प्रदक्षिणा घालणे – स्वत:भोवती आणि दुसऱ्या भोवती (Rotational and Circular Displacement )

विक्रम राजाचं नशीब आणि वेताळाचं भेटणं यात अतूट नातंच निर्माण झालं होतं म्हणाना. विक्रम राजा एक प्रजाहित दक्ष राजा, कनवाळू राजा, धर्म-अर्थ नित्यनेमाने डोळ्यात तेल घालून जपणारा. आजही मनातल्या मनात राज्यातल्या रस्त्यांची बांधणी, डागडुजी, नवीन घाटांचे बांधकाम याविषयी मंत्र्यांशी चर्चा करून तो पुन्हा रानातल्या गूढ नशीबाच्या दिशेने चालत चालला होता. नागरिकांच्या समस्या जाणणे आणि त्यांवर उपाय शोधणे हा उद्योग विहिरीतून रहाटाने पाणी काढण्या इतकाच नित्याचा झाला होता.

“काय रे विक्रमा? मागील वेळी चक्राकार गती (circular motion) बद्दल बोलून बोलून तू भोवळ आणली होतीस. आज मी तुला एक प्रश्न विचारतो. एका विहिरीला नुकतेच पाणी लागले आहे. विहिरीच्या सर्व बाजू आतून दगडाने बांधून काढल्या आहेत. विहीरीची खोली १० मीटर भरली. मला त्यावर एक रहाट बसवायचा आहे आणि दोरीने पाणी शेंदायचे आहे. विहरीच्या तळाशी दोन मीटर पाणी आहे असे समजू. या विहिरीवर बसवायच्या रहाटाचा व्यास ०.५ मीटर असेल आणि तो रहाट विहिरीच्या वर १ मी वर फिरतो, तर प्रत्येक वेळी पाणी शेंदताना या रहाटाची किती चक्रे पूर्ण होतील? असे होताना पोहरा किती अंतर कापेल?”

“वेताळा तुझ्या प्रश्नातूनच तू मला चक्रीचाली (angular motion) विषयी आणि चक्राकार विस्थापनाविषयी (angular displacement) बोलण्याची पुन्हा संधी दिलीस. राजा या प्रश्नात चक्राकार गतीशी संबंधित दोन विस्थापनांचा समावेश आहे. रहाटाचे चाक यामध्ये स्वत:च्या अक्षा भोवती फिरते हे झाले चक्रीय विस्थापन (angular displacement). या विस्थापनामध्ये हे रहाटचक्र स्वत:च्या अक्षाभोवती किती फिरले याचा हिशेब अंशांमध्ये आणि रेडीयन मध्ये केला जातो. ह्या चाकाने स्वत:च्या अक्षाभोवती पूर्ण प्रदक्षिणा घातली तर ते पूर्ण परिवलन ३६० अंश इतके भरते. याच्या अर्धीच प्रदक्षिणा घातली तर ती भरते १८० अंश. चतकोरच प्रदक्षिणा घातली तर ती होते ९० अंश. अशारितीने या परिवलनाचे मुख्य टप्पे म्हणजे चतकोर (९० अंश), अर्धकोर (१८० अंश), पाऊण कोर (२७० अंश) आणि पूर्ण परिवलन (३६० अंश). स्वत:च्या अक्षाभोवती पूर्ण परिवलन झाल्यावर पुन: आरंभबिंदूच येतो.”

“अरेच्चा विक्रमा, म्हणजे शून्य परिवलन काय का पूर्ण परिवलन काय गोष्ट एकच?”

“नाही नाही वेताळा. प्रकारच्या विस्थापनाचे मापन करण्यासाठी आणि अशा अडचणी टाळण्या साठीच अंशांबरोबरच रेडीयन हे एककही वापरले जाते. आपल्या अक्षा भोवती पूर्ण प्रदक्षिणा घालण्यासाठी त्या चक्राला आपल्या परिघा एवढे अंतर कापावे लागते.

P = 2ΠR – समीकरण १

P = चक्राचा परीघ

R = चक्राची त्रिज्या

चक्रीय विस्थापनाच्या शब्दात बोलायचे झाल्यास

चक्रीय विस्थापन (d) = कापलेले अंशात्मक अंतर (θ) x चक्राची त्रिज्या (R)

D = θ x R – समीकरण २

समीकरण १ आणि २ यांची सांगड घातल्यास

θ x R = 2ΠR

याचाच अर्थ

पूर्ण परिवलनानंतर(३६० अंश) 2Π रेडीयन इतके अंतर कापले जाते 

पाऊण प्रदक्षिणेनंतर (२७० अंश) 2Πx3/4 इतके म्हणजे 3Π/2 रेडियन

अर्धप्रदक्षिणेनंतर (१८० अंश) 2Πx1/2 इतके म्हणजे Π रेडियन

चतकोर प्रदक्षिणेनंतर (९० अंश) 2Πx1/4 म्हणजे Π/2 रेडीयन.

आणि शून्य प्रदक्षिणेनंतर (० अंश) 2Πx0 म्हणजे ० रेडीयन

याच हिशेबाने दोन पूर्ण प्रदक्षिणा घातल्यानंतर (३६०x २ = ७२० अंश) 2Π x 2 म्हणजे 4Π रेडियन

हे झालं चक्राकार विस्थापनाविषयी. आता रहाटचक्राला जोडलेला पोहरा तर चक्राकार फिरणार नाही, कारण तो दोरखंडाबरोबर वर ओढला जाणार, म्हणजेच तो एका रेषेत प्रवास करणार (linear motion). पण दोरखंड जोपर्यंत चाकावरून जातोय तोपर्यंत तो वर्तुळाकारालाच धरून जाणार. (आकृती १)

याशिवाय दोरखंड वर ओढला तर तो रहाटाला गुंडाळला जाईल आणि पोहरा वर ओढला जाईल. म्हणून रहाटाचे चाक कायम चक्रगतीमध्ये राहील आणि दोरखंड जोपर्यंत चाकावर आहे तोपर्यंत चक्री फिरेल आणि इतर वेळी रेषेत प्रवास करेल. पोहरा वर ओढताना चक्रापर्यंत येइपर्यंत दोर चक्री फिरेल. पोहरा खाली सोडताना चक्रावरून सुटून सरळ रेषेत खाली जाईल.

“अरे विक्रमा मुद्द्याला ये. विस्थापन किती झाले? चक्राचे? पोहऱ्याचे? दोरखंडाचे किती वेटोळे पडले?”

“चक्राचा अक्ष (Axis of rotation) विहीरी पासून १ मी. अंतरावर आहे. - १

चक्राचा व्यास (diameter) .५ मीटर आहे. म्हणजे चक्राचा परीघ (perimeter) ΠD = Πx.५ = ३.१४x .५ = १.५७ मीटर – २

पोहऱ्याने कापायचे अंतर = विहिरीच्या तळापासून काठापर्यंत + काठापासून चाकापर्यंत = १० मीटर + १ मीटर – चाकाची त्रिज्या (Radius) = ११ – (.५/२) = ११ - .२५ = १०.७५ मीटर

म्हणजे पोहऱ्याचे एकरेषीय विस्थापन (linear displacement) १०.७५ मीटर इतके होईल.”

“अरे पण विक्रमा पोहोऱ्याला एवढे अंतर कापायचे असेल तर दोरखंडाची किती वेटोळे चाकाला पडतील? किंवा चाक किती वेळा पूर्ण फिरेल?”

“सांगतो वेताळा. दोर गुंडाळला जाणे म्हणजेच पूर्ण परिघाइतके अंतर कापणे. आपण पाहिले की चाकाचा परीघ १.५७ मीटर आहे. म्हणजे हे होण्यासाठी (एकरेषीय विस्थापन)/(चाकाचा परीघ) = १०.७५ / १.५७ = अंदाजे ६.७५ वळणे. म्हणजेच ६ पूर्ण वेटोळे (३६० अंश) आणि १ पाऊण (.७५) वेटोळा (२७० अंश) पडला. हे झाले चक्री विस्थापन (Angular displacement).”

“अरे वेटोळे काय सांगतोस? तुमच्या त्या रेडीयन च्या भाषेत सांग?”

“सांगतो.

·         ६ वेळा पूर्ण चक्र म्हणजे = ६ x परीघ = ६ x २Π = १२ Π रेडियन.

·         शेवटले एक पाऊण चक्र म्हणजे =३/४ x २ Π = ३Π/२ = १.५ Π रेडियन

एकूण चक्री विस्थापन = १२ Π + १.५ Π = १३.५ Π रेडीयन”

“पण विक्रमा तू मला चक्री चाली बद्दल आणि एकरेषीय चालीबद्दल आणि त्यांच्यातल्या संबंधाबद्दल काहीच सांगितले नाहीस. कसा रे तू राजा? किती पाल्हाळ लावतोस? पण आता मला ते ऐकायला वेळ नाही. मी चाललो पुन्हा आपल्या स्थानी..पुन्हा भेटू पुढच्या अमावस्येला..तो पर्यंत विचार करून ठेव..हाऽ हाऽऽ हाऽऽऽ”

विक्रमाच्या जाण्यानंतर तिथेच एका झाडाला लपेटलेल्या अजगराने हळूच डोके वर काढले व शेजारच्या पिलाला विचारले 

“माझी लांबी १० मीटर..मी १ मी व्यासाच्या वृक्षाला किती वेटोळे घालू शकतो?”

पिलू म्हणाले “तुम्हाला रेडियन मध्ये सांगू का त्यापेक्षा?”

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

© अनिकेत कवठेकर