क्षणिक बदलांची गोळाबेरीज व संख्यामालिका : अंदाजातील अचूकतेकडे मारलेली हनुमानउडी (Integration and number series : Quantum leap towards exactness in approximations)

पुन्हा तोच चंद्रविरहित प्रहर, पुन्हा तो रातकिड्यांच्या आवाजाने भरलेला आसमंत, पुन्हा नव्याने ऐकू येणारी शिकार झालेल्या वनचराची वेदनायुक्त विव्हळणी, पुन्हा शिकार केलेल्याने दिलेली उन्मादी डरकाळी, संधीसाधू तरसांनी दरम्यानच्या वेळात केलेली स्वार्थी टेहळणी अशा एक ना अनेक नित्याच्या झालेल्या घटनांची फेरउजळणी ते जंगल राजा विक्रमाला करून देत होते. परंतु प्रजाहितदक्ष राजाला या भयावह घटनाचित्राची दखल घ्यायला सवड होतीच कुठे? त्याचे मन नेहमीप्रमाणेच त्याच्या प्रजेच्या हिताची चिंता करण्यात मग्न झालेलं होतं. त्याने सवयीने लावलेले अंदाज आणि प्रत्यक्ष निरीक्षण यातून त्याच्या अंदाजांना अधिकाधिक अचूक कसं करता येईल याकडे त्याचं मन वेधलं गेलेलं होतं.

नेहमीप्रमाणेच विक्रमाच्या विचारांना नितळ पाण्यात विहरणाऱ्या चंचल माश्यांइतकं स्वच्छपणे पाहू शकणाऱ्या वेताळाने तो विचार आणि तो क्षण एकदमच पकडला व त्याच्या खांद्यावर स्वार होत म्हणाला, “इतकी सूत्रे, इतके नियम, इतके वाद-अपवाद, आलेख, समीकरणे मांडूनही तुम्हा मानवांची बुद्धी बदलांची अचूक गोळाबेरीज करूच नाही शकली? यावर तुम्हाला उपाय नाहीच मिळाला? पण मी तुला इतकं मोघमपणे विचारणार नाही. मला सांग, एक पोलादाचा गोळा एका मल्लाने उचलून सर्वशक्ती निशी जोरात खाली जमिनीवर फेकला. त्यामुळे तो गोळा वेगाने घरंगळू लागला. तुमच्या समीकरणाच्या भाषेत त्याचा वेग v(t) = 3t या सूत्राने दाखवता येत असेल तर तो गोळा कोणत्याही विशिष्ठ क्षणी त्या मल्लापासून किती अंतरावर असेल? शिवाय आपण असे समजू की मल्ल हा आरंभस्थानापासून १० मीटर अंतरावर आहे व तेथून गडगळू लागला. म्हणजे प्रवासाची सुरुवात त्या गोळ्याने आरंभस्थाना पासून १० मी. अंतरावर सुरु केली. 

सांग विक्रमा सांग..इतके दिवस मी विचारलेल्या प्रश्नांची काही बाही उत्तरे देऊन तू माझ्या तावडीतून सुटत आलास. पण आजच्या अमावस्येला लोपलेला चंद्र तुझ्या आयुष्यात  पुन्हा कधीच उगवणार नाहीये..हो मरणाला तयार...हाऽहाऽऽहाऽऽऽ!!!”

रानाच्या हृदयाला चिरणारी भीषण शांतता तेथील स्थिरचर-वनचरांना जागच्याजागीच थिजवून गेली. भीषण आवाज करणाऱ्या वटवाघळांनी, थंडरक्ताच्या विषारी सर्पांनी, अजगारांनी, घुबडांनी विक्रमाचे पार्थिव मिळण्याच्या लालसेने या घटनास्थळाकडे अपेक्षेने धाव घेतली...विक्रम उत्तर देतो की शरणागती पत्करून वेताळाकडे प्राणांची भीक मागतो याकडे सर्वांचे कान लागलेले होते...काळ फार संथपणे पुढे सरकत होता..

“वेताळा, या पद्धतीचे प्रश्न माणसांना फार पूर्वी पासून पडत आले आहेत. तुझ्या प्रश्नाचे चांगले उत्तर मी देइनच आणि ते शोधण्यासाठीच्या पद्धती कशा विकसित झाल्या तेही मी सांगतो. तू दिलेल्या उदाहरणावरून आपल्याला हे लक्षात  येते की आपल्याला वेगाचे सूत्र माहित आहे. हे एकरेषीय समीकरण (Linear Equation) आहे. शिवाय आपल्याला हे सुद्धा माहित आहे की वेग (velocity) हा विस्थापनाचा (displacement) विखंडित(first derivativeवेग हा विस्थापानाचा विखंडित आहे. म्हणूनच वेगाचे हे सूत्र आपण खालीलप्रमाणे लिहू शकतो

f’(t) = 3t.

आणि त्याचा आलेख खालील प्रमाणे दिसतो

या सूत्रावरून विस्थापनाचे सूत्र मांडायचे झाल्यास ते खालीलप्रमाणे मांडता येते:

f(t) = 3t²/2 + c.

या ठिकाणी c या स्थिरांकाची किंमत 10 एवढी आहे. त्यामुळे विस्थापनाचे वर्गसमीकरण (Quadratic Equation) पुढील प्रमाणे लिहिता येईल: 

f(t) = 3t²/2 + 10.

आणि त्याचा आलेख खालील प्रमाणे दिसतो

“अरेच्चा विक्रमा एकरेषीय समीकरणाच्या पोटातून वर्गसमीकरण बाहेर आलं? म्हणजे ही बदलांची गोळाबेरीज करताना समीकरणातील चलाचाही वर्ग, घन होतो? समीकरणच बदलते?”

“होय वेताळा, खूपच अचूक निरीक्षण..”

“ बर बर, पुढे बोल..”

"मल्लाने ज्या क्षणी गोळा फेकला तो क्षण म्हणजे t = 0 धरला तर त्या क्षणी असलेला वेग म्हणजे ० आणि त्या क्षणीचे विस्थापन १० मीटर होय. पाहिल्या सेकंदाला असलेला वेग म्हणजे f’(3)= 3 मी/सेकंद. त्या वेळेपर्यंत झालेले विस्थापन f(3)= 3/2 + 10 = 11.5 मीटर.

पण एक सेकंद हा ही दहा भागात विभागला तर ०.१ एवढ्या सेकंदात झालेले विस्थापन पहायचे झाल्यास f’(0.1) = 3(0.1) = 0.3मी/सेकंद. त्याक्षणाचे विस्थापन f(0.1)= .3 * .1 = .03 मीटर. अशा क्षणिक विस्थापनांची बेरीज खालील पद्धतीने दाखवता येईल:

(0.0)(0.1)+(0.3)(0.1)+(0.6)(0.1)+...+(2.7)(0.1)=1.35.

या हिशोबाने पाहू गेल्यास मल्लापासून तो गोळा 11.35 मीटर अंतरावर पोहोचलेला असेल. या हिशोबाने पाहू गेल्यास पहिल्या सेकंदात मल्लापासून तो गोळा 11.35 मीटर अंतरावर पोहोचलेला असेल.समजा t=0 ते t=2 सेकंद याकालावधीतील प्रत्येक सेकंदाचे १० भाग केले, म्हणजे एकूण २० भाग केले तर त्या सूक्ष्म कालांमधील विस्थापने खालील आलेखाने दाखवता येतील.

“अरे विक्रमा, आधीच्या आलेखात t=0 ते t=2 हा आलेख सरळ वाटत होता. पण आता तर तो थोडा वक्राकार होत चालला आहे..”
“बरोबर वेताळा, जसं जसं सूक्ष्मात जाऊ तसे कंगोरे अधिकाधिक स्पष्ट होतात, अधिक तपशील दिसतात, तसं आहे ते..”
“बरोबर..हे म्हणजे भिंग जसं शक्तिशाली होत तसं अधिक सूक्ष्म गोष्टी दिसू लागतात. दुरून सरळ दिसणाऱ्या, व्यवस्थित आकार असणाऱ्या वस्तूंचा ओबडधोबडपणा दिसावा तसं वाटतंय..असो..तू बोलत रहा.. ”

“बरं..वर मिळालेलं उत्तर तितकंसं बरोबर नाही हे आपल्याला माहित आहे, कारण पहिल्या ढोबळ पद्धतीवरून आपल्याला कळलंय की विस्थापन ११.५ मीटर एवढे झालेले आहे. मग हा फरक भरून काढण्यासाठी काय करता येईल? 

तर या 0.1 सेकंद कालावधीचेही दहा भाग करू, म्हणजे मिळेल 0.01 सेकंद. तर या दर 0.01 सेकंदांना होणाऱ्या सुमारे १०० छोट्या छोट्या विस्थापनांची बेरीज करत जाऊ:

(0.0)(0.01)+(0.03)(0.01)+(0.06)(0.01)+…+(2.97)(0.01)=1.485 मीटर इतकी ती बेरीज भरते. ”

“अरे विक्रमा ही बेरीज तर ०.१ सेकंद धरून केलेल्या बेरजेपेक्षा जास्त अचूक वाटते. पण दर वेळेला १०० बेरजा करायच्या?”

“एक वेळ वेताळ या बेरजा करेलही, पण माणूस करणार नाही. अशा ठिकाणी संख्यामाला (number series) ची संकल्पना माणसाने काढली. करायचे असे की या काळाचे n एवढे तुकडे करायचे. काळ t=0 असताना वेग असेल (0.0)(1/n)=0.

पाहिल्या कालावधीत म्हणजे t=1/n ते  t=2/n या कालावधीत गोळ्याने केलेला प्रवास असेल : 

3*(1/n)*(1/n)= 3/n²मीटर. 

या कालावधीला जर आपण एक आकडा i दिला तर त्या काळाच्या i व्या तुकड्यात त्या गोळ्याने कापलेले अंतर असेल (3(i-1)/n)(1/n)=3(i-1)/n².

तर 0*(1/n) पासून सुरुवात करून व त्यानंतर  अशा काळाच्या तुकड्यां(i) मध्ये १ ते n-1 असे आकडे टाकत गेले तर विस्थापनाचे सूत्र खालील प्रमाणे मिळते:

0*(1/n)+ 3(1/n²)+3(2)(1/n²)+3(3)(1/n²)+…+3(n-1)(1/n²) असे उत्तर मिळेल.”

“अरे विक्रमा हा कुठला n चा पाढा वाचतोयस? कायहे सारं? किती झालं विस्थापन कळतच नाहीये या लांबड्या सूत्रातून?”

“सांगतो सांगतो. थोडं सोपं करुया. 3 आणि (1/n²) हा भाग समान काढला तर:

3/n²(0+1+2+3+…+(n-1)).

म्हणजेच (n-1) इतक्या पूर्ण संख्यांच्या बेरजेच्या (1/n²) पट विस्थापन असेल.

दुसऱ्या एका सूत्रानुसार पहिल्या k इतक्या पूर्णांकांची बेरीज 1+2+3+4+…+k = k(k+1)/2.

आता याठिकाणी k=(n-1) ठेवले तर 1+2+3+4+…+(n-1)= ((n-1)n)/2= (n²-n)/2.

याचा वापर करून कापलेले अंतर पुढील सूत्राने मिळते :

(3/n²)((n²-n)/2)=(3/2)((n²-n)/n²)=3/2((n²/n²)-(n/n²))=3/2(1-1/n) ”

“अरे काय हे विक्रमा..पुन्हा n चा पाढा..विस्थापन किती झाले?”

“वेताळा यात आता n साठी आकडे घालू. विस्थापनासाठी लागलेल्या काळाचे १० भाग केले, n=10, तर विस्थापन = 3/2(1-1/10)=3/2(1-0.1)=(1.5)(0.9)=1.35

काळाचे १०० भाग केले, n=100, तर विस्थापन=(1.5)(1-1/100)=1.5*(1-0.01)=1.485

काळाचे १००० भाग केले, n=1000, तर विस्थापन=(1.5)(1-1/1000)=1.5*(1-0.001)=1.4985

काळाचे १०००० भाग केले, n=10000, तर विस्थापन=1.5(1-1/10000)=1.5*(1-0.0001)=1.49985

काळाचे १,००,००० भाग केले, n=1,00,000, तर ..वि..”

“बास बास..आम्ही वेताळ डोक्याची १०० शकले म्हणजे भाग करतो..पण तू तर काळाचे १,००,००० भाग करायला निघालास..आणि माझ्या हेही लक्षात येतंय की n जसा वाढतोय, अगणिता कडे(Infinity) जातोय,  तसं उत्तर १.५ च्या अधिकाधिक जवळ येत चाललंय..”

हो वेताळा, हीच गोष्ट फलिताच्या (function) च्या स्वरूपात अधिक सोपी करून सांगायची असल्यास...आपण ते फलित (v=3t) मर्यादित स्वरूपात विचारात घेउन करु शकतो. उदाहरणार्थ काळ t=a पासून ते t=b पर्यंतचा विचार केल्यास

t=a होईपर्यंत झालेले विस्थापन s(a)= 3(a²)/2+ k

t=b होईपर्यंत झालेले विस्थापन s(b)=3(b²)/2 + k

मग a ते b या काळात झालेले विस्थापन = 3(b²)/2-3(a²)/2

आता याठिकाणी विस्थपनासाठी लागलेला काळ(t)=(b-a). या काळाचे आपण n तुकडे केले तर प्रत्येक तुकडा(Δt) आपल्याला पुढील सूत्राने मिळेल : Δt=(b-a)/n.

या कालावधीचा पहिला तुकडा आपल्याला a+(i-1)(b-a)/n या सूत्राने मिळेल, त्या कालावधीला आपण t_i-1 असे म्हणूया. मग त्या कालावधीतील विस्थापन f(t_i-1)* Δt इतके असेल. तर त्या गोळ्याचे विस्थापन साधारणपणे

f(t₀) Δt+f(t₁) Δt+f(t₂) Δt+…+f(t_n-1) Δt

हीच गोष्ट बेरजेच्या स्वरूपातलिहायची झाल्यास ती अशी दाखवता येईल

 f(t₀) Δt+f(t₁) Δt+f(t₂) Δt+…+f(t_n-1) Δt

वर पाहिल्याप्रमाणे n ची किंमत अगणिता कडे नेत गेलो तर उत्तर अचूक मिळेल..म्हणून n ची किंमत ∞ (Infinity) कडे नेत असता (आकृती १)

“बापरे विक्रमा, आता या अदृश्य भूतांवर सोटा उगारण्या पर्यंत तुमची मजल गेली. हद्द झाली तुम्हा मानवांची..पण मला हे सांग की मोजमाप सुरु करण्याआधी(t0) त्या फलिताची काही ठरीव किंमत असेल: f(t0) तर हे समीकरण कसे लिहिशील?”

“वेताळा, आपण गतीसमीकरणांचे उदाहरण घेऊन बोलूया. समजा एक वस्तू आरंभस्थाना पासून s0 एवढ्या अंतरावर असताना बाह्यबला मुळे ती t एवढ्या कालापर्यंत पुढे जात राहिली तर t0 ते t या कालावधीतील विकलांच्या (definite integral) भाषेत तिचे समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येईल (आकृती २)

“विक्रमा  हे अजूनही क्लिष्टच वाटते. ती गतीसमीकरणे की काय तू सांगितली होतीस, ती या समीकरणावरून सिद्ध करून दाखव बरं..अरे पण हे काय तुझ्या लांबड्या गप्पांमध्ये एक प्रहर टळून गेला तरी मला अपेक्षित उत्तर मिळाले नाही..निदान माझे उत्तर देण्यासाठी तरी तुला मी जिवंत ठेवतोय..आज वाचलास..पण नेहमीच नशीब साथ देईल असे नाही..पुन्हा भेटू राजा..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

विक्रम राजा वरचं संकट यावेळेस तरी टळलं या विचाराने जंगलातल्या सर्व स्थिरचरांनी सुटकेचा निश्वास टाकला..कोणत्या तरी त्या विकला बद्दल बोलल्यामुळे तो वेताळ विक्रमराजाला मारु शकला नाही. त्यामुळे हा विकलाचा कोणतातरी अक्राळ विक्राळ सोटाधारी(∫) आग्यावेताळच असावा असे सर्वांना वाटले व सर्वांनी या महावेताळाचे आभार मानले.  

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

विखंडन पद्धत: बदल मोजण्याची गुरुकिल्ली (Differentiation or derivatives: A tool to measure the rate of change)

बदल हा सृष्टीचा स्वभावधर्मच आहे. दिवसा मागून रात्र, उन्हाळ्याच्या झळांवर पाऊसधारांचा उतारा, शैशव-तारुण्य-वार्धक्य, चांगल्या अनुकूल काळानंतर येणारा संकट काळ अशा सृष्टीत नेमाने चालणऱ्या बदलांचा विक्रमाला पुरेसा अनुभव होताच. एक राजा असला तरीही तो एक माणूसच होता, सततच्या युद्धांनंतर त्याच्या प्रजेप्रमाणेच तो ही विश्रांतीसाठी आसुसला होता. पण तरीही त्याला पराभूत शत्रूच्या मनसुब्यांची, त्याच्या लहान सहान हालचालींची, व्यूहात्मक बदलांची माहिती ठेवावीच लागत होती. दुसरीकडे राज्यातील नद्यांना पूर आले होते. त्याचे पाणी शेती आणि घरांना वाहून नेते की काय अशी भिती निर्माण झाली होते. त्यामुळे नदीच्या पाण्याच्या पातळीत क्षणाक्षणाला होणाऱ्या बदलांची बित्तमबातमी तो ठेवत होता. त्याच विचारांमध्ये तो गर्क होता.

“हेरे काय राजा, कुठल्या तारेत चाललायस? आजकाल तुझ्या पाठीवर बसलो तरीही तुझ्या चालण्याच्या वेगात काही फरक नाही. एकसमान, एकाच लयीत चालत जातोस. पण ते जाऊदे. राजा आता मी तुला एक यक्षप्रश्नच विचारतो. इतके दिवस तू मला वेगवेगळ्या भुतांना मोजण्यासाठी तुम्हा माणसांनी तयार केलेल्या विविध परिमाणांची (Units of measure) माहिती देतोस. त्यासाठी भरभरून बोलतोस. विस्थापनाला (displacement) मीटर, वेगाला (velocity) मी/सेकंद, त्वरण/मंदनाला(acceleration) मी/सेकंद२, संवेगाला(momentum) किग्रा मी/सेकंद आणि वजनासाठी न्यूटन. पण हे मोजमाप ती भौतिक राशी एकसमान असेल तो पर्यंत कायम राहणार नाहीतर क्षणाक्षणाला बदलणार. तुम्हा माणसांच्या क्षणभंगुर जीवनाला अशी स्थिर राहणारी मापे कशी जमणार. तुमच्या मनातल्या क्षणिक टिकणाऱ्या विचारांसारखीच विस्थापने, वेग, त्वरण/मंदन, संवेग कायम बदलत राहणार. मग तुम्ही दर क्षणाला बदलणाऱ्या गोष्टी मोजण्यासाठी काही शक्कल लढवलीच असेलच ना? काय आहे ती शक्कल? लवकर सांग मला. नाहीतर तुझ्या डोक्याची शकले झालीच म्हणून समज..मला क्षणाचाही काळ लागायचा नाही तुझं क्षणभंगूर आयुष्य संपवायला!”   

“वेताळा, एखादी वस्तू जागच्या जागीच बसून राहिली असती तर पुढचे प्रश्नच नसते आले. पण सारा घोळ झालाय तो त्या बाहेरच्या बलाने ढकलल्या मुळेच. या बलामुळेच ती वस्तू  ती आरंभी जिथे होती, ज्यावेळी होती त्या पुढील काळात मूळ जागेपासून दुसरीकडे जाते (change in terms of space against the change in terms of time ) आणि सारी भुते तुटून पडतात. हे जे बदल होतात ते त्या बदलासाठी लागलेल्या काळाच्या संदर्भात मोजले जातात. शिवाय हे एकसमान गतीने होतीलच असेही नाही. म्हणूनच हे बदल (Δs) काळाच्या लहान लहान भागांच्या (Δt) किंवा तुकड्यांच्या हिशोबात मोजावे लागतात. काळाचा हा भाग एका युगा पासून एका क्षणापर्यंत कितीही बदलता येऊ शकतो. या पद्धतीलाच विकलन, विखंडन (differentiation) पद्धत म्हणतात.”

“झाले तुझे शब्दांचे खेळ सुरू. नीट उलगडून सांग”

“याचा अर्थ कुठल्याही बदलाचे कालसापेक्ष लहान लहान तुकडे करत जाणे आणि काळाच्या त्या लहानशा तुकड्यात किती बदल झाले ते  पाहणे. थोडक्यात स्थूलातून सूक्ष्मात जाणे (zoom in). यालाच त्या बदलाचा दर असेही आपण म्हणतो. पण हा सरासरी दर नाही. असं बघ वेताळा, समोरून एखादा डोंगर तुला दिसतो आणि तू म्हणतोस अरे हा डोंगर तर हिरवागार आहे. हे झाले ढोबळ विधान.

पण कोणी विचारले की या डोंगरावरील हिरवळीचे प्रमाण कसे कसे बदलते हे सांग तर तुला निव्वळ हिरवेगार असे म्हणून नाही भागणार. तर तुला त्या डोंगराच्या पायथ्यावर, माथ्यावर, उंचीच्या प्रत्येक लहान लहान टप्प्यावर, प्रत्येक ठिकाणी किती झाडी आहे याचा अभ्यास करावा लागतो. यासाठी आपण त्या डोंगराचे लहान लहान चौकोनात विभाजन केले आणि त्या चौकोनातील झाडांच्या संख्येनुसार त्या चौकोनाला गडद हिरव्यापासून(दाट झाडी) ते हिरवट पांढऱ्यापर्यंत (अतिविरळ झाडी) रंग दिला तर ते चित्र खालील प्रमाणे दिसेल. यात आपल्याला हे लक्षात आले की डोंगराचा रंग हिरवाच असला तरीही आता त्याला छटा आल्या. ढोबळ हिरव्या डोंगरापासून ते डोंगराच्या वेगवेगळ्या भागावरील झाडीच्या वेगवेगळ्या हिरव्या छटा  काढत येणे यालाच विकलन किंवा विखंडन म्हणतात. तुला हेही लक्षात येईल की चोकोनाचा आकार जसा जसा लहान होत जाईल तस तसा डोंगरावरील हिरवाईत होणाऱ्या बदलाचे अधिकाधिक कंगोरे आपल्याला लक्षात येऊ लागतील. एकुणात काय तर ढोबळमाना कडून सूक्ष्मतेकडे जाणे व सूक्ष्मातील बदलांचे कंगोरे पाहणे हा या विखंडन पद्धतीचा मूलभूत विचार होय.”

“म्हणजे राजा बदल केवळ कालसापेक्षच असला पाहिजे असे नाही?”

“अगदी योग्य. नक्की कशातला बदल मोजायचा आहे आणि कशाच्या संदर्भात मोजायचा आहे हे मोजणाऱ्याने ठरवायचे. मग एखाद्या माणसाचे केस आधी काळे होते ते कसेकसे पांढरे होत गेले, भुंग्याने लाकूड किंवा घुशीने जमीन कशी पोखरत नेली, राज्याचा आकार कसा वाढत किंवा घटत गेला, दर वर्षीचे उत्पन्न कसेकसे बदलत गेले, नदीला आलेल्या पुराचे पाणी दिवसेंदिवस कसे पसरत गेले, जंगलतोडीमुळे डोंगरावरील हिरवाई वरचेवर कशी कमी होत गेली, शत्रुसैन्याची सीमेवरील मोर्चेबंदी आणि युद्धाची तयारी वरचेवर कशी बदलत गेली या कशाचाही समावेश होऊ शकतो. यात बदलाचा स्थलसापेक्ष दर म्हणजे झाडांची विभागवार घनता, शत्रूची जागोजागची मोर्चेबांधणी, शेतीचे विभागवार उत्पन्न किंवा काल सापेक्ष बदल म्हणजे प्रतिवर्षीचे पर्जन्यमान, प्रतिवर्षीचे उत्पन्न, दरमहिन्याची आवक, दर आठवड्याची राज्यात येणाऱ्यांची संख्या, दर दिवसाचे मजुरांचे उत्पन्न, दर तासाला शत्रूसैन्याची होणारी आगेकूच, दर मिनिटाला पडणारे हृदयाचे ठोके, दर सेकंदाला होणारे...”

“पुरे पुरे..पण राजा म्हणजे यात मोजणाऱ्यानेच सर्व ठरवायचे..पण यात संख्यात्मक बदल (quantitative change) आणि गुणात्मक बदल (qualitative change) यांच्या बदलाचा दर कसा मोजायचा?”

“एक समजायला सोपे उदाहरण घेऊ. समुद्रकिनाऱ्यावर एक मुंगी आहे. तेथील एका नारळाच्या झाडावर चढून तिला नारळपाणी चाखायचे आहे. तर त्या झाडावर चढताना तिचा वेग कसा कसा बदलत होता? याचा अभ्यास आपण संख्यात्मक आणि गुणात्मक दोन्ही पद्धतीने करू शकतो.”

केवळ संख्यात्मक दृष्टीने पाहिल्यास, हे नारळाचे झाड चढण्यासाठी मुंगीला २४ पायऱ्या चढाव्या लागतील. पण गुणात्मक दृष्टीने पाहिल्यास मात्र प्रत्येक पायरीसाठी मुंगीला कापावे लागलेले अंतर, त्यासाठी तिला पार करावे लागलेले चढ-उतार, सोसावे लागलेले ऊन-पाऊस, गुरुत्वाकर्षणाविरुद्ध लावावी लागलेली ताकद या आणि अशा सर्वच गोष्टींचा विचार करावा लागतो”

“विक्रमा केवळ मुंगीने केलेल्या विस्थापनाबद्दलच बोल..त्यासाठी लागलेल्या सूक्ष्मकाळाबद्दल बोल..म्हणजेच त्या क्षणिक वेगाबद्दल बोल..”

“होय वेताळा..त्या प्रत्येक पायरी वरील सूक्ष्म अंतर, त्यासाठी लागलेला सूक्ष्म काळ, पर्यायाने त्या पायरीवरचा सूक्ष्मकाळासाठीचा वेग खालील प्रमाणे..”

पायरी क्र.	सूक्ष्म अंतर (Δs)	लागलेला वेळ (Δt) (seconds)	क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second	पायरी क्र.	सूक्ष्म अंतर (Δs)	लागलेला वेळ (Δt) (seconds)	क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second
१	3 cm	2	1.5	१३	2cm	2	1
२	3cm	2	1.5	१४	1.5cm	1	1.5
३	4cm	2.5	1.6	१५	2.5cm	1	2.5
४	3cm	2	1.5	१६	1cm	2	.5
५	3cm	2	1.5	१७	1.5cm	1	1.5
६	2cm	1.5	1.34	१८	2cm	.5	4
७	4cm	3	1.34	१९	2cm	3	.67
८	2cm	2	1	२०	2.5cm	1	2.5
९	2cm	3	.67	२१	.75cm	3	.25
१०	3cm	2	1.5	२२	.75cm	3	.25
११	2cm	2	1	२३	.75cm	2	.4
१२	3cm	4	.75	२४	.5cm	2	.25

आपण हीच गोष्ट आलेखातूनही पाहू शकतो..

तिच्या पूर्ण प्रवासातील पायरीगणिक बदलणारे अंतर, त्यासाठी लागलेला काळ आणि त्या पायरीसाठीचा वेग या सर्व गोष्टी वरील आलेखात स्पष्ट दिसतात. हे झालं तुझ्या प्रश्नाचं उत्तर...हीच ती बदलाचा दर(rate of change) मोजण्याची गुरुकिल्ली”

“पण विक्रमा हे जे काही तू सांगितलंस, ही जी काही लांबड लावलीस ती तू आलेखाच्या भाषेत आधीच सांगू शकला असतास..पण तरीही हा बदलाचा दर तू भूमितीच्या भाषेत सांगू शकतोस का? पण आज तरी मला ते ऐकायला वेळ नाही. हा मी निघतो...पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ

वेताळाचा आवाज जसा हवेत विरत गेला तसे पलिकडील एका झाडावर बसलेला विक्रमाच्या गुप्तहेर पथकातला एक घुबड जोरजोरात किंचाळत जाणाऱ्या टिटवीला ओरडला “ए टिटवे, अगं किती जोरात ओरडतेस? पण तुला माहित आहे का की तू कितीही जोरात ओरडलीस तरीही तुझा आवाज काही अंतरावर गेला की हळू हळू बारीक होत जातो..किती बारीक होतो माहित आहे का तुला?”

“अरे घुबडा, हेर तू आहेस..विखंडन पद्धत शिकलास ना? वापर मग...” टी टी टी करत आणि कुत्सित पणे हसत टिटवी निघून गेली...

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात