विखंडन पद्धत: बदल मोजण्याची गुरुकिल्ली (Differentiation or derivatives: A tool to measure the rate of change)

बदल हा सृष्टीचा स्वभावधर्मच आहे. दिवसा मागून रात्र, उन्हाळ्याच्या झळांवर पाऊसधारांचा उतारा, शैशव-तारुण्य-वार्धक्य, चांगल्या अनुकूल काळानंतर येणारा संकट काळ अशा सृष्टीत नेमाने चालणऱ्या बदलांचा विक्रमाला पुरेसा अनुभव होताच. एक राजा असला तरीही तो एक माणूसच होता, सततच्या युद्धांनंतर त्याच्या प्रजेप्रमाणेच तो ही विश्रांतीसाठी आसुसला होता. पण तरीही त्याला पराभूत शत्रूच्या मनसुब्यांची, त्याच्या लहान सहान हालचालींची, व्यूहात्मक बदलांची माहिती ठेवावीच लागत होती. दुसरीकडे राज्यातील नद्यांना पूर आले होते. त्याचे पाणी शेती आणि घरांना वाहून नेते की काय अशी भिती निर्माण झाली होते. त्यामुळे नदीच्या पाण्याच्या पातळीत क्षणाक्षणाला होणाऱ्या बदलांची बित्तमबातमी तो ठेवत होता. त्याच विचारांमध्ये तो गर्क होता.

“हेरे काय राजा, कुठल्या तारेत चाललायस? आजकाल तुझ्या पाठीवर बसलो तरीही तुझ्या चालण्याच्या वेगात काही फरक नाही. एकसमान, एकाच लयीत चालत जातोस. पण ते जाऊदे. राजा आता मी तुला एक यक्षप्रश्नच विचारतो. इतके दिवस तू मला वेगवेगळ्या भुतांना मोजण्यासाठी तुम्हा माणसांनी तयार केलेल्या विविध परिमाणांची (Units of measure) माहिती देतोस. त्यासाठी भरभरून बोलतोस. विस्थापनाला (displacement) मीटर, वेगाला (velocity) मी/सेकंद, त्वरण/मंदनाला(acceleration) मी/सेकंद२, संवेगाला(momentum) किग्रा मी/सेकंद आणि वजनासाठी न्यूटन. पण हे मोजमाप ती भौतिक राशी एकसमान असेल तो पर्यंत कायम राहणार नाहीतर क्षणाक्षणाला बदलणार. तुम्हा माणसांच्या क्षणभंगुर जीवनाला अशी स्थिर राहणारी मापे कशी जमणार. तुमच्या मनातल्या क्षणिक टिकणाऱ्या विचारांसारखीच विस्थापने, वेग, त्वरण/मंदन, संवेग कायम बदलत राहणार. मग तुम्ही दर क्षणाला बदलणाऱ्या गोष्टी मोजण्यासाठी काही शक्कल लढवलीच असेलच ना? काय आहे ती शक्कल? लवकर सांग मला. नाहीतर तुझ्या डोक्याची शकले झालीच म्हणून समज..मला क्षणाचाही काळ लागायचा नाही तुझं क्षणभंगूर आयुष्य संपवायला!”   

“वेताळा, एखादी वस्तू जागच्या जागीच बसून राहिली असती तर पुढचे प्रश्नच नसते आले. पण सारा घोळ झालाय तो त्या बाहेरच्या बलाने ढकलल्या मुळेच. या बलामुळेच ती वस्तू  ती आरंभी जिथे होती, ज्यावेळी होती त्या पुढील काळात मूळ जागेपासून दुसरीकडे जाते (change in terms of space against the change in terms of time ) आणि सारी भुते तुटून पडतात. हे जे बदल होतात ते त्या बदलासाठी लागलेल्या काळाच्या संदर्भात मोजले जातात. शिवाय हे एकसमान गतीने होतीलच असेही नाही. म्हणूनच हे बदल (Δs) काळाच्या लहान लहान भागांच्या (Δt) किंवा तुकड्यांच्या हिशोबात मोजावे लागतात. काळाचा हा भाग एका युगा पासून एका क्षणापर्यंत कितीही बदलता येऊ शकतो. या पद्धतीलाच विकलन, विखंडन (differentiation) पद्धत म्हणतात.”

“झाले तुझे शब्दांचे खेळ सुरू. नीट उलगडून सांग”

“याचा अर्थ कुठल्याही बदलाचे कालसापेक्ष लहान लहान तुकडे करत जाणे आणि काळाच्या त्या लहानशा तुकड्यात किती बदल झाले ते  पाहणे. थोडक्यात स्थूलातून सूक्ष्मात जाणे (zoom in). यालाच त्या बदलाचा दर असेही आपण म्हणतो. पण हा सरासरी दर नाही. असं बघ वेताळा, समोरून एखादा डोंगर तुला दिसतो आणि तू म्हणतोस अरे हा डोंगर तर हिरवागार आहे. हे झाले ढोबळ विधान.

पण कोणी विचारले की या डोंगरावरील हिरवळीचे प्रमाण कसे कसे बदलते हे सांग तर तुला निव्वळ हिरवेगार असे म्हणून नाही भागणार. तर तुला त्या डोंगराच्या पायथ्यावर, माथ्यावर, उंचीच्या प्रत्येक लहान लहान टप्प्यावर, प्रत्येक ठिकाणी किती झाडी आहे याचा अभ्यास करावा लागतो. यासाठी आपण त्या डोंगराचे लहान लहान चौकोनात विभाजन केले आणि त्या चौकोनातील झाडांच्या संख्येनुसार त्या चौकोनाला गडद हिरव्यापासून(दाट झाडी) ते हिरवट पांढऱ्यापर्यंत (अतिविरळ झाडी) रंग दिला तर ते चित्र खालील प्रमाणे दिसेल. यात आपल्याला हे लक्षात आले की डोंगराचा रंग हिरवाच असला तरीही आता त्याला छटा आल्या. ढोबळ हिरव्या डोंगरापासून ते डोंगराच्या वेगवेगळ्या भागावरील झाडीच्या वेगवेगळ्या हिरव्या छटा  काढत येणे यालाच विकलन किंवा विखंडन म्हणतात. तुला हेही लक्षात येईल की चोकोनाचा आकार जसा जसा लहान होत जाईल तस तसा डोंगरावरील हिरवाईत होणाऱ्या बदलाचे अधिकाधिक कंगोरे आपल्याला लक्षात येऊ लागतील. एकुणात काय तर ढोबळमाना कडून सूक्ष्मतेकडे जाणे व सूक्ष्मातील बदलांचे कंगोरे पाहणे हा या विखंडन पद्धतीचा मूलभूत विचार होय.”

“म्हणजे राजा बदल केवळ कालसापेक्षच असला पाहिजे असे नाही?”

“अगदी योग्य. नक्की कशातला बदल मोजायचा आहे आणि कशाच्या संदर्भात मोजायचा आहे हे मोजणाऱ्याने ठरवायचे. मग एखाद्या माणसाचे केस आधी काळे होते ते कसेकसे पांढरे होत गेले, भुंग्याने लाकूड किंवा घुशीने जमीन कशी पोखरत नेली, राज्याचा आकार कसा वाढत किंवा घटत गेला, दर वर्षीचे उत्पन्न कसेकसे बदलत गेले, नदीला आलेल्या पुराचे पाणी दिवसेंदिवस कसे पसरत गेले, जंगलतोडीमुळे डोंगरावरील हिरवाई वरचेवर कशी कमी होत गेली, शत्रुसैन्याची सीमेवरील मोर्चेबंदी आणि युद्धाची तयारी वरचेवर कशी बदलत गेली या कशाचाही समावेश होऊ शकतो. यात बदलाचा स्थलसापेक्ष दर म्हणजे झाडांची विभागवार घनता, शत्रूची जागोजागची मोर्चेबांधणी, शेतीचे विभागवार उत्पन्न किंवा काल सापेक्ष बदल म्हणजे प्रतिवर्षीचे पर्जन्यमान, प्रतिवर्षीचे उत्पन्न, दरमहिन्याची आवक, दर आठवड्याची राज्यात येणाऱ्यांची संख्या, दर दिवसाचे मजुरांचे उत्पन्न, दर तासाला शत्रूसैन्याची होणारी आगेकूच, दर मिनिटाला पडणारे हृदयाचे ठोके, दर सेकंदाला होणारे...”

“पुरे पुरे..पण राजा म्हणजे यात मोजणाऱ्यानेच सर्व ठरवायचे..पण यात संख्यात्मक बदल (quantitative change) आणि गुणात्मक बदल (qualitative change) यांच्या बदलाचा दर कसा मोजायचा?”

“एक समजायला सोपे उदाहरण घेऊ. समुद्रकिनाऱ्यावर एक मुंगी आहे. तेथील एका नारळाच्या झाडावर चढून तिला नारळपाणी चाखायचे आहे. तर त्या झाडावर चढताना तिचा वेग कसा कसा बदलत होता? याचा अभ्यास आपण संख्यात्मक आणि गुणात्मक दोन्ही पद्धतीने करू शकतो.”

केवळ संख्यात्मक दृष्टीने पाहिल्यास, हे नारळाचे झाड चढण्यासाठी मुंगीला २४ पायऱ्या चढाव्या लागतील. पण गुणात्मक दृष्टीने पाहिल्यास मात्र प्रत्येक पायरीसाठी मुंगीला कापावे लागलेले अंतर, त्यासाठी तिला पार करावे लागलेले चढ-उतार, सोसावे लागलेले ऊन-पाऊस, गुरुत्वाकर्षणाविरुद्ध लावावी लागलेली ताकद या आणि अशा सर्वच गोष्टींचा विचार करावा लागतो”

“विक्रमा केवळ मुंगीने केलेल्या विस्थापनाबद्दलच बोल..त्यासाठी लागलेल्या सूक्ष्मकाळाबद्दल बोल..म्हणजेच त्या क्षणिक वेगाबद्दल बोल..”

“होय वेताळा..त्या प्रत्येक पायरी वरील सूक्ष्म अंतर, त्यासाठी लागलेला सूक्ष्म काळ, पर्यायाने त्या पायरीवरचा सूक्ष्मकाळासाठीचा वेग खालील प्रमाणे..”

पायरी क्र.	सूक्ष्म अंतर (Δs)	लागलेला वेळ (Δt) (seconds)	क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second	पायरी क्र.	सूक्ष्म अंतर (Δs)	लागलेला वेळ (Δt) (seconds)	क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second
१	3 cm	2	1.5	१३	2cm	2	1
२	3cm	2	1.5	१४	1.5cm	1	1.5
३	4cm	2.5	1.6	१५	2.5cm	1	2.5
४	3cm	2	1.5	१६	1cm	2	.5
५	3cm	2	1.5	१७	1.5cm	1	1.5
६	2cm	1.5	1.34	१८	2cm	.5	4
७	4cm	3	1.34	१९	2cm	3	.67
८	2cm	2	1	२०	2.5cm	1	2.5
९	2cm	3	.67	२१	.75cm	3	.25
१०	3cm	2	1.5	२२	.75cm	3	.25
११	2cm	2	1	२३	.75cm	2	.4
१२	3cm	4	.75	२४	.5cm	2	.25

आपण हीच गोष्ट आलेखातूनही पाहू शकतो..

तिच्या पूर्ण प्रवासातील पायरीगणिक बदलणारे अंतर, त्यासाठी लागलेला काळ आणि त्या पायरीसाठीचा वेग या सर्व गोष्टी वरील आलेखात स्पष्ट दिसतात. हे झालं तुझ्या प्रश्नाचं उत्तर...हीच ती बदलाचा दर(rate of change) मोजण्याची गुरुकिल्ली”

“पण विक्रमा हे जे काही तू सांगितलंस, ही जी काही लांबड लावलीस ती तू आलेखाच्या भाषेत आधीच सांगू शकला असतास..पण तरीही हा बदलाचा दर तू भूमितीच्या भाषेत सांगू शकतोस का? पण आज तरी मला ते ऐकायला वेळ नाही. हा मी निघतो...पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ

वेताळाचा आवाज जसा हवेत विरत गेला तसे पलिकडील एका झाडावर बसलेला विक्रमाच्या गुप्तहेर पथकातला एक घुबड जोरजोरात किंचाळत जाणाऱ्या टिटवीला ओरडला “ए टिटवे, अगं किती जोरात ओरडतेस? पण तुला माहित आहे का की तू कितीही जोरात ओरडलीस तरीही तुझा आवाज काही अंतरावर गेला की हळू हळू बारीक होत जातो..किती बारीक होतो माहित आहे का तुला?”

“अरे घुबडा, हेर तू आहेस..विखंडन पद्धत शिकलास ना? वापर मग...” टी टी टी करत आणि कुत्सित पणे हसत टिटवी निघून गेली...

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

प्रदक्षिणा घालणे – स्वत:भोवती आणि दुसऱ्या भोवती (Rotational and Circular Displacement )

विक्रम राजाचं नशीब आणि वेताळाचं भेटणं यात अतूट नातंच निर्माण झालं होतं म्हणाना. विक्रम राजा एक प्रजाहित दक्ष राजा, कनवाळू राजा, धर्म-अर्थ नित्यनेमाने डोळ्यात तेल घालून जपणारा. आजही मनातल्या मनात राज्यातल्या रस्त्यांची बांधणी, डागडुजी, नवीन घाटांचे बांधकाम याविषयी मंत्र्यांशी चर्चा करून तो पुन्हा रानातल्या गूढ नशीबाच्या दिशेने चालत चालला होता. नागरिकांच्या समस्या जाणणे आणि त्यांवर उपाय शोधणे हा उद्योग विहिरीतून रहाटाने पाणी काढण्या इतकाच नित्याचा झाला होता.

“काय रे विक्रमा? मागील वेळी चक्राकार गती (circular motion) बद्दल बोलून बोलून तू भोवळ आणली होतीस. आज मी तुला एक प्रश्न विचारतो. एका विहिरीला नुकतेच पाणी लागले आहे. विहिरीच्या सर्व बाजू आतून दगडाने बांधून काढल्या आहेत. विहीरीची खोली १० मीटर भरली. मला त्यावर एक रहाट बसवायचा आहे आणि दोरीने पाणी शेंदायचे आहे. विहरीच्या तळाशी दोन मीटर पाणी आहे असे समजू. या विहिरीवर बसवायच्या रहाटाचा व्यास ०.५ मीटर असेल आणि तो रहाट विहिरीच्या वर १ मी वर फिरतो, तर प्रत्येक वेळी पाणी शेंदताना या रहाटाची किती चक्रे पूर्ण होतील? असे होताना पोहरा किती अंतर कापेल?”

“वेताळा तुझ्या प्रश्नातूनच तू मला चक्रीचाली (angular motion) विषयी आणि चक्राकार विस्थापनाविषयी (angular displacement) बोलण्याची पुन्हा संधी दिलीस. राजा या प्रश्नात चक्राकार गतीशी संबंधित दोन विस्थापनांचा समावेश आहे. रहाटाचे चाक यामध्ये स्वत:च्या अक्षा भोवती फिरते हे झाले चक्रीय विस्थापन (angular displacement). या विस्थापनामध्ये हे रहाटचक्र स्वत:च्या अक्षाभोवती किती फिरले याचा हिशेब अंशांमध्ये आणि रेडीयन मध्ये केला जातो. ह्या चाकाने स्वत:च्या अक्षाभोवती पूर्ण प्रदक्षिणा घातली तर ते पूर्ण परिवलन ३६० अंश इतके भरते. याच्या अर्धीच प्रदक्षिणा घातली तर ती भरते १८० अंश. चतकोरच प्रदक्षिणा घातली तर ती होते ९० अंश. अशारितीने या परिवलनाचे मुख्य टप्पे म्हणजे चतकोर (९० अंश), अर्धकोर (१८० अंश), पाऊण कोर (२७० अंश) आणि पूर्ण परिवलन (३६० अंश). स्वत:च्या अक्षाभोवती पूर्ण परिवलन झाल्यावर पुन: आरंभबिंदूच येतो.”

“अरेच्चा विक्रमा, म्हणजे शून्य परिवलन काय का पूर्ण परिवलन काय गोष्ट एकच?”

“नाही नाही वेताळा. प्रकारच्या विस्थापनाचे मापन करण्यासाठी आणि अशा अडचणी टाळण्या साठीच अंशांबरोबरच रेडीयन हे एककही वापरले जाते. आपल्या अक्षा भोवती पूर्ण प्रदक्षिणा घालण्यासाठी त्या चक्राला आपल्या परिघा एवढे अंतर कापावे लागते.

P = 2ΠR – समीकरण १

P = चक्राचा परीघ

R = चक्राची त्रिज्या

चक्रीय विस्थापनाच्या शब्दात बोलायचे झाल्यास

चक्रीय विस्थापन (d) = कापलेले अंशात्मक अंतर (θ) x चक्राची त्रिज्या (R)

D = θ x R – समीकरण २

समीकरण १ आणि २ यांची सांगड घातल्यास

θ x R = 2ΠR

याचाच अर्थ

पूर्ण परिवलनानंतर(३६० अंश) 2Π रेडीयन इतके अंतर कापले जाते 

पाऊण प्रदक्षिणेनंतर (२७० अंश) 2Πx3/4 इतके म्हणजे 3Π/2 रेडियन

अर्धप्रदक्षिणेनंतर (१८० अंश) 2Πx1/2 इतके म्हणजे Π रेडियन

चतकोर प्रदक्षिणेनंतर (९० अंश) 2Πx1/4 म्हणजे Π/2 रेडीयन.

आणि शून्य प्रदक्षिणेनंतर (० अंश) 2Πx0 म्हणजे ० रेडीयन

याच हिशेबाने दोन पूर्ण प्रदक्षिणा घातल्यानंतर (३६०x २ = ७२० अंश) 2Π x 2 म्हणजे 4Π रेडियन

हे झालं चक्राकार विस्थापनाविषयी. आता रहाटचक्राला जोडलेला पोहरा तर चक्राकार फिरणार नाही, कारण तो दोरखंडाबरोबर वर ओढला जाणार, म्हणजेच तो एका रेषेत प्रवास करणार (linear motion). पण दोरखंड जोपर्यंत चाकावरून जातोय तोपर्यंत तो वर्तुळाकारालाच धरून जाणार. (आकृती १)

याशिवाय दोरखंड वर ओढला तर तो रहाटाला गुंडाळला जाईल आणि पोहरा वर ओढला जाईल. म्हणून रहाटाचे चाक कायम चक्रगतीमध्ये राहील आणि दोरखंड जोपर्यंत चाकावर आहे तोपर्यंत चक्री फिरेल आणि इतर वेळी रेषेत प्रवास करेल. पोहरा वर ओढताना चक्रापर्यंत येइपर्यंत दोर चक्री फिरेल. पोहरा खाली सोडताना चक्रावरून सुटून सरळ रेषेत खाली जाईल.

“अरे विक्रमा मुद्द्याला ये. विस्थापन किती झाले? चक्राचे? पोहऱ्याचे? दोरखंडाचे किती वेटोळे पडले?”

“चक्राचा अक्ष (Axis of rotation) विहीरी पासून १ मी. अंतरावर आहे. - १

चक्राचा व्यास (diameter) .५ मीटर आहे. म्हणजे चक्राचा परीघ (perimeter) ΠD = Πx.५ = ३.१४x .५ = १.५७ मीटर – २

पोहऱ्याने कापायचे अंतर = विहिरीच्या तळापासून काठापर्यंत + काठापासून चाकापर्यंत = १० मीटर + १ मीटर – चाकाची त्रिज्या (Radius) = ११ – (.५/२) = ११ - .२५ = १०.७५ मीटर

म्हणजे पोहऱ्याचे एकरेषीय विस्थापन (linear displacement) १०.७५ मीटर इतके होईल.”

“अरे पण विक्रमा पोहोऱ्याला एवढे अंतर कापायचे असेल तर दोरखंडाची किती वेटोळे चाकाला पडतील? किंवा चाक किती वेळा पूर्ण फिरेल?”

“सांगतो वेताळा. दोर गुंडाळला जाणे म्हणजेच पूर्ण परिघाइतके अंतर कापणे. आपण पाहिले की चाकाचा परीघ १.५७ मीटर आहे. म्हणजे हे होण्यासाठी (एकरेषीय विस्थापन)/(चाकाचा परीघ) = १०.७५ / १.५७ = अंदाजे ६.७५ वळणे. म्हणजेच ६ पूर्ण वेटोळे (३६० अंश) आणि १ पाऊण (.७५) वेटोळा (२७० अंश) पडला. हे झाले चक्री विस्थापन (Angular displacement).”

“अरे वेटोळे काय सांगतोस? तुमच्या त्या रेडीयन च्या भाषेत सांग?”

“सांगतो.

·         ६ वेळा पूर्ण चक्र म्हणजे = ६ x परीघ = ६ x २Π = १२ Π रेडियन.

·         शेवटले एक पाऊण चक्र म्हणजे =३/४ x २ Π = ३Π/२ = १.५ Π रेडियन

एकूण चक्री विस्थापन = १२ Π + १.५ Π = १३.५ Π रेडीयन”

“पण विक्रमा तू मला चक्री चाली बद्दल आणि एकरेषीय चालीबद्दल आणि त्यांच्यातल्या संबंधाबद्दल काहीच सांगितले नाहीस. कसा रे तू राजा? किती पाल्हाळ लावतोस? पण आता मला ते ऐकायला वेळ नाही. मी चाललो पुन्हा आपल्या स्थानी..पुन्हा भेटू पुढच्या अमावस्येला..तो पर्यंत विचार करून ठेव..हाऽ हाऽऽ हाऽऽऽ”

विक्रमाच्या जाण्यानंतर तिथेच एका झाडाला लपेटलेल्या अजगराने हळूच डोके वर काढले व शेजारच्या पिलाला विचारले 

“माझी लांबी १० मीटर..मी १ मी व्यासाच्या वृक्षाला किती वेटोळे घालू शकतो?”

पिलू म्हणाले “तुम्हाला रेडियन मध्ये सांगू का त्यापेक्षा?”

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

© अनिकेत कवठेकर