primary derivative of displacement) वेग म्हणजेच विस्थापन-काळ आलेखाची चढण(slope of displacement-time graph). थोडक्यात वेग किंवा विस्थापनाच्या बदलाचा दर म्हणजेच त्या आलेखाच्या चढाचा दर?”

“अगदी बरोबर वेताळा!!! आणि जर ही चाल एकसमान सरासरी वेगाची असेल तर ते समीकरण y=2x अशा रितीने दाखविले जाऊ शकते. शिवाय ते समीकरण मुळारंभातून(origin) जाते ते थेट अज्ञातापर्यंत जाते. शिवाय समीकरणामुळे व चढण कळल्यामुळे अजून निरीक्षणे घ्यायची गरज नाही. काम फत्ते.”

“पण राजा हे केवळ प्रथम फलितालाच लागू होतं का?”

“हो. पण इथे एक गंमत आहे. विस्थापन-काळ(displacement-time) आलेखाची चढण(slope) वेग दाखवते. पण जर वेग-काळ(velocity-time) आलेख काढला तर त्याची चढण त्वरण/मंदन दाखवते. एक उदाहरण देतो. समजा एखादी वस्तू एकसमान त्वरणाने(constant acceleration) जात असेल तर आलेख खालीलप्रमाणे दिसतो.

“ म्हणजे या आलेखाची चढण हाच या वेगाशी संबंधित त्वरण..मग या आलेखाशी संबंधित सूत्र काय?”

“वेताळा एकसमान त्वरण असल्याने या गतीचा आलेख एका रेषेतच जातोय हे स्पष्ट आहे. म्हणजेच समीकरणाच्या भाषेत हे एकरेषीय समीकरण(linear equation) आहे. रेषीय समीकरण हे पुढील सर्व साधारण सूत्राने दाखवले जाते.
Y = m X + C
याठिकाणी
X = मोजपट्टीसाठी वापरली जाणारी राशी. एखाद्या भौतिक राशीत काळानुसार बदल मोजायचा असेल तर इथे काळ ही राशीच असते.
m = आलेख रेषेचा चढ किंवा प्रथम विखंड (primary derivative) विस्थापन-काळ आलेख असेल तर m=वेग. वेग-काळ आलेख असेल तर m=त्वरण
C = मोजमापासाठी घड्याळ लावण्याआधी असलेली भौतिक राशीची किंमत. उदाहरणार्थ मुंगीने नारळाच्या झाडाच्या मध्यातून चढायला सुरुवात केली असेल तर तिथपर्यंतची उंची C मध्ये येणार. जर विस्थापन जमिनीपासून मोजत गेले तर C = ०.
Y = ज्या भौतिक राशीतला बदल मोजायचा ती राशी. उदाहरणार्थ विस्थापन, वेग इत्यादि.

“मग राजा ३ मी/सेकंद या एकसमान सरासरी वेगाने वस्तू जात असेल आणि मुंगी २ मी. उंचीवरून चढायला लागली तर हे समीकरण असे असणार?”

“वेताळा जर विस्थापन-काळ आलेख असेल तर वेग = m = ३मी/सेकंद असणार. Y = 3 X + C हे समीकरण असणार. यात C= 2 घेऊन Y = 3x+2 असे समीकरण असणार.

पण वेग – काळ आलेख काढला तर एकसमान वेग म्हणजे त्वरण(acceleration) = m = ०. म्हणून ही वेगरेषा २ मी अंतरावर काळाला समांतर धावणार. ”

“पण मग राजा जर त्वरणही असेल आणि ते  सारखे बदलत असेल तर कसे मोजणार? काय हे अर्धवट उत्तरे देतोस सारखी..पण रात्रीचा प्रहर मात्र  सरला..मी चाललो..पुन्हा भेटू राजा..आता महालात परत जायला तुला एकसमान त्वरणाने जावं लागेल..घाई कर..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

विक्रम राजा रथाकडे चालत येत असताना रथाचा एक घोडा दुसऱ्याला विचारत होता

“जंगलापासून आपला रथ २ किमी वर आहे. आपण ३०किमी/ तास या एकसमान सरासरी वेगाने गेलो तर महालात जायला किती वेळ लागेल?”

दुसरा म्हणाला “अरे घोड्या, तू घोडा आहेस,माणूस नाहीस..चारा संपव पटकन..ते बघ महाराज पोहोचतायत..आपल्याला निघावं लागेल!”

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात