ब्रह्मगुप्ताची वर्गसमीकरणाची उकल आणि गतीचे दुसरे समीकरण (Brahmagupt’s solution for the quadratic equation and the second kinematic equation)

वरवर पाहता दोन अजिबात संबंध नसणाऱ्या गोष्टींमध्ये जो संबंध लावू शकतो आणि त्याच्या आधारे आपल्याला हवी ती गोष्ट जो माहिती करून घेऊ शकतो आणि त्याचा इतर दोन गोष्टींवर होणारा संबंध जो जाणतो तो खरा द्रष्टा, तो खरा ज्ञानी. पावलाच्या ठशावरून वाघ आहे का सिंह हे जो ओळखतो तो वाटाड्या, पण केवळ ठशावरून जो प्राण्याचा स्वभाव ओळखतो आणि त्याच्या पासून होणाऱ्या धोक्याची पूर्वसूचना योग्य वेळी देतो तो खरा ज्ञानी. विक्रम राजा हा तर महाज्ञानी. बुद्धिबळाच्या पटावर शत्रूच्या पुढच्या चार चाली जाणून त्यावर प्रतिचाल करण्याची त्याची सवय. निसर्गाच्या बदलत्या लहरींच्या भविष्यात होणाऱ्या परिणामांचा अंदाज बांधून त्यातून प्रजाजनांची कशी दैना होणार नाही याच्या उपाययोजनांची सूत्रे तो मानातच जोखत होता. या सूत्रांची पडताळणी आपल्या अनुभवांच्या/निरीक्षणांच्या आधारे करत होता.

“काय रे राजा, तुम्हा मानवांचा या समीकरणांवर फारच भर असतो. शिवाय तुम्ही लोक आलेखही काढता. तू म्हणालास तसे एकसमान सरासरी गती (constant average velocity) असताना विस्थापनाच्या रेषीय समीकरणात (linear equation of displacement) त्याचा पहिला विकलीत किंवा विखंडित (primary derivative) वेग हा त्या रेषेच्या चढणीच्या किंवा उतरणीच्या(slope of the line graph) स्वरूपात दडलेला असतो. पण एखादा चोर हुडकून काढावा तसे शोधणाऱ्याला कुठे शोधायचे ते माहिती पाहिजे. तीच गत एकसमान त्वरण (constant acceleration) असताना जर वेग-काळ आलेख काढला तर ते त्वरण सुद्धा त्या रेषेच्या चढणीच्या स्वरूपात येउन दडतेच. गरज असते ती फक्त आलेखाद्वारे त्या त्वरणाचा माग काढायची. पण मला ही माहिती अपुरीच वाटतेय. मी तुम्हा मानवांना जर नीट ओळखत असेन तर तुम्ही माणसं पक्की आळशी आणि कामचुकार असता. थोडक्या कष्टांमध्ये अधिकाधिक काम कसे करता येईल हे पाहात असता. असलेल्या गोष्टीपेक्षा जास्तच तुम्हाला हवं असतं. तुम्हाला चाकाचा शोध लागला मग तुम्ही चाकांवर चालणाऱ्या घोडागाड्या आणल्या. घोड्यांचा वेगात समाधान झालं नाही म्हणून गाड्या काढल्या, गाड्यांनी समाधान होइना मग विमानं काढली असो. त्यासाठीच्या संधी तुम्ही कायम शोधत असता. हे जर खरं असेल तर विस्थापनावरून थेट त्वरण कळून घेण्यासाठी तुम्ही काहीतरी शोधलंच असेल नाही का? बरोबर आहेना मी म्हणतो ते?”

“वेताळा तू उपहास करतोयस की कौतुक हेच कधी कधी समजेनासं होतं. तू पूर्वीच्या जन्मी कधी भारतदेशातील पुण्यनगरीत जन्माला आला होतास की काय अशी शंका वाटते..”

“विक्रमा ही विनोद करण्याची वेळ नव्हे..य:कश्चित मानवांबरोबर करावयाचे विनोद इथे नकोत..लवकर सांग..”

“वेताळा तुझं निरीक्षण नेहमीप्रमाणेच निर्विवादपणे अचूक आहे. खरे तर मानवाने बुद्धीचा वापर विधायक गोष्टींसाठी केला तर तो एकच गणिती सूत्र ज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये करून वेगवेगळ्या गोष्टी साध्य करू शकतो. विविध ज्ञानशाखा या एकाच गोष्टींकडे बघण्याचे विविधरंगी चष्मे आहेत एवढेच. त्यातून ज्या गोष्टीचा अभ्यास चालला आहे तिच्याविषयीची सर्वच माहिती मिळेल असे नाही. आता  हेच पहा ना..गणितातील (algebra) वर्गीय समीकरण(quadratic equation) हेच मानवाने विस्थापनापासून त्वरण मिळवण्यासाठी वापरले.”

“बघ मी म्हटलं होतं ना! पटकन सांग यामागे तुम्ही काय डोकं चालवलंय ते..”

“वेताळा वर्गीय समीकरण हे सर्वसाधारण पणे ax2 + bx + c = 0 या सूत्राने दर्शविले जाते. Y = mx + c या एकरेषीय समीकरणा प्रमाणेच याही समीकरणात x हेच मोजपट्टीसाठी वापरले जाणारे चल (variable) आहे. मजा अशी आहे की या समीकरणातील a ची किंमत आपण ० केली तर हे समीकरण bx = c एवढेच उरते.”

“अरेचा म्हणजे a जर शून्य झाला तर वर्गसमीकरण हे एकरेषीय समीकरणच होते. पण याचा व्यवहारात काय उपयोग. उगीच हा शून्य झाला तर असे आणि नाही झाला तर तसे ह्याला काही व्यवहारात अर्थ असला पाहिजे की नाही?”

“आहे जरूरच आहे. ब्रह्मगुप्त या प्राचीन भारतीय गणितज्ञाने वर्गसमीकरणे ० बरोबर पहिल्याप्रथम सोडविली (इसवीसन ५९८ - ~ ६६५) आणि या समीकरणाला ax2 + bx = c  असे मांडले. ब्रह्मगुप्ताने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत या ग्रंथाच्या १८ व्या प्रकरणात या समीकरणाची उकल पहिल्याप्रथम एकरेषीय समीकरण स्वरूपात
x=(-b+√(b^2+4ac ))/2a
अशी मांडली. यात नंतर सुधारणा झाल्या तरीही ब्रह्मगुप्ताने पहिल्यानेच इतकी चांगली व अचूकतेच्या जवळ जाणारी उकल सांगितली. हा ब्रह्मगुप्त गणित आणि खगोलशास्त्राच्या अनेक शाखांमध्ये पारंगत होता. त्रिकोणीय भूमिती मध्ये पायथागोरसचा सिद्धांत पाळणाऱ्या संख्यांची मालिका यानेच सांगितली. शून्याचा एक संख्येच्या स्वरूपात उपयोग यानेच केला. π ची किंमत त्यानेच ३ इतकी वापरली.”

“विक्रमा हा ब्रह्मगुप्त नि:संशय एक महान गणिती होता हे मान्य. पण या वर्गसमीकरणाचा पदार्थ विज्ञानाशी संबंध काय तो सांग..”

“वेताळा ax2 + bx + c या समीकरणात a ची किंमत शून्य झाली तर ते एकरेषीय समीकरण होते. समजा एखादी वस्तू एकसमान वेगाने प्रवास करत असेल तर तिचे त्वरण(acceleration) शून्य असते. जर वर्गसमीकरणात a ची किंमत शून्य नसेल तर ते समीकरण आपण एकसमान त्वरण (constant acceleration) असलेल्या गतीसाठी आपण वापरू शकतो. पण असे करताना आपल्याला याचा उपयोग एखाद्या सूत्रासारखा करावा लागतो. ते सूत्र म्हणजे वर्गीय सूत्र (quadratic formula). हे सूत्र y = ax2 + bx + c अशा रितीने लिहिले जाते.”

“विक्रमा, याचा संबंध कोणत्या गतिविषयक समीकरणाशी लावुन दाखव मग?”

“हो हो का नाही? वेताळा, s = ut + at2/2 या समीकरणात जर त्वरण म्हणजे a ची किंमत जर शून्य नसली, म्हणजेच वस्तूचा वेग एकसमान दराने वाढत किंवा घटत असला तर हे समीकरण आपण वर्गसमीकरण म्हणून वापरू शकतो. याच समीकरणाची वेगळी मांडणी केली व विस्थापन(s), प्रवासाचा काळ(t), सुरुवातीचा वेग (u) माहित असला तर आपल्याला थेट त्वरण(a) किती आहे ते मोजता येते.”

“पण राजा, या समीकरणाचा उपयोग करून तू काही आलेख काढशील की नाही? सगळंच हवेत चालल्यासारखं वाटतंय”

“होय सर्वप्रथम हे सांगितलं पाहिजे की या समीकरणात केवळ काळ(t) हेच चल घेतलं आहे. काळाच्या मोजपट्टीवर विस्थापन मोजलं आहे. शिवाय वस्तूची आरंभस्थिती जर आरंभबिंदूपाशी नसली तर वस्तूची मूळस्थिती S0 या अक्षराने दाखवू. वस्तूचा आरंभीचा वेग u इतका होता. वस्तूला मिळालेले एकसमान त्वरण a इतके होते. या संदर्भात दुसरे गतीसमीकरण वर्गसमीकरणासारखे दिसू लागते. (आकृती १)

“विक्रमा काही उदाहरण घेऊन सांग.”
“हो..जर वस्तूचा वेग वाढत(acceleration) असेल उदाहरणार्थ: s0 = 1, u = 2, a= 3 तर गतीचे समीकरण s = 1+2t+3t2 /2 असे होते व  आलेख खालील प्रमाणे येतो

पण जर वस्तू समजा सुरुवातीला ३०मी/सेकंद वेगाने जाऊ लागली व नंतर तिचा वेग घटत गेला (deceleration). उदा.s0 = 1, u = 30, a= -3 तर गतीचे समीकरण s = 1+30t-3t2 /2 असे होते व  आलेख खालील प्रमाणे येतो 

“वेताळा आपल्या उदाहरणांमध्ये काळ हा ऋण नसल्याने Y अक्षाच्या एकाच बाजूचे आलेख आहेत. पण यावरून तू कल्पना करू शकतोस की त्वरणाचा आलेख कायम कढई सारखा (parabola) व मंदनाचा आलेख पिंडीसारखा (Inverse parabola) येतो. शिवाय त्वरण वाढते तसे हा कढई सारखा आकार निमुळता  होत जातो.”

“राजा मला हे लक्षात येतंय की तुम्ही वेगवेगळ्या कारणांसाठी वेगवेगळी समीकरणे बदलता. विखंडन(differentiation) करता. वर्ग(square) करता, आलेखाद्वारे चढण(slope) काढता. पण मला सांग जर मला वेगाकडून विस्थापनाकडे जायचं तर मी काय करू? किंवा त्वरणाकडून वेगाकडे जायचं तर ते आलेखाद्वारे कसे करायचे? का अभिमन्यूसारखा चक्रव्यूह भेदून तुम्ही यातच अडकलात? विखंडिता कडून मूळ राशीकडे कसे परत जाता? पण ते असो. माझी मात्र जायची वेळ झाली आणि मला जायचा रस्ताही माहिती आहे. पुन्हा भेटू राजा..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

वटवाघळे, घुबडे, रातकिडे या साऱ्यांनीच हे संभाषण ऐकले. वर्गसमीकरणाशी आपल्या प्रवासाचा संबंध कसा आहे. आपला आधीचा वेग, प्रवासाचा काळ, कापलेले अंतर मोजण्याची सर्वांनीच सोय केली व सारेच प्रवासाला निघाले. जंगल या सर्वांच्या वर्दळीने गलबलून गेले...विक्रमाच्या रथाचे घोडे मात्र राजा हा चक्रव्यूह कसा भेदणार या चिंतेतच होते...

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

निरीक्षकाची स्थिती – गती चौकट आणि सहनिर्देशक पद्धती (Frame of reference and coordinate system)

राजा विक्रम आजही चिंतित होता. वेताळाला एवढी उत्तरे देऊन, एवढे तर्क लढवून तो शेवटी असा काही प्रश्न विचारतो आणि निसटतो. हे जसजसं खोल गहन होत होतं तसं ते अधिक गूढरम्यही वाटत होतं. खरोखरीच रोजच्या जगण्यातल्या किती गोष्टींना ही भुतं लपेटून असतात, किती ठिकाणी केवळ तर्क आणि निरीक्षण नसल्याने अंदाज बांधणं अवघड जातं, पण वस्तुनिष्ठ पणे सोप्यासोप्या गोष्टींच्या उकलीतून मग अधिक गहन गुंत्याकडे कसं जाता येतं याचा वस्तुपाठच जणू तो गिरवत होता. वेताळ हा एखाद्या पिशाच्चापणे आक्रस्ताळा न होता हुशार शिक्षकाप्रमाणे विचार करायलाही लावत होता आणि फिरकीही घेत होता. विस्थापन, वस्तुमान, वेग या वरकरणी सोप्या वाटणाऱ्या भुतांच्या पिल्लावळीपासून सुरूवात करून आता तो संवेग, बळ इत्यादि गुंतागुंतीच्या वेताळांकडे घेऊन निघाला होता. 

“विक्रमा, थांब अजून पुढे जायला वेळ आहे.” वेताळच तो, विक्रमाच्या विचारांच्या लहरींना अचूक पकडत आणि नेहमीप्रमाणेच त्याच्या पाठीवर बसत तो म्हणाला, “राजा, तू आतापर्यंत मला अनेक मोजमापे सांगितलीस, अनेक सदीश(vector) राशींशी संबंधित गणितं सांगितलीस, ओढून नेण्याचा गोळा, डोंगरावरून खालपर्यंत गोळे सोडून वेग मोजणं, न्यूटनच्या नियमांमधील दिशांचे संदर्भ या सगळ्यात हा मोजणारा(observer) जो आहे तो नक्की कुठं उभा आहे? तो मोजणारा जर त्या मोजमापाच्या वेळी स्थिर नसला तर तुमचे संदर्भ, गणितं, मोजमापं तीच राहतील का?”

“वेताळा रुढार्थानं याच उत्तर देणे सोपं आहे, की होय निरीक्षकाच्या स्थिती (position), गती (velocity) वर या वस्तूंच्या विस्थापन(displacement), वेग, त्वरण(acceleration)-मंदन(deceleration), संवेग(momentum) इत्यादि सदीशांचं(vector) सारं अवलंबून असतं कारण दिशा हीच मुळात एक निरीक्षक गृहित धरते. शिवाय तो निरीक्षक ज्या वस्तुंच्या वेगाची, विस्थापनाची मोजमापे करायची आहेत त्या वस्तूंच्या भवतालातच आहे हे सुद्धा गृहित धरते. उदाहरणार्थ एखाद्या वस्तूचं वजन(weight) मोजायचं असेल तर निरीक्षक तो वजनकाटा ज्या ठिकाणी आहे त्याच्या जवळच उभा आहे असे गृहित धरलं जातं. पृथ्वीवर वजन मोजलं जात असताना निरीक्षकही पृश्वीवरच आहे असं धरून चालावं लागतं, तो निरीक्षक स्थिर उभा आहे असं धरावं लागतं, त्या ठिकाणी पृथ्वीवरील ‘g’ ची किंमत आणि वजनकाटा जिथे आहे तिथली ‘g’ ची किंमत एकच आहे असं धरून चालावं लागतं. या सर्व गृहितकांना (assumptions) एकत्रितपणे निरीक्षकाची स्थिती-गती चौकट (Observer’s frame of reference) असे आपण म्हणतो. भौतिकशास्त्रातली मोजमापे करताना ही अदृश्य चौकट फारच महत्त्वाची आहे. ती दिसली नाही तर साऱ्याच मोजमापांचा बोजवारा उडेल.”

“आलास मूळपदावर? झाले तुझे शब्दांचे खेळ सुरू? काय तर म्हणे स्थिती गती चौकट? एखादे उदाहरण दे बरं,   उगीच शब्दांचे मनोरे बांधू नकोस.”

“बर बर. उदाहरणच देतो. विस्थापन आणि अंतर(distance) मोजायच्या वरवर सोप्या वाटणाऱ्या प्रयोगाकडे पाहू. प्रयोग तसा साधाच आहे. वस्तू एका ठिकाणी होती ती दुसऱ्या ठिकाणी नेली. म्हणजेच आरंभीचं ठिकाण आणि शेवटचं ठिकाण. पण ही दोन्ही ठिकाणं निरीक्षकापासून किती लांब होती. अंतर मोजताना कसं मोजलं? निरीक्षकापासून आरंभीचं ठिकाण आणि निरीक्षकापासून शेवटचं ठिकाण मोजलं आणि मग फरक काढला का? त्यालाच अंतर म्हटलं का? म्हणजे दोन निरीक्षक वेगवेगळ्या ठिकाणी असले तर पुन्हा मोजलेलं अंतर वेगळे येणार का? अश्या साऱ्या शक्याशक्यतांमुळे मोजमापात फेरफार होऊ नयेत म्हणून काही उपायांचा विचार चालू होता.

परंपरागत भारतीय विचारधारेनुसार ज्ञान मिळवण्याचे चार योग्य पर्याय होत: प्रत्यक्ष(perception), अनुमान(inference), उपमान(comparison and analogy) आणि शब्द (word, authoritative statements of knowledgeable person) हे ते चार मार्ग. वैशेषिक दर्शन तर या पैकी पाहिल्या दोन म्हणजे प्रत्यक्ष आणि अनुमान यांनाच संमती देते. यापैकी प्रत्यक्ष म्हणजे जाणीव किंवा ज्ञातेपणे पाहणे. हे पाहणे दोन प्रकारचे ज्ञानेंद्रियांच्या सहाय्याने रुप,रस,गंध इत्यादिंच्या आधारे इंद्रिय गोचर वस्तूची जाणीव होणे. दुसरी म्हणजे इंद्रियांना न जाणावणारी पण मनाला जाणवणाऱ्या गुणांच्या सहाय्याने अनुभव घेणे. योग्य जाणीव होण्यासाठी चार नियम घालून दिले आहेत:

• इंद्रियार्थसंनिकर्ष - ज्या वस्तूचा अभ्यास कारायचाय तिचा प्रत्यक्ष स्वत:च्या इद्रियांनी प्रत्यक्ष अनुभव घेणे.
• अव्यपदेश्य - ऐकीव माहितीवर आधारित राहू नये. स्वत:च्या अनुभवावरच विसंबावे
• अव्यभिचार – अनुभावावर आधारित निरीक्षण बदलत नाही
• व्यवसायात्मक – निश्चित आणि परिमाणित. योग्य निरीक्षणात कोणत्याही शंकाकुशंकेला जागा नसते कारण सर्व तपशील योग्य पद्धतीने नोंदवलेला असतो.

यावरून साफच दिसते की पहाणाऱ्याने स्वतंत्रबुद्धी व प्रत्यक्ष निरीक्षण यांचाच मुख्य आधार घेणे प्राचीन भारतीय वैशेषिकांना अपेक्षित होते. शिवाय वैशेषिकांनी द्रव्याचे खालील नऊ प्रकार सांगितले आहेत:

पृथिव्यापस्तेजो वायुराकाशं कालो दिगात्मा मन इति द्रव्याणि |
(वैशेषिक दर्शन १-२-५)

अर्थात पृथ्वी(solid), आप(liquid), तेज(energy), वायु(gases), आकाश(plasma), काल(time), दिक्(space), आत्मा, मन ही द्रव्ये आहेत. यापैकी पृथ्वी, आप, वायु, तेज, आकाश यांनी बनलेले पदार्थ हे विशिष्ट दिक्(space) आणि काल(time) व्यापतात. म्हणून त्यांना भूते किंवा पंचमहाभूते म्हटले आहे. म्हणून त्या पंचमहाभूतांच्या मापासाठी काल(time) आणि दिक्(space) या पहिल्या मोजपट्ट्या आल्या.”

“पण काल व दिक् याच का त्या मोजपट्ट्या?”

“याचं  कारण असं आहे वेताळा की दिक् व काल हे अनंत आहेत. शिवाय पंचभूते या दिक् व कालाशिवाय आकारालाच येऊ शकत नाहीत. असो तर हा झाला वैशेशिक विचार. आधुनिक वैज्ञानिक विचाराचीही दिशा तिच असली तरीही नंतर नंतर त्या मोजमापात अधिकाधिक स्पष्टता येऊ लागली. त्यात १७ व्या शतकातील फ्रेंच गणितज्ञ रेने देकार्त ने शोधलेल्या ‘कार्टेशियन सहनिर्देशकांची’(Cartesian coordinates) मोलाची मदत झाली.”

“गणितज्ञाने शोधलेल्या गोष्टीची भौतिकशास्त्रात मदत झाली? ती कशी काय? तुम्ही माणसं जरा विचित्रच असता तुमच्या सोयीसाठी तुम्ही कशाचाही संबंध कुठेही जोडता. हे सहनिर्देशक(coordinates) तुमच्या कामाला कशे आले?”

“तू म्हणतोस ते बरोबरच आहे. मोजमापाच्या सोयीसाठीच हा सर्व खटाटोप आहे. कुठल्याही ठिकाणाबद्दल माहिती देताना जसं आपण तिथल्या जवळच्या खुणांच्या आधारे सांगतो की राजवाड्या पासून तोफखान्या पर्यंत जा आणि मग तिथून डावीकडे वळून सरळ अश्वशाळेपर्यंत जा. त्या जवळच हे ठिकाण आहे वगैरे. तसंच या सहनिर्देशांक पद्धतीचं आहे. जसा आपल्या उदाहरणात आपण सर्वांना माहित असणाऱ्या राजवाड्या पासून सुरुवात केली तसाच या पद्धतीत ० हा आरंभबिंदू (origin) धरला. याठिकाणी उभं राहून समोरचा पूर्ण परिसर हा एक अतिविशाल, अमर्याद चौरस (Square) आहे असं गृहित धरलं आणि त्या चौरसाचा एक शिरोबिंदू (vertex) म्हणजेच ० बिंदू धरला. आता आपल्यासमोर एक अमर्यादित आकाराचा चौरस आहे. ० बिंदूपाशी या चौरसाच्या ज्या दोन बाजू आहेत त्यांपैकी उजवीकडे जाणारी ला x अक्ष (axis) म्हणूया आणि त्यातील दुसऱ्या बाजूला y अक्ष म्हणूया. आता आपल्या मोजण्याच्या सोयीसाठी या अमर्याद चौरसाचे समसमान तुकडे करूया. त्यासाठी एक अदृश्य तलवार घेऊन आधी x अक्षाला ती समांतर धरा व तशीच पुढे पुढे नेत समान अंतरावर तुकडे करा. गंमतीचा भाग म्हणजे तुमचा y अक्ष कापला जाईल व त्यावर सारख्या अंतरावरील बिंदूंची पंगत बसेल. हीच गोष्ट आता ती तलवार y अक्षाला समांतर धरून करा. X अक्ष कापला जाईल व त्यावर समानांतर बिदूंची पंगत बसेल. हे असं उलटसुलट वाटतंय थोडसं. पण त्याचाही उलगडा होईल. पण आता तुमचा कार्टेशियन निर्देशकांचा आराखडा तयार झाला. तुझ्यासारख्या आकाशात उडणाऱ्या वेताळाने तो पाहिला तर तो असा दिसेल.(आकृती १)”  

असं एकदा निश्चित झालं की मग कोणीही मोजमाप केले तरीही ते सारखंच येणार. उदाहरणार्थ एका स्पर्धकाने ओंडका आरंभबिंदूपासून ओढत नेला आणि क या ठिकाणी टाकला तर तो ओंडका किती अंतर गेला? (आकृती २)

आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे तो ओंडक्याने कापलेले अंतर कुठल्याही मार्गाने मोजले तरीही त्याचे शेवटचे सहनिर्देशक हे x = 10 , y = 9 असेच  असणार आहेत. पायथागोरसच्या सिद्धांतानुसार(Pythagoras theorem) हे अंतर म्हणजे x आणि y यांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ असते. गणिती भाषेत (अंतर)२ = (x)२ + (y)२ = (१०)२ + (९)२ = १८१.  शेवटी अंतर हे अंदाजे १३ इतके येते. 

“अरे विक्रमा पण हे सारं पुन्हा मोजमापाचंच बोलतोयस. पण हा निरीक्षक धावत असला किंवा स्थिर बसला असेल तर वेग वगैरे मोजमापांचे काय होते ते तू सांगतच नाहीयेस?”

“वेताळा, वेगाचं मोजमाप जरी नाही केलं तरीही एका वस्तूचा वेग आणि त्याच्या तुलनेत दुसऱ्या वस्तुचा वेग पाहताना निरीक्षक स्थिर आहे, किंवा त्या दोन्हींतील कोणत्याही एका वस्तूवर बसला आहे यावर त्याला जाणवणारा वेग बदलतो. असं पहा, साधं उदाहरण. मी जमिनीवर झाडाशेजारी उभा आहे. मी स्थिर म्हणून झाड ही स्थिर. तू वरून उडत जाताना तेच झाड पाहिलंस. तर तुला ते झाड जवळ येताना किंवा दूर जाताना दिसेल. निरीक्षकांच्या या स्थिती-गतींमुळेच या चौकटींचेही दोन प्रकार पडतात – स्थिर असणारी वा एकसमान वेगाने जाणारी अशी जडत्वभारित चौकट (Inertial Frame of Reference). त्याच्या उलट म्हणजे अस्थिर किंवा वेगात बदल होत राहणारी ती जडत्त्वरहित चौकट (Non-inertial Frame of Reference). जडत्वभारित चौकटीत वेगबदल नसल्याने काम करणारे एकूण परिणामी बल (Resultant Force) शून्य आहे असे आपण म्हणू शकतो. जडत्वरहित चौकटीत वेगबदल असल्याने त्यावर काही एक परिणामी बल कार्य करत असते. ”

“राजा तुला खोडच आहे शब्दच्छल करण्याची. उदाहरण दे, उदाहरण.”

“बर, बर. हे पहा समजा आमच्या राजमार्गावरून एक हत्ती शांतपणे झुलत झुलत ५.५ मी/सेकंद वेगाने महालाच्या डावीकडून उजवीकडे निघाला आहे. त्याच्याच १ किलोमीटर मागे एक घोडागाडी १६.७ मी/सेकंद वेगाने दौडत येत आहे. या घोडागाडीच्या साथीने एक स्वार तितक्याच वेगाने दौडत आहे. उलट एक हत्ती वेगाने दौडत राजमहालाच्या उजवीकडून डावीकडे १३.७ मी/सेकंद वेगाने जात आहे. (आकृती ३)”

आता यात निरीक्षक कुठे असेल त्यावर या सर्वांचा त्याला जाणवणारा वेग (relative velocity) ठरेल. उदाहरणार्थ 

निरीक्षक १ राजवाड्यावर असेल तर त्याची गती शून्य असेल, म्हणजेच तो जडत्वभारित चौकटीत (Inertial Frame of Reference) असेल. त्याला जाणवणारी सर्वांची गती वर दिलेल्या प्रमाणेच असेल. (आकृती ४)

आता निरीक्षक २ हा घोड्यावर बसला आहे असे समजू. घोडा हा ६० किमी/तास या एकसमान वेगाने (constant velocity) चालला असल्यामुळे त्याला वेगबदलाचा सामना करावा लागणार नाही. म्हणून तोही जडत्तवभारित चौकटीतच आहे. त्याचा आणि रथाचा वेग सारखाच असल्यामुळे त्याला रथाचा वेग जाणवणार नाही. त्याने हत्तीला पाहिले असता हत्तीचा वेग त्यापेक्षा कमी असल्यामुळे हत्ती स्थिर असून मागे पडत आहे असे त्याला वाटेल. राजवाडा तर एका जागी स्थिरच आहे. त्यामुळे तिथपर्यंत पहोचेपर्यंत तो जवळ येत असल्या सारखे व त्यानंतर तो वेगाने मागे जात चालल्या सारखे वाटेल. 

निरीक्षक ३ हा झुलत जाणाऱ्या हत्तीवर बसला आहे. त्याचा वेग एकसमान असल्यामुळे तोही जडत्तवभारित चौकटीतच आहे. त्याच्या उजवीकडून घोडा व रथ जात असताना त्यांचा वेग वाढत असल्यासारखे त्याला वाटेल. शिवाय त्यांचा वेग एकसमान असल्यामुळे घोडा आणि रथ एकत्रच चालल्या सारखे त्याला वाटेल. उलटीकडून येणाऱ्या गजराजाचा वेग कमी जास्त होत असला तरीही याला जाणवणाऱ्या चढ-उतारांचे मान कमी असेल. (आकृती ५)

निरीक्षक ४ मात्र समोरून येत आहे. हत्तीचा वेग कमी जास्त होत असल्यामुळे त्याची चौकट जडत्वरहित (Non-inertial or accelerated frame of reference) प्रकारची असेल. त्याला जाणवणारे वेग हे वेगळे असतील. त्याच्या त्वरण मंदनाची माहिती असल्या शिवाय त्याला जाणवणारे इतर प्राण्यांच्या वेगांचा अंदाज बांधणेही अशक्य आहे. पहिल्या ३ निरीक्षकांच्या चौकटीला न्यूटनचा पहिला गतनियम लागू पडतो. चौथ्या निरीक्षकाला मात्र नाही.

“राजा फारच मोठे पुराण सांगितलेस बुवा. पण मी म्हणतो की या परिणामी बलाची(resultant force) मात्र तू काहीच माहिती देत नाहीस. परिणामी बल ही काय नवीन भानगड आहे? किती रे घोळ घालतोस तू? मात्र माझी वेळ झाली. मी निघालो. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

विक्रमाचा खिन्न चेहरा पाहून आभाळ स्तब्ध झाले. शांत तळ्यावर चंद्रकिरण बहुधा चंदेरी नोंदी करण्यात मग्न होते.

• किनाऱ्यावर रुतून बसलेल्या किंवा एकसमान गतीने सरळ जाणाऱ्या नावेत असते ती जडत्वभारित चौकट (Inertial Frame)
• खळाळणाऱ्या, रूद्र प्रपातात हेलकावे खाणाऱ्या किंवा वादळात भेलकांडत जाणाऱ्या, गटांगळ्या खाणाऱ्या नावेत असते ती जडत्वरहित चौकट (Non-inertial frame)
• सर्वांना समान निरीक्षणे नोंदवता यावीत म्हणून x अक्ष आणि y अक्ष या सहकाऱ्यांच्या समन्वयाने चाललेली यंत्रणा म्हणजेच कार्टेशियन सहनिर्देशन पद्धती (coordinate system).

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.