चक्री सहनिर्देशकांचा उपयोग करून चक्रव्यूह रचणे (Use of Polar Coordinates to measure Circular displacement)

विक्रमराजाचे मन चिंतातूर होते. परकीय आक्रमण झाले होते. विक्रमाच्या शूर सैनकांनी ते परतवले खरे, तरीही शत्रू काही अंतरापर्यंत आत शिरलाच होता या गोष्टीचा राहून राहून तो विचार करत होता, सेनापती, पदाती (पायदळ) सेनाध्यक्ष, तोफाध्यक्ष, दारुसाठ्याचे प्रमूख, शस्त्रसाठ्याचे कोषाधिपती या सर्वांशी तो विचार विनिमय करत होता. शिवाय राज्याबाहेरील गुप्तवार्ता विभागाचे प्रमूख यांच्याशीही सतत मसलती चालल्याच होत्या.

“अरे राजा, किती मसलती करशील? नुसत्या मसलती आणि चर्चांनी काय होते? आता काही कृती कर, शत्रूसैन्याला रणांगणात आव्हान दे आणि व्यूह रचून त्याचा बिमोड कर. आता हे एकरेषीय-चक्रीय गतीचा नाद सोड आणि शत्रूला संपव. पुरे आता!!”

“असं कसं म्हणतोस वेताळा? अरे सेनापतींनी आजच युद्धाचा प्रस्ताव मांडला, त्यासाठी चक्रव्यूह मांडला आणि वेताळा यातही चक्रगतीच्या तत्वांचा उपयोग करण्याचा आमचा निर्णय झाला.”

“अरे काय रे हे विक्रमा? तुम्हाला बुद्धी दिली आहे ती यासाठी का? यात चक्रगतीचा (circular motion), चक्री विस्थापनाचा (angular displacement) काय संबंध? या रणनीतीमध्ये तुम्ही रेडीयन ने काय मोजणार?”

“वेताळा तू अतिबुद्धिमान आहेस. असं बघ, चक्रव्यूह म्हणजे सैन्याची वर्तुळाकारात मांडणी, अशी मांडणी की ज्यामुळे आत शिरलेला शत्रू जीवंत बाहेर पडता कामा नये.”

“”अरे ते ठीक आहे विक्रमा, पण तू रणांगणात अंश किंवा रेडियन ने मोजणार तरी काय?”

“अरे वेताळा, अशा वर्तुळ मांडणी साठीच हिपार्कस नावाच्या तत्ववेत्त्याने चक्री सहनिर्देकां(Polar coordinates) ची एक पद्धती विकसित केली. यात मूळ स्थानापासून झालेले अंशीय विस्थापन (angular displacement -  θ) आणि अक्षापासूनचे अंतर किंवा त्रिज्या (Radius - R) यांचा हिशेब केला जातो. प्रत्येक बिंदूचे स्थान (θ,R) च्या संदर्भात मोजले जाते.”

“अरे विक्रमा, असा मोघम बोलू नकोस, उदाहरण दे रे.. मगाचे चक्रव्यूहाचे उदाहरण घेऊया. समजा आपली सेना रणभूमीवर उभी ठाकली आहे, ती एका रेषेत उभ्या असलेल्या अनेक रांगांच्या स्वरूपात. आता आपल्याला तिला चक्राकारात उभे करायचे आहे, तर याकामात तू तुझ्या थिटा का फिटाचा उपयोग कसा करणार?”

“ठीक आहे, समजा पहिली फळी उभी आहे १० सैनिकांची. खरेतर १००-२०० सैनिकही एका फळीत असू शकतात, पण सोयीसाठी १० घेतल्या..” (आकृती १)

“समजलं रे..नस्तं पाल्हाळ लावू नकोस..पुढे बोल..”

“तर ते दहा सैनिक आडव्या रांगेत उभे आहेत व रांगेच्या मध्यभागी सेनाध्येक्ष आहेत. सेनाध्यक्षांच्या डाव्या बाजूला ५ व उजव्या बाजूला ५ सैनिक आहेत. या चक्राकार व्यूहाच्या केंद्रभागी सेनाध्यक्ष असतील. प्रत्येक सैनिक १ मीटर चे आडव्या हाताचे अंतर राखून उभा आहे. 

आता हे लक्षात घेऊया की सेनाध्यक्षा जवळ उभ्या असलेल्या सैनिकांचे अंतर १ मी आहे. तिथे १मी त्रिज्येचे(Radius) वर्तुळ काढू. त्यांच्याशेजारी उभ्या असलेल्या सैनिकांना सामावणारे २मी. त्रिज्येचे वर्तुळ काढू. त्यांच्या शेजारी उभ्या असलेल्या सैनिकांना सामावणारे ३ मी. त्रिज्येचे, ४ मी. त्रिज्येचे  व ५ मी. त्रिज्येचे अशी वर्तुळे काढूया. शिवाय त्या वर्तुळांचे आठ तुकडे करुया. आता मैदान खालीलप्रमाणे दिसेल. सैनिकांची नावे s1 ते s10 अशी आहेत. सैनिकांचे मूळ स्थान θ=० हे आहे. सैनिकांना हालचाल करताना सेनाध्यक्षांपासूनचे अंतर कायम ठेवावे लागेल. आपल्या समजण्याच्या सोयीसाठी वर्तुळाचे ४५ अंश किंवा π/४ रेडियन या मापातच हलवायचे आहेत.” (आकृती २)

आता या १० सैनिकांना कुठे ठेवायचे हे ठरवूया. ती सैनिकांची रचना खालीलप्रमाणे आहे. (आकृती ३)

  

“पण विक्रमा, यात प्रत्येक सैनिकाला किती विस्थापन करावे लागेल ते नाही सांगितलेस..”

“सांगतो. यासाठी आपण असे ठरवून घेऊ की चक्री विस्थापन सेनाध्यक्षाच्या उजवीकडून डावीकडे झाले की ते धन (+) आणि या विरुद्ध झाले की ते ऋण (-). प्रत्येक सैनिकाला करावे लागलेले चक्री विस्थापन (angular displacement) आणि त्यांचे नवीन चक्रीय सहनिर्देशक (Polar Coordinates) खालील प्रमाणे

सैनिक	चक्री विस्थापन (रेडियन)	चक्रीय सहनिर्देशक ( θ, R)
S1	π/२	(π/2,1)
S2	π/४	(π/4,2)
S3	π/२	(π/2,3)
S4	π/२	(π/2,4)
S5	π/२	(π/2,5)
S6	-π/४	(3π/4,1)
S7	०	(π,2)
S8	-π/४	(3π/4,3)
S9	-π/४	(3π/4,4)
S10	-π/४	(3π/4,5)

थोडक्यात काय तर आखलेल्या मैदानात प्रत्येक सैनिकाला त्याचा चक्रीय सहनिर्देशक सांगितला की तो बरोबर त्याठिकाणी त्याला आखून दिलेल्या वर्तुळ मार्गावरून जाऊन उभा राहिल. अशा रितीने १०० किंवा अधिक सैनिकांचे चक्री सहनिर्देशक ठरवून व त्याप्रमाणे सैनिकांना हलवून चक्रव्यूह सिद्ध होईल. आहे कि नाही चक्रगती माहित असणं गरजेचं?”

“अरे विक्रमा, त्या शूर सैनिकांनी युद्ध सराव करावा की हे असलं चक्र आणि वक्रचाल खेळत बसावं? पण तू अजूनही मला चक्री वेग आणि एकरेषीय वेग यांमधलं नातं सांगितलं नाहियेस. पण माझं निसर्गचक्र मला पाळायलाच हवं. मला झाडाकडे पुन्हा जायलाच हवं. पुन्हा भेटू. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

विक्रम राजा गेला आणि त्या रस्त्याशेजारी असलेल्या मुंग्यांच्या वारुळातील मुख्य मुंगी आणि तिची सेविका बाहेर आली.

मुख्य मुंगी म्हणाली, “ऐकलेस ना सेविके त्या चक्र चाली विषयी? आपल्याला एक किटक मारायचा आहे, तर आपणही एक चक्रव्यूह तयार करू.”

“जशी आज्ञा राणी सरकार..मी १०० मुंग्यांसाठीच्या चक्री सहनिर्देशकांची यादी बनवायला घेते.”

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

© अनिकेत कवठेकर

प्रदक्षिणा घालणे – स्वत:भोवती आणि दुसऱ्या भोवती (Rotational and Circular Displacement )

विक्रम राजाचं नशीब आणि वेताळाचं भेटणं यात अतूट नातंच निर्माण झालं होतं म्हणाना. विक्रम राजा एक प्रजाहित दक्ष राजा, कनवाळू राजा, धर्म-अर्थ नित्यनेमाने डोळ्यात तेल घालून जपणारा. आजही मनातल्या मनात राज्यातल्या रस्त्यांची बांधणी, डागडुजी, नवीन घाटांचे बांधकाम याविषयी मंत्र्यांशी चर्चा करून तो पुन्हा रानातल्या गूढ नशीबाच्या दिशेने चालत चालला होता. नागरिकांच्या समस्या जाणणे आणि त्यांवर उपाय शोधणे हा उद्योग विहिरीतून रहाटाने पाणी काढण्या इतकाच नित्याचा झाला होता.

“काय रे विक्रमा? मागील वेळी चक्राकार गती (circular motion) बद्दल बोलून बोलून तू भोवळ आणली होतीस. आज मी तुला एक प्रश्न विचारतो. एका विहिरीला नुकतेच पाणी लागले आहे. विहिरीच्या सर्व बाजू आतून दगडाने बांधून काढल्या आहेत. विहीरीची खोली १० मीटर भरली. मला त्यावर एक रहाट बसवायचा आहे आणि दोरीने पाणी शेंदायचे आहे. विहरीच्या तळाशी दोन मीटर पाणी आहे असे समजू. या विहिरीवर बसवायच्या रहाटाचा व्यास ०.५ मीटर असेल आणि तो रहाट विहिरीच्या वर १ मी वर फिरतो, तर प्रत्येक वेळी पाणी शेंदताना या रहाटाची किती चक्रे पूर्ण होतील? असे होताना पोहरा किती अंतर कापेल?”

“वेताळा तुझ्या प्रश्नातूनच तू मला चक्रीचाली (angular motion) विषयी आणि चक्राकार विस्थापनाविषयी (angular displacement) बोलण्याची पुन्हा संधी दिलीस. राजा या प्रश्नात चक्राकार गतीशी संबंधित दोन विस्थापनांचा समावेश आहे. रहाटाचे चाक यामध्ये स्वत:च्या अक्षा भोवती फिरते हे झाले चक्रीय विस्थापन (angular displacement). या विस्थापनामध्ये हे रहाटचक्र स्वत:च्या अक्षाभोवती किती फिरले याचा हिशेब अंशांमध्ये आणि रेडीयन मध्ये केला जातो. ह्या चाकाने स्वत:च्या अक्षाभोवती पूर्ण प्रदक्षिणा घातली तर ते पूर्ण परिवलन ३६० अंश इतके भरते. याच्या अर्धीच प्रदक्षिणा घातली तर ती भरते १८० अंश. चतकोरच प्रदक्षिणा घातली तर ती होते ९० अंश. अशारितीने या परिवलनाचे मुख्य टप्पे म्हणजे चतकोर (९० अंश), अर्धकोर (१८० अंश), पाऊण कोर (२७० अंश) आणि पूर्ण परिवलन (३६० अंश). स्वत:च्या अक्षाभोवती पूर्ण परिवलन झाल्यावर पुन: आरंभबिंदूच येतो.”

“अरेच्चा विक्रमा, म्हणजे शून्य परिवलन काय का पूर्ण परिवलन काय गोष्ट एकच?”

“नाही नाही वेताळा. प्रकारच्या विस्थापनाचे मापन करण्यासाठी आणि अशा अडचणी टाळण्या साठीच अंशांबरोबरच रेडीयन हे एककही वापरले जाते. आपल्या अक्षा भोवती पूर्ण प्रदक्षिणा घालण्यासाठी त्या चक्राला आपल्या परिघा एवढे अंतर कापावे लागते.

P = 2ΠR – समीकरण १

P = चक्राचा परीघ

R = चक्राची त्रिज्या

चक्रीय विस्थापनाच्या शब्दात बोलायचे झाल्यास

चक्रीय विस्थापन (d) = कापलेले अंशात्मक अंतर (θ) x चक्राची त्रिज्या (R)

D = θ x R – समीकरण २

समीकरण १ आणि २ यांची सांगड घातल्यास

θ x R = 2ΠR

याचाच अर्थ

पूर्ण परिवलनानंतर(३६० अंश) 2Π रेडीयन इतके अंतर कापले जाते 

पाऊण प्रदक्षिणेनंतर (२७० अंश) 2Πx3/4 इतके म्हणजे 3Π/2 रेडियन

अर्धप्रदक्षिणेनंतर (१८० अंश) 2Πx1/2 इतके म्हणजे Π रेडियन

चतकोर प्रदक्षिणेनंतर (९० अंश) 2Πx1/4 म्हणजे Π/2 रेडीयन.

आणि शून्य प्रदक्षिणेनंतर (० अंश) 2Πx0 म्हणजे ० रेडीयन

याच हिशेबाने दोन पूर्ण प्रदक्षिणा घातल्यानंतर (३६०x २ = ७२० अंश) 2Π x 2 म्हणजे 4Π रेडियन

हे झालं चक्राकार विस्थापनाविषयी. आता रहाटचक्राला जोडलेला पोहरा तर चक्राकार फिरणार नाही, कारण तो दोरखंडाबरोबर वर ओढला जाणार, म्हणजेच तो एका रेषेत प्रवास करणार (linear motion). पण दोरखंड जोपर्यंत चाकावरून जातोय तोपर्यंत तो वर्तुळाकारालाच धरून जाणार. (आकृती १)

याशिवाय दोरखंड वर ओढला तर तो रहाटाला गुंडाळला जाईल आणि पोहरा वर ओढला जाईल. म्हणून रहाटाचे चाक कायम चक्रगतीमध्ये राहील आणि दोरखंड जोपर्यंत चाकावर आहे तोपर्यंत चक्री फिरेल आणि इतर वेळी रेषेत प्रवास करेल. पोहरा वर ओढताना चक्रापर्यंत येइपर्यंत दोर चक्री फिरेल. पोहरा खाली सोडताना चक्रावरून सुटून सरळ रेषेत खाली जाईल.

“अरे विक्रमा मुद्द्याला ये. विस्थापन किती झाले? चक्राचे? पोहऱ्याचे? दोरखंडाचे किती वेटोळे पडले?”

“चक्राचा अक्ष (Axis of rotation) विहीरी पासून १ मी. अंतरावर आहे. - १

चक्राचा व्यास (diameter) .५ मीटर आहे. म्हणजे चक्राचा परीघ (perimeter) ΠD = Πx.५ = ३.१४x .५ = १.५७ मीटर – २

पोहऱ्याने कापायचे अंतर = विहिरीच्या तळापासून काठापर्यंत + काठापासून चाकापर्यंत = १० मीटर + १ मीटर – चाकाची त्रिज्या (Radius) = ११ – (.५/२) = ११ - .२५ = १०.७५ मीटर

म्हणजे पोहऱ्याचे एकरेषीय विस्थापन (linear displacement) १०.७५ मीटर इतके होईल.”

“अरे पण विक्रमा पोहोऱ्याला एवढे अंतर कापायचे असेल तर दोरखंडाची किती वेटोळे चाकाला पडतील? किंवा चाक किती वेळा पूर्ण फिरेल?”

“सांगतो वेताळा. दोर गुंडाळला जाणे म्हणजेच पूर्ण परिघाइतके अंतर कापणे. आपण पाहिले की चाकाचा परीघ १.५७ मीटर आहे. म्हणजे हे होण्यासाठी (एकरेषीय विस्थापन)/(चाकाचा परीघ) = १०.७५ / १.५७ = अंदाजे ६.७५ वळणे. म्हणजेच ६ पूर्ण वेटोळे (३६० अंश) आणि १ पाऊण (.७५) वेटोळा (२७० अंश) पडला. हे झाले चक्री विस्थापन (Angular displacement).”

“अरे वेटोळे काय सांगतोस? तुमच्या त्या रेडीयन च्या भाषेत सांग?”

“सांगतो.

·         ६ वेळा पूर्ण चक्र म्हणजे = ६ x परीघ = ६ x २Π = १२ Π रेडियन.

·         शेवटले एक पाऊण चक्र म्हणजे =३/४ x २ Π = ३Π/२ = १.५ Π रेडियन

एकूण चक्री विस्थापन = १२ Π + १.५ Π = १३.५ Π रेडीयन”

“पण विक्रमा तू मला चक्री चाली बद्दल आणि एकरेषीय चालीबद्दल आणि त्यांच्यातल्या संबंधाबद्दल काहीच सांगितले नाहीस. कसा रे तू राजा? किती पाल्हाळ लावतोस? पण आता मला ते ऐकायला वेळ नाही. मी चाललो पुन्हा आपल्या स्थानी..पुन्हा भेटू पुढच्या अमावस्येला..तो पर्यंत विचार करून ठेव..हाऽ हाऽऽ हाऽऽऽ”

विक्रमाच्या जाण्यानंतर तिथेच एका झाडाला लपेटलेल्या अजगराने हळूच डोके वर काढले व शेजारच्या पिलाला विचारले 

“माझी लांबी १० मीटर..मी १ मी व्यासाच्या वृक्षाला किती वेटोळे घालू शकतो?”

पिलू म्हणाले “तुम्हाला रेडियन मध्ये सांगू का त्यापेक्षा?”

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

© अनिकेत कवठेकर