ब्रह्मगुप्ताची वर्गसमीकरणाची उकल आणि गतीचे दुसरे समीकरण (Brahmagupt’s solution for the quadratic equation and the second kinematic equation)

वरवर पाहता दोन अजिबात संबंध नसणाऱ्या गोष्टींमध्ये जो संबंध लावू शकतो आणि त्याच्या आधारे आपल्याला हवी ती गोष्ट जो माहिती करून घेऊ शकतो आणि त्याचा इतर दोन गोष्टींवर होणारा संबंध जो जाणतो तो खरा द्रष्टा, तो खरा ज्ञानी. पावलाच्या ठशावरून वाघ आहे का सिंह हे जो ओळखतो तो वाटाड्या, पण केवळ ठशावरून जो प्राण्याचा स्वभाव ओळखतो आणि त्याच्या पासून होणाऱ्या धोक्याची पूर्वसूचना योग्य वेळी देतो तो खरा ज्ञानी. विक्रम राजा हा तर महाज्ञानी. बुद्धिबळाच्या पटावर शत्रूच्या पुढच्या चार चाली जाणून त्यावर प्रतिचाल करण्याची त्याची सवय. निसर्गाच्या बदलत्या लहरींच्या भविष्यात होणाऱ्या परिणामांचा अंदाज बांधून त्यातून प्रजाजनांची कशी दैना होणार नाही याच्या उपाययोजनांची सूत्रे तो मानातच जोखत होता. या सूत्रांची पडताळणी आपल्या अनुभवांच्या/निरीक्षणांच्या आधारे करत होता.

“काय रे राजा, तुम्हा मानवांचा या समीकरणांवर फारच भर असतो. शिवाय तुम्ही लोक आलेखही काढता. तू म्हणालास तसे एकसमान सरासरी गती (constant average velocity) असताना विस्थापनाच्या रेषीय समीकरणात (linear equation of displacement) त्याचा पहिला विकलीत किंवा विखंडित (primary derivative) वेग हा त्या रेषेच्या चढणीच्या किंवा उतरणीच्या(slope of the line graph) स्वरूपात दडलेला असतो. पण एखादा चोर हुडकून काढावा तसे शोधणाऱ्याला कुठे शोधायचे ते माहिती पाहिजे. तीच गत एकसमान त्वरण (constant acceleration) असताना जर वेग-काळ आलेख काढला तर ते त्वरण सुद्धा त्या रेषेच्या चढणीच्या स्वरूपात येउन दडतेच. गरज असते ती फक्त आलेखाद्वारे त्या त्वरणाचा माग काढायची. पण मला ही माहिती अपुरीच वाटतेय. मी तुम्हा मानवांना जर नीट ओळखत असेन तर तुम्ही माणसं पक्की आळशी आणि कामचुकार असता. थोडक्या कष्टांमध्ये अधिकाधिक काम कसे करता येईल हे पाहात असता. असलेल्या गोष्टीपेक्षा जास्तच तुम्हाला हवं असतं. तुम्हाला चाकाचा शोध लागला मग तुम्ही चाकांवर चालणाऱ्या घोडागाड्या आणल्या. घोड्यांचा वेगात समाधान झालं नाही म्हणून गाड्या काढल्या, गाड्यांनी समाधान होइना मग विमानं काढली असो. त्यासाठीच्या संधी तुम्ही कायम शोधत असता. हे जर खरं असेल तर विस्थापनावरून थेट त्वरण कळून घेण्यासाठी तुम्ही काहीतरी शोधलंच असेल नाही का? बरोबर आहेना मी म्हणतो ते?”

“वेताळा तू उपहास करतोयस की कौतुक हेच कधी कधी समजेनासं होतं. तू पूर्वीच्या जन्मी कधी भारतदेशातील पुण्यनगरीत जन्माला आला होतास की काय अशी शंका वाटते..”

“विक्रमा ही विनोद करण्याची वेळ नव्हे..य:कश्चित मानवांबरोबर करावयाचे विनोद इथे नकोत..लवकर सांग..”

“वेताळा तुझं निरीक्षण नेहमीप्रमाणेच निर्विवादपणे अचूक आहे. खरे तर मानवाने बुद्धीचा वापर विधायक गोष्टींसाठी केला तर तो एकच गणिती सूत्र ज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये करून वेगवेगळ्या गोष्टी साध्य करू शकतो. विविध ज्ञानशाखा या एकाच गोष्टींकडे बघण्याचे विविधरंगी चष्मे आहेत एवढेच. त्यातून ज्या गोष्टीचा अभ्यास चालला आहे तिच्याविषयीची सर्वच माहिती मिळेल असे नाही. आता  हेच पहा ना..गणितातील (algebra) वर्गीय समीकरण(quadratic equation) हेच मानवाने विस्थापनापासून त्वरण मिळवण्यासाठी वापरले.”

“बघ मी म्हटलं होतं ना! पटकन सांग यामागे तुम्ही काय डोकं चालवलंय ते..”

“वेताळा वर्गीय समीकरण हे सर्वसाधारण पणे ax2 + bx + c = 0 या सूत्राने दर्शविले जाते. Y = mx + c या एकरेषीय समीकरणा प्रमाणेच याही समीकरणात x हेच मोजपट्टीसाठी वापरले जाणारे चल (variable) आहे. मजा अशी आहे की या समीकरणातील a ची किंमत आपण ० केली तर हे समीकरण bx = c एवढेच उरते.”

“अरेचा म्हणजे a जर शून्य झाला तर वर्गसमीकरण हे एकरेषीय समीकरणच होते. पण याचा व्यवहारात काय उपयोग. उगीच हा शून्य झाला तर असे आणि नाही झाला तर तसे ह्याला काही व्यवहारात अर्थ असला पाहिजे की नाही?”

“आहे जरूरच आहे. ब्रह्मगुप्त या प्राचीन भारतीय गणितज्ञाने वर्गसमीकरणे ० बरोबर पहिल्याप्रथम सोडविली (इसवीसन ५९८ - ~ ६६५) आणि या समीकरणाला ax2 + bx = c  असे मांडले. ब्रह्मगुप्ताने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत या ग्रंथाच्या १८ व्या प्रकरणात या समीकरणाची उकल पहिल्याप्रथम एकरेषीय समीकरण स्वरूपात
x=(-b+√(b^2+4ac ))/2a
अशी मांडली. यात नंतर सुधारणा झाल्या तरीही ब्रह्मगुप्ताने पहिल्यानेच इतकी चांगली व अचूकतेच्या जवळ जाणारी उकल सांगितली. हा ब्रह्मगुप्त गणित आणि खगोलशास्त्राच्या अनेक शाखांमध्ये पारंगत होता. त्रिकोणीय भूमिती मध्ये पायथागोरसचा सिद्धांत पाळणाऱ्या संख्यांची मालिका यानेच सांगितली. शून्याचा एक संख्येच्या स्वरूपात उपयोग यानेच केला. π ची किंमत त्यानेच ३ इतकी वापरली.”

“विक्रमा हा ब्रह्मगुप्त नि:संशय एक महान गणिती होता हे मान्य. पण या वर्गसमीकरणाचा पदार्थ विज्ञानाशी संबंध काय तो सांग..”

“वेताळा ax2 + bx + c या समीकरणात a ची किंमत शून्य झाली तर ते एकरेषीय समीकरण होते. समजा एखादी वस्तू एकसमान वेगाने प्रवास करत असेल तर तिचे त्वरण(acceleration) शून्य असते. जर वर्गसमीकरणात a ची किंमत शून्य नसेल तर ते समीकरण आपण एकसमान त्वरण (constant acceleration) असलेल्या गतीसाठी आपण वापरू शकतो. पण असे करताना आपल्याला याचा उपयोग एखाद्या सूत्रासारखा करावा लागतो. ते सूत्र म्हणजे वर्गीय सूत्र (quadratic formula). हे सूत्र y = ax2 + bx + c अशा रितीने लिहिले जाते.”

“विक्रमा, याचा संबंध कोणत्या गतिविषयक समीकरणाशी लावुन दाखव मग?”

“हो हो का नाही? वेताळा, s = ut + at2/2 या समीकरणात जर त्वरण म्हणजे a ची किंमत जर शून्य नसली, म्हणजेच वस्तूचा वेग एकसमान दराने वाढत किंवा घटत असला तर हे समीकरण आपण वर्गसमीकरण म्हणून वापरू शकतो. याच समीकरणाची वेगळी मांडणी केली व विस्थापन(s), प्रवासाचा काळ(t), सुरुवातीचा वेग (u) माहित असला तर आपल्याला थेट त्वरण(a) किती आहे ते मोजता येते.”

“पण राजा, या समीकरणाचा उपयोग करून तू काही आलेख काढशील की नाही? सगळंच हवेत चालल्यासारखं वाटतंय”

“होय सर्वप्रथम हे सांगितलं पाहिजे की या समीकरणात केवळ काळ(t) हेच चल घेतलं आहे. काळाच्या मोजपट्टीवर विस्थापन मोजलं आहे. शिवाय वस्तूची आरंभस्थिती जर आरंभबिंदूपाशी नसली तर वस्तूची मूळस्थिती S0 या अक्षराने दाखवू. वस्तूचा आरंभीचा वेग u इतका होता. वस्तूला मिळालेले एकसमान त्वरण a इतके होते. या संदर्भात दुसरे गतीसमीकरण वर्गसमीकरणासारखे दिसू लागते. (आकृती १)

“विक्रमा काही उदाहरण घेऊन सांग.”
“हो..जर वस्तूचा वेग वाढत(acceleration) असेल उदाहरणार्थ: s0 = 1, u = 2, a= 3 तर गतीचे समीकरण s = 1+2t+3t2 /2 असे होते व  आलेख खालील प्रमाणे येतो

पण जर वस्तू समजा सुरुवातीला ३०मी/सेकंद वेगाने जाऊ लागली व नंतर तिचा वेग घटत गेला (deceleration). उदा.s0 = 1, u = 30, a= -3 तर गतीचे समीकरण s = 1+30t-3t2 /2 असे होते व  आलेख खालील प्रमाणे येतो 

“वेताळा आपल्या उदाहरणांमध्ये काळ हा ऋण नसल्याने Y अक्षाच्या एकाच बाजूचे आलेख आहेत. पण यावरून तू कल्पना करू शकतोस की त्वरणाचा आलेख कायम कढई सारखा (parabola) व मंदनाचा आलेख पिंडीसारखा (Inverse parabola) येतो. शिवाय त्वरण वाढते तसे हा कढई सारखा आकार निमुळता  होत जातो.”

“राजा मला हे लक्षात येतंय की तुम्ही वेगवेगळ्या कारणांसाठी वेगवेगळी समीकरणे बदलता. विखंडन(differentiation) करता. वर्ग(square) करता, आलेखाद्वारे चढण(slope) काढता. पण मला सांग जर मला वेगाकडून विस्थापनाकडे जायचं तर मी काय करू? किंवा त्वरणाकडून वेगाकडे जायचं तर ते आलेखाद्वारे कसे करायचे? का अभिमन्यूसारखा चक्रव्यूह भेदून तुम्ही यातच अडकलात? विखंडिता कडून मूळ राशीकडे कसे परत जाता? पण ते असो. माझी मात्र जायची वेळ झाली आणि मला जायचा रस्ताही माहिती आहे. पुन्हा भेटू राजा..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

वटवाघळे, घुबडे, रातकिडे या साऱ्यांनीच हे संभाषण ऐकले. वर्गसमीकरणाशी आपल्या प्रवासाचा संबंध कसा आहे. आपला आधीचा वेग, प्रवासाचा काळ, कापलेले अंतर मोजण्याची सर्वांनीच सोय केली व सारेच प्रवासाला निघाले. जंगल या सर्वांच्या वर्दळीने गलबलून गेले...विक्रमाच्या रथाचे घोडे मात्र राजा हा चक्रव्यूह कसा भेदणार या चिंतेतच होते...

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात