दिक् व काल: विश्वव्यापी व विश्वगामी हेरांची जोडगोळी (Space and Time: The Omnipresent duet of ‘Selfless’ Observers)

तसं माणसाचा मेंदू हाच शरीराचा चालक नियंत्रक, एका अर्थी शरीरातील माहिती जाळ्याचा प्रमुख. मन व आत्म्यांची आज्ञा घेऊन त्यानुसार विविध कामे करून घेण्यासाठी झटणारा नियंत्रकच. पण त्याचं काम चालतं ते मात्र शरीराच्या नसानसांत पसरलेल्या लहानलहान चेतापेशींमध्ये. शरीराला कुठल्याही कोपऱ्यात काहीही खुट्ट झालं की लगेच कळलंच समजायचं मेंदूला. शरीरात हे जसे चेतापेशींचे जाळे तसे राज्यात हेरांचे. वेगवेगळ्या वेषात सर्वत्र फिरून साऱ्या राज्याची नस जाणणारे, खडानखडा  माहिती ठेवणारे हे हेर तसे दिसत नाहीत राजसैनिकांरखे घोड्यांवरून जाताना. पण ते असतात मात्र खास. यांच्या करवीच तर राज्यातील लहान सहान घटना कधी घडल्या, कुठे घडल्या हे कळतं. खासकरून गुन्हे साबित करताना तर ही माहिती अतिमहत्त्वाची. न्यायदानातला, दंडनीतीमधला पुराव्याचा भाग तर यांच्या सहाय्यानेच पुरा होतो..

“काय रे विक्रमा, तू या जंगलात आलास तरी अजूनही राज्याचा, प्रजेचा विचार सोडला नाहीस? राज्यातल्या प्रधानांवर तुझा विश्वास नाही?”

“वेताळा, राज्यातल्या प्रधानांवर, सेनापतींवर माझा विश्वास आहेच, पण त्याहीपेक्षा माझा विश्वास माझ्या गुप्तहेरांवर आहे..कारण ते फारसा काही स्वार्थ न साधताच राजाची कामे करतात. सतत जागरुक राहतात. राज्यातल्या घडामोडींवर पाळत ठेवतात..ते अतिशय विश्वासु आहेत. कारण ते अतिस्वार्थी नाहीत, सत्ताभिलाषी नाहीत.”

“अरे हो हो राजा. मान्य आहे. पण तू आपल्या नेहमीचा चर्चेचा विषय विसरलास का? का तुला म्हणायचंय की पदार्थविज्ञानातही असे हेर आहेत?”

“अगदी बरोबर ताडलंस वेताळा, पदार्थविज्ञानातही असे नि:स्वार्थ काम करणारे हेर आहेत. अर्थात ते कोणत्या राजासाठी कामे करत नाहीत. ते द्रव्यरूपात आहेत, स्वात्मन्यारम्भकत्व म्हणजे स्वत:मध्ये बदल करू शकतात, त्यांचे काही गुण आहेत, ते भूतद्रव्यांची निर्मिती पाहतात, त्यांचे रुपांतरण पाहतात, त्यांच्या हालचाली पाहतात. पण ती द्रव्ये भूतद्रव्यांच्या आहारी जात नाहीत. तेज त्यांना सैलावत नाही..स्थायू त्यांना ढकलत नाही..ते स्थायूंना ढकलत नाहीत..”

“अरे कोण आहेत हे?”

“ही द्रव्यांची जोडगोळी म्हणजे काल(time) व दिक्(space)..”

“अरे हो..मागच्या वेळी आपण बोलत होतो यांच्याबद्दल..बर मला सांग प्रशस्तपादांनी काय म्हटलंय यांच्याविषयी?”

 “वेताळा, प्रशस्तपादऋषींनी पदार्थधर्मसंग्रहाच्या तिसऱ्या धड्यात मूर्त व अमूर्त द्रव्ये एकामागोमाग सांगितली आहेत. हेतू हा की त्यांची परस्परपूरकता ठसावी. 

म्हणजे बघ, दुसऱ्यांकडून कामे करुन घेणाऱ्या द्रव्यांबद्दल त्यांनी सांगितले

क्षितिजलज्योतिरनिलमनसां क्रियावत्त्वमूर्त्तत्वपरत्वापरत्ववेगवत्वानि ||23||

स्थायू, द्रव, वायू, तेज व मन हे हालचाल करत असतात, त्यांना जाणीव स्वरूप असते, ते जवळ येऊ शकतात व लांब जाऊ शकतात आणि ते बलप्रयोग करून गती निर्माण करू शकतात. 

यांच्यानंतर लगेचच्या श्लोकात त्यांनी अमूर्त द्रव्ये, म्हणजे आकाश(plasma), काल(time), दिक्(space) व आत्मा(Soul) यांविषयी म्हटलंय..

आकाशकालदिगात्मनां सर्वगवत्वं परममहत्त्वं सर्वसंयोगिसमानदेशत्वश्च ||24||

To Akasha, Time and Space, belong the characters of – being all pervasive, having the largest dimensions, and being the common receptacle of all corporeal things.

आकाश, काल, दिक् व आत्मा हे सर्वव्यापी आहेत, ती आकाराने विस्तीर्ण आहेत व सर्व मूर्त गोष्टींना ती आश्रय देतात.”

“ही अदृष्य, अमूर्त द्रव्ये आश्रय देणार तो कसा? ज्यांना स्वत:लाच काही दृष्य अस्तित्त्व नाही ते दुसऱ्याला काय आश्रय देणार?”

“वेताळा, एका  अर्थी तुझं बरोबर आहे. पण असं पाहा की पृथ्वी, आप, तेज व वायु यांच्या अस्तित्वाला सतत घोर लागलेला असतो. तेजाने काही कमी जास्त केलं की स्थायूचा झाला द्रव मग वायू. पुन्हा थंडावा आला की पुन्हा उलटी गंगा. शिवाय ही द्रव्ये सतत एकमेकांवर कुरघोडी करण्यात मग्न. म्हणजे स्थायुरूप डोंगर आपरुप नदीला आडवणार. मग त्याबद्दल नदी डोंगराला भगदाडे पाडणार, खळगे पाडणार. शिवाय सूर्याच्या तेजरूपाने पाण्याची वाफ व्हावी, मग हे ढग वाऱ्याने ढकलावेत व मग काही अंतरावर पुन्हा ढगातून पाणी खाली यावे. असं सारखं चालावं. सूर्यकिरणं पृथ्वीवर पोहोचावी. पक्ष्यांचे ध्वनी सर्वत्र पसरावे. अशा या द्रव्यांच्या सततच्या गोंधळात, धांगडधिग्यात या घडामोडींच्या नोंदी ठेवतात ते ही काल व दिक् ही द्रव्ये. कालामुळेच आधी-नंतर, पुन्हा-पुन्हा, कधीतरी, नेहमीच असे सारे संदर्भ आकाराला येतात.”

आणि दिक् हे काय संदर्भ देते?

वेताळा, दिक् हे काळाबरोबर, मना बरोबर असते. काळ जिथे संदर्भात वापरला जातो तिथे दिक् सुद्धा पर्यायाने येतोच. म्हणजे बघ

क्षितिजलज्योतिरनिलमनसां क्रियावत्त्वमूर्त्तत्वपरत्वापरत्ववेगवत्वानि ||23||

स्थायू, द्रव, वायू, तेज व मन हे हालचाल करत असतात, त्यांना जाणीव स्वरूप असते, ते जवळ येऊ शकतात व लांब जाऊ शकतात आणि ते बलप्रयोग करून गती निर्माण करू शकतात. या दादागिरी करणाऱ्या पाच द्रव्यांनी जी ढकलाढकली केली, द्रव्ये किती लांब गेली, किती जवळ आली याचं मोजमाप दिक् द्रव्यामुळे मिळत राहतं. 

शिवाय

आकाशात्मनां क्षणिकैकदेशवृत्तिविशेषगुणवत्त्वम् ||31||

Akash and the Souls have such specific qualities as last only a single moment and exist only over certain parts of their substrates.

आकाश व आत्मा हया द्रव्यांचा विशेष गुण म्हणजे ती एका क्षणाला एका ठिकाणी असतात तर दुसऱ्या क्षणाला दुसऱ्या. तर यातल्या आकाशद्रव्यातली जी कंपने, लहरी आहेत त्यांच्या उगमस्थानाच्या नोंदी, त्या लहरी कुठल्या कुठल्या द्रव्यातून गेल्या या नोंदी दिक् तत्व ठेवते. कारण क्षणिक काळापुरतं का होईना पण या लहरी मूर्तद्रव्यांचा आश्रय घेतातच घेतात.

काही उदाहरण दे रे..

म्हणजे बघ वेताळा, शंखाचा ध्वनी निर्माण करण्याची परंपरा आहे. पूजेच्या वेळी तो करतात. महाभारतात युद्धाच्या सुरुवातीला तो केला गेला होता. यात प्रथम शंखनाद करणारी व्यक्ती तोंडावाटे हवा शंखात सोडते. तो आवाज न ऐकु येणारा असतो. शंखात आवाज ऐकु येऊ लागतो. मग तो ध्वनी आजुबाजूच्या हवेवर स्वार होऊन पुढेपुढे जात राहतो. म्हणजे तो ध्वनी एका क्षणाला शंखात, लगेच शंखापासून एका फुटावर मग २ फुटावर असा जात राहतो. इथेही दिक् द्रव्य नोंद ठेवत राहते.

 

“ते ठिक आहे विक्रमा, मला वाटतं दिक् व काल हे तू म्हटलास तसं कायमच चालत असतं. पण आपण त्याची किती नोंद ठेवणार? सतत दिक् व काल नोंदी ठेवत राहिलो तर मुख्य कामेच होणार नाहीत..श्वास घ्यायलाही फुरसत मिळणार नाही..”

“वेताळा, यासाठीच तर प्रशस्तपादांनी निमित्त कारण हा शब्द वापरलाय.

दिक्कालयो: पञ्चगुणवत्त्वं सर्वोत्पत्तिमतां निमित्तकारणत्वञ्च ||32||

Space and time have the common character of having five qualities, and that of being the instrumental cause of all that has origin.

दिक् व काल यांत पाच समान गुण असून त्याशिवाय निर्माण झालेल्या सर्वांच्या उत्पत्तीचे ती निमित्तकारण आहेत. यात निर्माण झालेल्या गोष्टी म्हणजे हालचाली, एका अवस्थेतून दुसऱ्या अवस्थेत जाणे अशा सर्वच बदलांची नोंद घ्यायची वेळ येते त्या निमित्तापुरतीच दिक् व काल यांची नोंद घ्यायची व आपले कार्य करत राहायचे.”

“मग आपण निमित्तापुरते पाहत असू तर इतर वेळी त्यांची नोंद कोण ठेवते?”

“वेताळा, कालमापनाचे नऊ प्रकार सूर्यसिद्धांत या पुस्तकाच्या मानाध्याय प्रकरणात दिलेले आहेत.

ब्राह्मं दिव्यं तथा पित्र्यं प्राजापत्यं च गौरवम् | सौरञ्च सावनं चान्द्रं आर्क्षं मानानि वै नव ||

यातील पहिल्या ६ म्हणजे ब्राह्म, दिव्य, पित्र्य, प्रजापत्य, गौरव व सौर ह्या सहा पद्धतींचा विश्वाच्या उत्पत्ती पासूनचा काळ मोजण्यासाठी उपयोग होतो. चान्द्रमानाचा(lunar) उपयोग सण व धार्मिक विधींसाठी होतो. सावन(solar) दिन व नक्षत्र(sidereal) दिन यांचा उपयोग ग्रहांच्या हालचाली विषयी माहिती देण्याकरता होतो. सावन दिनाचा उपयोग तर नवीन काळातील कालमापनासाठीही होतो.(Physics in Ancient India – N.G. Dongre, S.G. Nene). भारतीय पंचांगांनुसार तर पुढच्या व मागच्या कैक हजार वर्षांचे चंद्रोदय व अस्त अचूक ओळखता येतात.”

“आणि विक्रमा, दिक् या द्रव्याचं काय?”

“दोन अणूंमधील सूक्ष्म अंतरापासून ते दोन ग्रहांमधील महाकाय अंतरांपर्यंत मोजमापे करण्यासाठी काही त्रासरेणू इतक्या अंतरापासून कैक योजने इथपर्यंत वेगवेगळी मापने शोधली गेली.”

“हे तर ठीक आहे विक्रमा, पण पृथ्वीवर कुठेही काहीही झालं तरी त्याजागेची अचूक माहिती कळण्यासाठी तुम्ही काही केलं नाही का?”

“हो केलेना वेताळा. पृथ्वीगोलाच्या कमरपट्ट्यासारख्याच असणाऱ्या काल्पनिक विषुववृत्ताला समांतर असे पृथ्वीचे गोलाकार काप केले तर प्रत्येक चकतीचे अक्षांश(latitude) सारखे असतील. याच गोळ्याचे अक्षाला समांतर असे उभे तुकडे केले तर प्रत्येक तुकड्याचे रेखांश (longitude) सारखे असतील.” अशारितीने तुकडे केल्यावर मग पृथ्वीवरील कुठल्याही ठिकाणची अचूक माहिती दुसऱ्याला देता येईल. पदार्थविज्ञानाच्या संदर्भात म्हणशील तर आधुनिक काळात संदर्भचौकट(frame of reference) या संकल्पनेचा उदय झाला. यात कार्टेशियन चौकट व सहनिर्देशक(Cartesian coordinates ), चक्री चौकट (polar coordinates) या होत्या.

“काल व दिक् यांची माहिती घेता घेता आपण किती काळात किती चालत आलो ते कळलं नाही. सौर दिन व नक्षत्रदिन यांमधला फरक कळला नाही. पण विक्रमा मला आता या विस्थापनांचा अंदाज घ्यायची इच्छा झाली आहे. विस्थापन, वेग याविषयी पूर्वीही बोललेलो आहे. पण सुरुवातीला मला उष्णतेचे वहन जाणून घ्यायचे आहे. त्या वहनात द्रव्याच्या रेणूंचे विस्थापन कसे होते..हे पाहायचंय.पण आता मी येतो राजा. मला जायला हवं. पुन्हा भेटू, नक्की. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

पदार्थविज्ञानाचा तास संपला तरी सर्वांची अजून जाणून घेण्याची इच्छा काही संपलेली नव्हती. किंबहुना ती वाढतच होती. आजपुरती सर्वांनी उसंत घेतली इतकंच..

(क्रमश:)

मूळ गोष्ट: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

निरीक्षकाची स्थिती – गती चौकट आणि सहनिर्देशक पद्धती (Frame of reference and coordinate system)

राजा विक्रम आजही चिंतित होता. वेताळाला एवढी उत्तरे देऊन, एवढे तर्क लढवून तो शेवटी असा काही प्रश्न विचारतो आणि निसटतो. हे जसजसं खोल गहन होत होतं तसं ते अधिक गूढरम्यही वाटत होतं. खरोखरीच रोजच्या जगण्यातल्या किती गोष्टींना ही भुतं लपेटून असतात, किती ठिकाणी केवळ तर्क आणि निरीक्षण नसल्याने अंदाज बांधणं अवघड जातं, पण वस्तुनिष्ठ पणे सोप्यासोप्या गोष्टींच्या उकलीतून मग अधिक गहन गुंत्याकडे कसं जाता येतं याचा वस्तुपाठच जणू तो गिरवत होता. वेताळ हा एखाद्या पिशाच्चापणे आक्रस्ताळा न होता हुशार शिक्षकाप्रमाणे विचार करायलाही लावत होता आणि फिरकीही घेत होता. विस्थापन, वस्तुमान, वेग या वरकरणी सोप्या वाटणाऱ्या भुतांच्या पिल्लावळीपासून सुरूवात करून आता तो संवेग, बळ इत्यादि गुंतागुंतीच्या वेताळांकडे घेऊन निघाला होता. 

“विक्रमा, थांब अजून पुढे जायला वेळ आहे.” वेताळच तो, विक्रमाच्या विचारांच्या लहरींना अचूक पकडत आणि नेहमीप्रमाणेच त्याच्या पाठीवर बसत तो म्हणाला, “राजा, तू आतापर्यंत मला अनेक मोजमापे सांगितलीस, अनेक सदीश(vector) राशींशी संबंधित गणितं सांगितलीस, ओढून नेण्याचा गोळा, डोंगरावरून खालपर्यंत गोळे सोडून वेग मोजणं, न्यूटनच्या नियमांमधील दिशांचे संदर्भ या सगळ्यात हा मोजणारा(observer) जो आहे तो नक्की कुठं उभा आहे? तो मोजणारा जर त्या मोजमापाच्या वेळी स्थिर नसला तर तुमचे संदर्भ, गणितं, मोजमापं तीच राहतील का?”

“वेताळा रुढार्थानं याच उत्तर देणे सोपं आहे, की होय निरीक्षकाच्या स्थिती (position), गती (velocity) वर या वस्तूंच्या विस्थापन(displacement), वेग, त्वरण(acceleration)-मंदन(deceleration), संवेग(momentum) इत्यादि सदीशांचं(vector) सारं अवलंबून असतं कारण दिशा हीच मुळात एक निरीक्षक गृहित धरते. शिवाय तो निरीक्षक ज्या वस्तुंच्या वेगाची, विस्थापनाची मोजमापे करायची आहेत त्या वस्तूंच्या भवतालातच आहे हे सुद्धा गृहित धरते. उदाहरणार्थ एखाद्या वस्तूचं वजन(weight) मोजायचं असेल तर निरीक्षक तो वजनकाटा ज्या ठिकाणी आहे त्याच्या जवळच उभा आहे असे गृहित धरलं जातं. पृथ्वीवर वजन मोजलं जात असताना निरीक्षकही पृश्वीवरच आहे असं धरून चालावं लागतं, तो निरीक्षक स्थिर उभा आहे असं धरावं लागतं, त्या ठिकाणी पृथ्वीवरील ‘g’ ची किंमत आणि वजनकाटा जिथे आहे तिथली ‘g’ ची किंमत एकच आहे असं धरून चालावं लागतं. या सर्व गृहितकांना (assumptions) एकत्रितपणे निरीक्षकाची स्थिती-गती चौकट (Observer’s frame of reference) असे आपण म्हणतो. भौतिकशास्त्रातली मोजमापे करताना ही अदृश्य चौकट फारच महत्त्वाची आहे. ती दिसली नाही तर साऱ्याच मोजमापांचा बोजवारा उडेल.”

“आलास मूळपदावर? झाले तुझे शब्दांचे खेळ सुरू? काय तर म्हणे स्थिती गती चौकट? एखादे उदाहरण दे बरं,   उगीच शब्दांचे मनोरे बांधू नकोस.”

“बर बर. उदाहरणच देतो. विस्थापन आणि अंतर(distance) मोजायच्या वरवर सोप्या वाटणाऱ्या प्रयोगाकडे पाहू. प्रयोग तसा साधाच आहे. वस्तू एका ठिकाणी होती ती दुसऱ्या ठिकाणी नेली. म्हणजेच आरंभीचं ठिकाण आणि शेवटचं ठिकाण. पण ही दोन्ही ठिकाणं निरीक्षकापासून किती लांब होती. अंतर मोजताना कसं मोजलं? निरीक्षकापासून आरंभीचं ठिकाण आणि निरीक्षकापासून शेवटचं ठिकाण मोजलं आणि मग फरक काढला का? त्यालाच अंतर म्हटलं का? म्हणजे दोन निरीक्षक वेगवेगळ्या ठिकाणी असले तर पुन्हा मोजलेलं अंतर वेगळे येणार का? अश्या साऱ्या शक्याशक्यतांमुळे मोजमापात फेरफार होऊ नयेत म्हणून काही उपायांचा विचार चालू होता.

परंपरागत भारतीय विचारधारेनुसार ज्ञान मिळवण्याचे चार योग्य पर्याय होत: प्रत्यक्ष(perception), अनुमान(inference), उपमान(comparison and analogy) आणि शब्द (word, authoritative statements of knowledgeable person) हे ते चार मार्ग. वैशेषिक दर्शन तर या पैकी पाहिल्या दोन म्हणजे प्रत्यक्ष आणि अनुमान यांनाच संमती देते. यापैकी प्रत्यक्ष म्हणजे जाणीव किंवा ज्ञातेपणे पाहणे. हे पाहणे दोन प्रकारचे ज्ञानेंद्रियांच्या सहाय्याने रुप,रस,गंध इत्यादिंच्या आधारे इंद्रिय गोचर वस्तूची जाणीव होणे. दुसरी म्हणजे इंद्रियांना न जाणावणारी पण मनाला जाणवणाऱ्या गुणांच्या सहाय्याने अनुभव घेणे. योग्य जाणीव होण्यासाठी चार नियम घालून दिले आहेत:

• इंद्रियार्थसंनिकर्ष - ज्या वस्तूचा अभ्यास कारायचाय तिचा प्रत्यक्ष स्वत:च्या इद्रियांनी प्रत्यक्ष अनुभव घेणे.
• अव्यपदेश्य - ऐकीव माहितीवर आधारित राहू नये. स्वत:च्या अनुभवावरच विसंबावे
• अव्यभिचार – अनुभावावर आधारित निरीक्षण बदलत नाही
• व्यवसायात्मक – निश्चित आणि परिमाणित. योग्य निरीक्षणात कोणत्याही शंकाकुशंकेला जागा नसते कारण सर्व तपशील योग्य पद्धतीने नोंदवलेला असतो.

यावरून साफच दिसते की पहाणाऱ्याने स्वतंत्रबुद्धी व प्रत्यक्ष निरीक्षण यांचाच मुख्य आधार घेणे प्राचीन भारतीय वैशेषिकांना अपेक्षित होते. शिवाय वैशेषिकांनी द्रव्याचे खालील नऊ प्रकार सांगितले आहेत:

पृथिव्यापस्तेजो वायुराकाशं कालो दिगात्मा मन इति द्रव्याणि |
(वैशेषिक दर्शन १-२-५)

अर्थात पृथ्वी(solid), आप(liquid), तेज(energy), वायु(gases), आकाश(plasma), काल(time), दिक्(space), आत्मा, मन ही द्रव्ये आहेत. यापैकी पृथ्वी, आप, वायु, तेज, आकाश यांनी बनलेले पदार्थ हे विशिष्ट दिक्(space) आणि काल(time) व्यापतात. म्हणून त्यांना भूते किंवा पंचमहाभूते म्हटले आहे. म्हणून त्या पंचमहाभूतांच्या मापासाठी काल(time) आणि दिक्(space) या पहिल्या मोजपट्ट्या आल्या.”

“पण काल व दिक् याच का त्या मोजपट्ट्या?”

“याचं  कारण असं आहे वेताळा की दिक् व काल हे अनंत आहेत. शिवाय पंचभूते या दिक् व कालाशिवाय आकारालाच येऊ शकत नाहीत. असो तर हा झाला वैशेशिक विचार. आधुनिक वैज्ञानिक विचाराचीही दिशा तिच असली तरीही नंतर नंतर त्या मोजमापात अधिकाधिक स्पष्टता येऊ लागली. त्यात १७ व्या शतकातील फ्रेंच गणितज्ञ रेने देकार्त ने शोधलेल्या ‘कार्टेशियन सहनिर्देशकांची’(Cartesian coordinates) मोलाची मदत झाली.”

“गणितज्ञाने शोधलेल्या गोष्टीची भौतिकशास्त्रात मदत झाली? ती कशी काय? तुम्ही माणसं जरा विचित्रच असता तुमच्या सोयीसाठी तुम्ही कशाचाही संबंध कुठेही जोडता. हे सहनिर्देशक(coordinates) तुमच्या कामाला कशे आले?”

“तू म्हणतोस ते बरोबरच आहे. मोजमापाच्या सोयीसाठीच हा सर्व खटाटोप आहे. कुठल्याही ठिकाणाबद्दल माहिती देताना जसं आपण तिथल्या जवळच्या खुणांच्या आधारे सांगतो की राजवाड्या पासून तोफखान्या पर्यंत जा आणि मग तिथून डावीकडे वळून सरळ अश्वशाळेपर्यंत जा. त्या जवळच हे ठिकाण आहे वगैरे. तसंच या सहनिर्देशांक पद्धतीचं आहे. जसा आपल्या उदाहरणात आपण सर्वांना माहित असणाऱ्या राजवाड्या पासून सुरुवात केली तसाच या पद्धतीत ० हा आरंभबिंदू (origin) धरला. याठिकाणी उभं राहून समोरचा पूर्ण परिसर हा एक अतिविशाल, अमर्याद चौरस (Square) आहे असं गृहित धरलं आणि त्या चौरसाचा एक शिरोबिंदू (vertex) म्हणजेच ० बिंदू धरला. आता आपल्यासमोर एक अमर्यादित आकाराचा चौरस आहे. ० बिंदूपाशी या चौरसाच्या ज्या दोन बाजू आहेत त्यांपैकी उजवीकडे जाणारी ला x अक्ष (axis) म्हणूया आणि त्यातील दुसऱ्या बाजूला y अक्ष म्हणूया. आता आपल्या मोजण्याच्या सोयीसाठी या अमर्याद चौरसाचे समसमान तुकडे करूया. त्यासाठी एक अदृश्य तलवार घेऊन आधी x अक्षाला ती समांतर धरा व तशीच पुढे पुढे नेत समान अंतरावर तुकडे करा. गंमतीचा भाग म्हणजे तुमचा y अक्ष कापला जाईल व त्यावर सारख्या अंतरावरील बिंदूंची पंगत बसेल. हीच गोष्ट आता ती तलवार y अक्षाला समांतर धरून करा. X अक्ष कापला जाईल व त्यावर समानांतर बिदूंची पंगत बसेल. हे असं उलटसुलट वाटतंय थोडसं. पण त्याचाही उलगडा होईल. पण आता तुमचा कार्टेशियन निर्देशकांचा आराखडा तयार झाला. तुझ्यासारख्या आकाशात उडणाऱ्या वेताळाने तो पाहिला तर तो असा दिसेल.(आकृती १)”  

असं एकदा निश्चित झालं की मग कोणीही मोजमाप केले तरीही ते सारखंच येणार. उदाहरणार्थ एका स्पर्धकाने ओंडका आरंभबिंदूपासून ओढत नेला आणि क या ठिकाणी टाकला तर तो ओंडका किती अंतर गेला? (आकृती २)

आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे तो ओंडक्याने कापलेले अंतर कुठल्याही मार्गाने मोजले तरीही त्याचे शेवटचे सहनिर्देशक हे x = 10 , y = 9 असेच  असणार आहेत. पायथागोरसच्या सिद्धांतानुसार(Pythagoras theorem) हे अंतर म्हणजे x आणि y यांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ असते. गणिती भाषेत (अंतर)२ = (x)२ + (y)२ = (१०)२ + (९)२ = १८१.  शेवटी अंतर हे अंदाजे १३ इतके येते. 

“अरे विक्रमा पण हे सारं पुन्हा मोजमापाचंच बोलतोयस. पण हा निरीक्षक धावत असला किंवा स्थिर बसला असेल तर वेग वगैरे मोजमापांचे काय होते ते तू सांगतच नाहीयेस?”

“वेताळा, वेगाचं मोजमाप जरी नाही केलं तरीही एका वस्तूचा वेग आणि त्याच्या तुलनेत दुसऱ्या वस्तुचा वेग पाहताना निरीक्षक स्थिर आहे, किंवा त्या दोन्हींतील कोणत्याही एका वस्तूवर बसला आहे यावर त्याला जाणवणारा वेग बदलतो. असं पहा, साधं उदाहरण. मी जमिनीवर झाडाशेजारी उभा आहे. मी स्थिर म्हणून झाड ही स्थिर. तू वरून उडत जाताना तेच झाड पाहिलंस. तर तुला ते झाड जवळ येताना किंवा दूर जाताना दिसेल. निरीक्षकांच्या या स्थिती-गतींमुळेच या चौकटींचेही दोन प्रकार पडतात – स्थिर असणारी वा एकसमान वेगाने जाणारी अशी जडत्वभारित चौकट (Inertial Frame of Reference). त्याच्या उलट म्हणजे अस्थिर किंवा वेगात बदल होत राहणारी ती जडत्त्वरहित चौकट (Non-inertial Frame of Reference). जडत्वभारित चौकटीत वेगबदल नसल्याने काम करणारे एकूण परिणामी बल (Resultant Force) शून्य आहे असे आपण म्हणू शकतो. जडत्वरहित चौकटीत वेगबदल असल्याने त्यावर काही एक परिणामी बल कार्य करत असते. ”

“राजा तुला खोडच आहे शब्दच्छल करण्याची. उदाहरण दे, उदाहरण.”

“बर, बर. हे पहा समजा आमच्या राजमार्गावरून एक हत्ती शांतपणे झुलत झुलत ५.५ मी/सेकंद वेगाने महालाच्या डावीकडून उजवीकडे निघाला आहे. त्याच्याच १ किलोमीटर मागे एक घोडागाडी १६.७ मी/सेकंद वेगाने दौडत येत आहे. या घोडागाडीच्या साथीने एक स्वार तितक्याच वेगाने दौडत आहे. उलट एक हत्ती वेगाने दौडत राजमहालाच्या उजवीकडून डावीकडे १३.७ मी/सेकंद वेगाने जात आहे. (आकृती ३)”

आता यात निरीक्षक कुठे असेल त्यावर या सर्वांचा त्याला जाणवणारा वेग (relative velocity) ठरेल. उदाहरणार्थ 

निरीक्षक १ राजवाड्यावर असेल तर त्याची गती शून्य असेल, म्हणजेच तो जडत्वभारित चौकटीत (Inertial Frame of Reference) असेल. त्याला जाणवणारी सर्वांची गती वर दिलेल्या प्रमाणेच असेल. (आकृती ४)

आता निरीक्षक २ हा घोड्यावर बसला आहे असे समजू. घोडा हा ६० किमी/तास या एकसमान वेगाने (constant velocity) चालला असल्यामुळे त्याला वेगबदलाचा सामना करावा लागणार नाही. म्हणून तोही जडत्तवभारित चौकटीतच आहे. त्याचा आणि रथाचा वेग सारखाच असल्यामुळे त्याला रथाचा वेग जाणवणार नाही. त्याने हत्तीला पाहिले असता हत्तीचा वेग त्यापेक्षा कमी असल्यामुळे हत्ती स्थिर असून मागे पडत आहे असे त्याला वाटेल. राजवाडा तर एका जागी स्थिरच आहे. त्यामुळे तिथपर्यंत पहोचेपर्यंत तो जवळ येत असल्या सारखे व त्यानंतर तो वेगाने मागे जात चालल्या सारखे वाटेल. 

निरीक्षक ३ हा झुलत जाणाऱ्या हत्तीवर बसला आहे. त्याचा वेग एकसमान असल्यामुळे तोही जडत्तवभारित चौकटीतच आहे. त्याच्या उजवीकडून घोडा व रथ जात असताना त्यांचा वेग वाढत असल्यासारखे त्याला वाटेल. शिवाय त्यांचा वेग एकसमान असल्यामुळे घोडा आणि रथ एकत्रच चालल्या सारखे त्याला वाटेल. उलटीकडून येणाऱ्या गजराजाचा वेग कमी जास्त होत असला तरीही याला जाणवणाऱ्या चढ-उतारांचे मान कमी असेल. (आकृती ५)

निरीक्षक ४ मात्र समोरून येत आहे. हत्तीचा वेग कमी जास्त होत असल्यामुळे त्याची चौकट जडत्वरहित (Non-inertial or accelerated frame of reference) प्रकारची असेल. त्याला जाणवणारे वेग हे वेगळे असतील. त्याच्या त्वरण मंदनाची माहिती असल्या शिवाय त्याला जाणवणारे इतर प्राण्यांच्या वेगांचा अंदाज बांधणेही अशक्य आहे. पहिल्या ३ निरीक्षकांच्या चौकटीला न्यूटनचा पहिला गतनियम लागू पडतो. चौथ्या निरीक्षकाला मात्र नाही.

“राजा फारच मोठे पुराण सांगितलेस बुवा. पण मी म्हणतो की या परिणामी बलाची(resultant force) मात्र तू काहीच माहिती देत नाहीस. परिणामी बल ही काय नवीन भानगड आहे? किती रे घोळ घालतोस तू? मात्र माझी वेळ झाली. मी निघालो. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

विक्रमाचा खिन्न चेहरा पाहून आभाळ स्तब्ध झाले. शांत तळ्यावर चंद्रकिरण बहुधा चंदेरी नोंदी करण्यात मग्न होते.

• किनाऱ्यावर रुतून बसलेल्या किंवा एकसमान गतीने सरळ जाणाऱ्या नावेत असते ती जडत्वभारित चौकट (Inertial Frame)
• खळाळणाऱ्या, रूद्र प्रपातात हेलकावे खाणाऱ्या किंवा वादळात भेलकांडत जाणाऱ्या, गटांगळ्या खाणाऱ्या नावेत असते ती जडत्वरहित चौकट (Non-inertial frame)
• सर्वांना समान निरीक्षणे नोंदवता यावीत म्हणून x अक्ष आणि y अक्ष या सहकाऱ्यांच्या समन्वयाने चाललेली यंत्रणा म्हणजेच कार्टेशियन सहनिर्देशन पद्धती (coordinate system).

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

वेगातला बदल – वाढता (त्वरण) वा घटता (मंदन) (Acceleration and Deceleration)

घनदाट जंगल, कीर्र अंधार, श्वापदांच्या हृदयाचा थरकाप उडवणाऱ्या आरोळ्या, शिकार होणाऱ्यांच्या आर्त किंकाळ्या, जंगली पाणवठ्यावर पाणी पिण्याचे आवाज सारं मागं जात होतं पण विक्रमाचे मन मात्र वारा पिलेल्या घोड्याप्रमाणे विचारांच्या मागे धावत सुटले होते. हे वेताळाचे प्रश्न एकातून दुसऱ्या, दुसऱ्यातून तिसऱ्याच ठिकाणी घेऊन जात होते.

“काय राजा आज पुन्हा आलास सज्ज होउन आपल्या कोड्यासाठी? तर मग ऐक. मागील एका प्रश्नात मी तुला सर्वाधिक वजनाचा गोळा ठरविण्यास सांगितले होते. आता हाच गोळा घेऊन तू एका जादुई प्रदेशात गेलास. तिथे जमीन सर्वत्र गुळगुळीत (friction-less) आहे. हवा एका दिशेनेच वाहते. बाकी कोणतीही बले कार्यरत नाहीत. तिथे एका सरळ रेषतून हा गोळा सोडलास तर या गोळ्याचा वेग (velocity) बदलेल का समान राहील? बदलला तर तो कशामुळे? पटकन सांग नाहीतर मी तुझ्या डोक्याचेच सूक्ष्म भाग करीन.”  

“वेताळा सांगतो. जगात एकसमान कोणतीही वस्तू एकसमान वेगाने (constant velocity) जाणे, तिच्या वेगात किंचितही बदल न होणे हे केवळ अशक्य. वस्तूच्या मार्गक्रमणाला बाधक आणि पोषक अशा अनेक गोष्टी असू शकतात. सुरुवात वस्तूच्या वस्तुमान (mass) आणि जडत्वापासून(inertia) होते. कोणत्याही वस्तूला जागचे हलायचे नसते किंवा जर गतिमान असेल तर गतीमध्ये बदल करायचा नसतो. न्यूटनचा पहिला गतिनियम (Newton’s First Law of Motion) आपल्याला हेच तर सांगतो. 

जर ही वस्तू हालत असेल तर तिच्या वेगात बदल करणं म्हणजे तिचा संवेग (Momentum) बदलणं. ज्या वस्तूला वेग आहे त्या वस्तूलाच संवेग किंवा जोर (momentum) असतो. वस्तूचा संवेग म्हणजे त्या वस्तूच्या वस्तुमानाचा (Mass) आणि वेगाचा (Velocity) गुणाकार. म्हणूनच या वस्तूच्या संवेगात बदल करायचा असेल तर काहीतरी कुठूनतरी जोर लावावा लागेल. आता हा जोर किती आणि का लावायचा, त्याने त्या गतीमध्ये वाढ करायची का घट करायची हे बळ (Force) लावणाऱ्याच्या हेतूवर अवलंबून असलं तरीही न्यूटनचा दुसरा गतिनियम (Newton’s Second Law of Motion) असं सांगतो की एका विशिष्ट वस्तूच्या संदर्भात विचार करताना (Frame of Reference) संवेगात (पर्यायाने वेगात) बदल होण्याचा दर लावलेल्या बळाच्या प्रमाणावर अवलंबून असतो आणि संवेगातला (म्हणजेच वेगातला) हा बदल लावलेल्या बळाच्या दिशेतच होतो. (आकृती १)

उदाहरणार्थ दोन रेड्यांची झुंज लावली तर दोघेही एकमेकांना ढकलू पाहतात. जो रेडा अधिक वस्तुमानाचा व वेगाचा तो दुसऱ्याला ढकलू पाहणार. समजा रेडा अ आणि रेडा ब. रेडा अ हा पळत येणाऱ्या ब ला समोरून भिडला तर? यात तीन शक्यता आहेत – 

१. रेडा अ हा ब च्या पेक्षा कमी संवेगाचा/जोराचा असेल तरी तो ब ला विरोध करून त्याची गती कमी करणार

२. रेडा अ हा इतकाच संवेगाचा असेल तर अ हा बला पुढे जाऊ देणार नाही व ब हा अ ला पुढे जाऊ देणार नाही. म्हणजे पुन्हा रेडा अ च्या बाजुने विचार केला (Frame of Reference) तर त्याने ब ची गती कमी केली व ब च्या संवेगात बदल केला.

३. रेडा अ हा ब पेक्षा अधिक संवेगाचा/जोराचा असेल तर तो ब ची गती तर कमी करेलच पण ब ला त्याच्या गतीच्या दिशेन पुढे घेऊन जाईल.

वेताळा रेड्यांचे उदाहरण मी फक्त संवेग डोळ्यासमोर यावा म्हणून दिले. निर्जीव वस्तूंनाही संवेग असतोच असतो. पदार्थविज्ञान हे वस्तूची सजीवता (Life) लक्षात घेत नाही. ते एक जडवादी शास्त्र (Material Science) आहे. असो.     

पण मग स्वत:वर बळाचा वापर होत असताना ती वस्तू थोडीच गप्प राहणार? ज्या वस्तूवर बळ लावले जाते ती वस्तू ह्या बळजबरीचा तितक्याच ताकदीने आणि विरुद्ध दिशेनं प्रतिकार करते हा झाला न्युटनचा तिसरा गतीनियम (Newton’s Third Law of Motion). म्हणजे काय तर जसा रेडा अ चा विचार केलास तसा रेडा ब चा विचार करायचा.”  

“अरे नियमावर नियम सांगतोयस, रेड्यांच्या गोष्टी सांगतोस पण यात गतीमधला बदल कुठे आला ते सांग.”

“अरे वेताळा, दोन बळे जेव्हा एकमेकांना भिडतात, तेव्हा ती त्यांच्या पूर्ण संवेगानिशी/ताकदीनिशी (वस्तुमान X वेग) भिडतात व आपल्या दिशेने गतीबदल घडवतात. तू म्हणतोस त्या गोळ्याकडे जाण्याआधी मी अजून एक उदाहरण देतो ते म्हणजे रथाच्या सारथ्याचं. (आकृती २)

१. जेव्हा तो रथ थांबलेला असतो तेव्हा गती शून्य, म्हणजे संवेग शून्य. 

२. जेव्हा तो घोड्याला आज्ञा देतो तेव्हा घोडा जोरात पुढे ओढतो रथाला. शून्य गतीमधून रथ वेगवान होतो, तेव्हा त्याला संवेगही प्राप्त होतो. इथे आला तो वेगबदल किंवा वाढणारे त्वरण (Acceleration) जे रथालाही प्राप्त होते. घोड्याच्या पळण्याच्या दिशेने ते कार्य करू लागते. रथाचा संवेग आणि घोड्याचे बळ(force) एकाच दिशेने जाऊ लागतात. घोड्यामुळे रथाचा वेग वाढतो. घोड्याचा व रथाचा वेग एक होईपर्यंत हे होत राहतो. सारथ्याला मात्र त्याच्या जडत्वामुळे मागे खेचल्यासारखे होते. 

३. पण आता असे समजूया की त्या सारथ्याने घोड्याला थांबायची आज्ञा दिली. घोड्याला हे कळल्याने तो काही अंतर जाऊन थांबला. पण रथ हा निर्जीव असल्याने त्याचे जडत्व(inertia) त्याला पुढे ढकलत होते पण घोड्याचे बळ मात्र आता तितक्या वेगाने पुढे ओढत नव्हते. म्हणजे मंदन (Deceleration) किंवा गती कमी कमी होत गेली. यात असे लक्षात येते की लगाम खेचल्याने घोड्याचा वेग कमी झाला, परिणामी रथाला ओढणारे बळ कमी झाले, त्यामुळे रथाचा वेग कमी होत गेला, सारथ्याला जडत्वामुळे पुढे ढकलले गेल्यासारखे होते. पण हळुहळु घोडा आणि रथ एकाच वेगात पुन्हा येतात. रथ मात्र आहे त्याच दिशेत चालत राहतो.

याठिकाणी हे लक्षात घ्यायला पाहिजे की वेगात वाढ होताना वेग आणि त्वरण एकाच दिशेत असतात. पण वेग कमी होत असतो, तेव्हा वेग आणि मंदन विरुद्ध दिशेत असतात.”

“राजा काय रे हे? इतके रेडे, घोडे, रथ, नियम सांगितलेस पण या वेगबदलांच्या घटत्या –वाढत्या भुतांना मोजणं मात्र तुमच्याच्यानं शक्य झालेलं दिसत नाहीये. आणि हो माझा अजून एक प्रश्न आहेच की हा रथ वळणे घेत गेला की तुझी वेग व त्वरण भुते कुठे जातात? कुठल्या दिशांना तोंडे फिरवतात? मी मात्र आता माझी दिशा फिरवतो आणि पुन्हा माझ्या झाडाकडे जातो..पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

वाऱ्याच्या झुळुकेबरोबरच हा आवाज फिरत गेला

• वेगात वाढ होताना वेग आणि त्वरण एकाच दिशेत असतात. 
• पण वेग कमी होत असतो, तेव्हा वेग आणि मंदन विरुद्ध दिशेत असतात.

  (क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

वेग आणि विस्थापन – एकाच नाण्याच्या दोन बाजू (Relation between Velocity and Displacement)

राजा विक्रम जसा वेताळाच्या भेटीसाठी निघत असे तस तस त्याला त्याचं विकट हास्य आठवून थरकाप होई पण त्यापेक्षा जास्त त्याचे प्रश्न ऐकून तो विचारात पडे. त्याप्रश्नांचा विचार करता करता वेताळाचं थरकाप उडवणारं रूप विसरायला होई. कधी कधी हा वेताळच आहे का पूर्व जन्मी शास्त्रज्ञ असलेल्या माणसाचं भूत आहे असेही विचार चमकून जात. 

“राजा फार विचार करतोस माझ्या पूर्वजन्माचा. तेवढा विचार माझ्या या प्रश्नाचा कर. एक माणूस एका दगडाला लाथ मारतो. दगडाला स्वत:ची बुद्धी नाही. तो पडून होता. लाथ मारली तेव्हा तो फरफटत गेला. मग या साध्या गोष्टीत तुम्ही विस्थापन (displacement), वेग (velocity), बल (force) वगैरे भुतं का काढली? आणि त्यांना ओळखून काय मिळतं? ज्या वेगाबद्दल तू बोलतोस तो काय एकच असतो? ते भूतही दरक्षणाला वेगवेगळा आकार धारण करतं”

“वेताळा मान्य आहे, या साध्या गोष्टी आहेत, पण माणसांमधल्याच काही विचारी शास्त्रज्ञांनी यांना दिव्य दृष्टीनं पाहिलं आणि त्याहीपेक्षा वेगवेगळ्या कल्पनेच्या करामती करून त्यांना मोजण्याच्या व त्यांना समजून घेण्याच्या युक्त्या काढल्या. तू म्हणतोस ते बरोबर आहे. वेगाचं मोजमाप ही एक मजेशीरच गोष्ट आहे. प्रत्येक क्षणाला तो गोळा किती अंतर जातो हे कसं बघणार तेवढी दृष्टी कोणाला आहे? त्या गोळ्यावर बसून त्याचा वेग कोण मोजणार? पण जिथे जिथे माणूस जाऊ नाही तिथे तिथे माणसाची बुद्धी मात्र गेली. म्हणून काय केलं की एकूण अंतर मोजलं (s) व प्रवासासाठी लागलेला एकूण काळ (t) मोजला. अंतराला काळाने भागलं तर मिळाली चाल (speed). अदीश (scalar) तर मिळाली.”

“अरे कळलं रे..किती वेळा तेच ते सांगशील? मुद्द्याचं बोल..हे सदीश (vector) भूत आणि ही मोजमापं कशी केली?”

“ तेच सांगतोय..हा वेग बदल मोजायला लिबनिझ नावाच्या अंतर्ज्ञानी शास्त्रज्ञाने एक कल-विकल (Derivative-Integration) पद्धत शोधून काढली.”

“कल (derivative) पद्धत म्हणजे?”

“अरे वेताळा चंद्राचं तू पाहतोस. अमावस्येला काहीच नसतो, पौर्णिमेला पूर्ण असतो. मधले दिवस कलाकलांनी वाढत जातो. अमावस्या आणि पौर्णिमा या केवळ काळ पुढे सरकत असल्यामुळे आपणाला दिसणाऱ्या गोष्टी. पण चंद्र तोच असतो. हेच उदाहरण आपण आपल्या बाबतीत बोलायचं झाल्यास वस्तू जागची हलू लागली की तिला काळामुळे (time) व तिच्या हालचालीमुळे विस्थापन येउन चिकटते. वर आपण जशी चंद्रकला बघितली तशी काही शास्त्रज्ञांनी एका आयताची (rectangle) कल्पना केली, केवळ मोजण्याच्या सोयीसाठी. त्या आयताच्या बाजू म्हणजे काळ (t) आणि वेग (v). याला कारण म्हणजे अंतर = चाल / काळ हे आपल्याला पक्कं माहित आहे. शिवाय आयताचे क्षेत्रफळ (Area of rectangle) = लांबी (length) x रुंदी (breadth) हे ही सिद्ध झालेलं आहे. मग या दोन गोष्टींची सांगड घातली तर काय मिळतं?” (आकृती १)

“अच्छा म्हणजे आयताची लांबी(l) म्हणजे काळ(t), रुंदी(b) म्हणजे वेग (v). वेगाला काळाने गुणले म्हणजे आले विस्थापन (s). म्हणजे विस्थापन  हे त्या आयताचे क्षेत्रफळ (area of rectangle).

वेग (आयताची लांबी) x वेळ(आयताची रुंदी) = विस्थापन(आयताचे क्षेत्रफळ)

राजा मला आयतंच उल्लूक बनवतोयस. यातून काय सिद्ध झालं?”

“अरे वेताळा, असं बंघ. वस्तू जागची हाललीच नाही तर विस्थापन नाही(s=0), म्हणजे वेग (v=0). त्या वस्तूला जोरात ढकललं तर लवलेल्या बळाचा परिणाम म्हणून ती वस्तू पुढे पुढे जात राहील. आता तिच्या प्रवासाचं वर्णन दोन प्रकारांनी करता येईल.

तिच्यावर बलप्रयोग(F) केल्यानं तिला वेग(v) प्राप्त झाला व म्हणून ती  मोजमापासाठी ठरवलेल्या काळात (t) बळाच्या दिशेने काही अंतर(s) गेली. याचं मोजमाप करण्यासाठी सुरुवातीला सरासरी वेग (average velocity) काढू. 

सरासरी वेग(V) =  कापलेले अंतर(s) / लागलेला काळ (t). यावरून एक कल्पित आयत काढू. या कल्पित आयताच्या बाजू काळ आणि वेग. समजण्याच्या सोयीसाठी ती वस्तू एकसमान वेगाने (constant velocity) जात आहे असे समजू. आता याच आयताचे अनेक लहान लहान एकसमान उभे तुकडे करूया. आता त्या लहान तुकड्यांसाची रुंदीची बाजू म्हणजे काळाचा भाग एक सेकंद समजूया. म्हणजे दरक्षणाला हा आयत कापला तर प्रत्येक क्षणाचा वेग हा एकसमान म्हणजे V इतकाच आहे. याचाच अर्थ विस्थापन आणि वेग यांच्यात काहीतरी प्रमाण आहे हे निश्चित.

आता बदलणाऱ्या वेगासाठी तिच्या प्रवासाचं वर्णन दुसऱ्या पद्धतीने करु. वरच्या लहान लहान आयतांच्या वरून असे समजू की दरक्षणाचा वेग (Δv) = त्याक्षणाला झालेले विस्थापन (Δs) / तो क्षण (Δt). आता मी असं ठरवलं की दरसेकंदाचा वेग पहायचा. म्हणजे t हा मी एकसमान केला तर मला हे लक्षात येतं की वेग हा विस्थापनाच्या प्रमाणात किंवा विस्थापन हे वेगाच्या प्रमाणातबदलत राहतात. यांचा एक दरसेकंदाचा माग काढू. (आकृती २)

या वरून असं लक्षात येतं की दर सेकंदाला असलेले विस्थापन आणि वेग सारखेच. म्हणजेच विस्थापनाचे दरसेकंदाचे कल (Differential) हे त्या वेळचा वेग होय. 

Dv = ds / dt

याच सारणीवरून असंही लक्षात येतंय की सर्व क्षणिक वेगांची बेरीज करत गेलं की त्या पूर्ण प्रवासात कापलेले अंतरही मिळतंय. (आकृती ३)

आयतांच्या क्षेत्रफळांच्या भाषेत  बोलायचं तर

वस्तूने केलेले एकूण विस्थापन (Total Displacement) = v1xt1+v2xt2+…+v10xt10

दर सेकंदाचा कालावधी सारखाच धरला t(t1=t2=t10) तर 

अंतर = (v1+v2+…+v10)xt

म्हणजेच वेगबदलांची (differential velocities) बेरिज केली व त्याला प्रमाण काळाने गुणले तर मिळते ते विस्थापन. या उलट अंतराचे क्षणाक्षणाला मोजमाप केले तर काय मिळते ?

वस्तूने t1 मध्ये d1, t2 मध्ये d2, t3 मध्ये d3..t10 मध्ये d10 अशी विस्थापने केली तर क्षणिक वेग काय झाले?

क्षणिकवेग d1/t1, d2/t2, d3/t3…d10/t10 असे झाले. यात t1, t2, t3..t10 हे एक सेकंद मानले तर क्षणिक वेग () हा त्या सेकंदाच्या विस्थापना इतकाच निघाला. 

म्हणजे वेगाची उत्त्पत्त्ती ही केवळ विस्थापनामुळे किंवा स्थान बदलामुळे झाली हे कळले. जर विस्थापनच झाले नसते तर d=0 झाल्याने वेग सुद्धा v=d\t या न्यायाने v=0 झाला असता. म्हणूनच विस्थापन आणि वेग यांच्यातलं परस्पर अवलंबित्व सिद्ध करण्यासाठीच कल(Differentiation) आणि विकला(Integration)चा उपयोग केला गेला.  ”

S (विस्थापन) = प्रवासाच्या पूर्ण कालावधीतील प्रत्येक सूक्ष्मकाळात असणाऱ्या तात्कालिक वेगांचे एकत्रीकरण (Integration)

सूक्ष्म काळातला V (वेग) = प्रत्येक सूक्ष्मकाळात असणाऱ्या (Differential) विस्थापनाचे कालाशी असणारे गुणोत्तर”

“अरे राजा किती रे हा शब्दपसारा. पण तू वेगातल्या बदलाबद्दल काहीच बोलला नाहीस? तुम्हाला त्याचं मोजमाप करणं अजून सुचलेले दिसत नाही. पण माझी वेळ झाली व मी निघालो..पुन्हा भेटू..तू अजूनही सुटला नाहीयेस हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

चाल आणि वेग (Speed and Velocity)

रात्रीचा, त्यातही अमावस्येच्या एका काळ्याकभिन्न रात्रीचा पहिला प्रहर सुरू होऊन सर्व श्वापदांचं काळजाचा थरकाप उडवणारं आवाजी विश्व हरणापासून सश्यापर्यंत सर्वच भित्र्या प्राण्यांना लपायला भाग पाडत होतं. परंतु आज विक्रम मात्र वेगळ्याच विश्वात होता व पाठीवर मोळा असल्यागत वेताळाला घेऊन चालला होता. वेताळालाही हे लक्षात येत होतं.

“अरे विक्रमा, वेताळ तर मी आहे. पण तुझ्या मनावर कोणीतरी दुसरंच स्वार दिसतंय. आत्ता उतरवतो बघ. एक  कोडं घालतो आणि मला लगेच त्याचं उत्तर हवंय.

समजा तुझ्या राज्यात चार मल्ल आहेत. खूप ताकदवान आहेत, पण तुला त्यातला सर्वाधिक ताकदीचा मल्ल निवडायचाय आणि तोही कुस्तीची स्पर्धा न करता. काय करशील?”

“सांगतो वेताळा. यासबंधी एक साहाय्यकारी भूत आहे, त्याचं नाव चाल. एखादे विशिष्ट अंतर कापण्यासाठी लागलेल्या वेळाच्या गुणोत्तरालाच चाल असे म्हणतात.”

चाल (Speed) = अंतर (Distance) / काळ (Time)

आता चाल ही झाली अदिश गोत्रातली. पण तिचाही एक भाऊ सदीश गोत्रात आहे. त्याचं नाव वेग.

वेग (Velocity) = विस्थापन (Displacement)/ काळ (Time)

वेताळा न्यूटन च्या नियमानुसार विस्थापन हे बाहेरून काम करणाऱ्या परिणामी बळाच्या (External Resultant Force) दिशेतच होते. जेवढे हे बळ अधिक तेवढे त्या वस्तूला मिळालेला वेग अधिक. या ठिकाणी असलेली जमिनीची सपाटी, खाच खळगे, वाहणारा वारा सर्वच वस्तूंना सारखेच अडवतील असे धरून आपण तो परिणाम नगण्य समजू. तसेच सर्वच वस्तूंवर काम करणारे गुरुत्तवाकर्षण बळ सारखेच असल्याने त्यानेही वेगात काही बदल घडणार नाही असे समजू.”

“अरे अरे थांब, थांब, हे काय बरळतोयस? तुला माझा प्रश्नच कळलेला दिसत नाही. मल्लांबद्दल बोललो मी!”

“ वेताळा मी तुझ्याच प्रश्नाच्या उत्तराकडे येत होतो. या मल्लांसाठी एक स्पर्धा ठेवायची..हातोडीने जोरात लाकडाचा ओंडका ढकलायचा. सर्व मल्लांना सारख्या मोजमापाच्या, वजनाच्या महाकाय हातोड्या द्यायच्या. एक गुळगुळीत लाकडी पृष्ठभागावर लाकडाचे गुळगुळीत केलेले, समान वजनाचे, मोजमापाचे ओंडके ठेवायचे. एक विशिष्ट अंतरावर (s) रेष मारायची. ओंडका जेव्हा ती रेष पार करेल तो वेळ मोजायचा(t). (आकृती १)

“अरे पण एवढ्या मोजमापातून कोण बलवान ते कसं कळायचं? मुद्दयाचं बोल”

“मल्ल जेव्हा जीव खाऊन हातोडीने ओंडक्यावर प्रहार करतील, तेव्हा तो ओंडका सुसाटत जाऊन ती रेष पार करेल. ज्या मल्लाने सर्वात जास्त बळ लावले त्याचा ओंडका सर्वात कमी वेळात ती रेषा ओलांडेल.

समीकरणाच्या भाषेत बोलायचं झाल्यास

बळ (Force) = वस्तुमान (Mass) x त्वरण (Acceleration)

सर्व गोळे सारख्याच वस्तुमानाचे घेतल्याने ओंडक्याला मिळालेले त्वरण हे मल्लाने लावलेल्या बळाच्या प्रमाणात बदलेल. थोडक्यात काय तर जो मल्ल सर्वात शक्तीशाली त्याचा ओडका सर्वाधिक वेगाने जाईल. किंवा ज्याचा ओंडका सर्वाधिक वेगाने जाईल, तो मल्ल सर्वात जास्त ताकदीचा.”

प्रत्येक ओंडक्याला रेष पार करण्यासाठी लागणारा वेळ (t) मोजला तर ते अंतर (s) कापण्यासाठी ओंडक्याने घेतलेला वेग खालीलप्रमाणे मोजता येईल.    

V1 = s / t1, v2 = s / t2, v3 = s / t3, v4 = s / t4

ज्या ओंडक्याचा वेग (V) सर्वात जास्त, त्याला ढकलणारा मल्ल स्पर्धेचा विजेता.”

“अरे राजा, पण एका ओंडक्याची चाल (average speed) ५ मी/सेकंद असेल आणि सरासरी वेग (average velocity) सुद्धा ५ मी/सेकंदच असेल तर मग हे सदीश (vector) आणि आदीश(scalar) हवेत कशाला?

“अरे वेताळा चाल हे कापलेले अंतर आणि लागलेला काळ यांचे गुणोत्तर(ratio) आहे. तो केवळ एक आकडा आहे. पण वेग म्हटलं की आकडा ही आला आणि दिशा सुद्धा आलीच. म्हणजे आरंभापासून शेवटापर्यंत की उलटा प्रवास केला? शिवाय जर का  सपाट पृष्ठभागाऐवजी चढ किंवा उतार असता तर हाच वेग गाठण्यासाठी खर्ची घातलेले बळही वेगवेगळे असेल. उदाहरणार्थ उतारावरून तो ओंडका ढकलण्यासाठी कमी ताकद लागेल. पण चढावर मात्र जास्त ताकद लावावी लागेल. या सर्व शक्यता केवळ दिशेमुळे विचारात घेतल्या जाऊ शकतात. शिवाय दिशेमुळे निरीक्षकाचाही यात सहभाग असून ही स्पर्धा जेथे घडतेय तेथेच कुठेतरी आपण अलगद जाऊन बसतो हे वेगळेच. केवळ दिशेच्या बाणामुळे एवढ्या गोष्टी घडतात.”

“ अरे राजा, तू फारच बाळबोध विचार करणारा दिसतोस. मी विचारलेल्या प्रश्नाचे तू  त्याबळाच्या सरासरी परिणामा बाबतीत उत्तर देतोस. आरंभ स्थानापासून अंतिम स्थाना पर्यंत जाताना वेगात कसाकसाबदल होत गेला हे तुम्हाला लक्षात येतं काय? विस्थापन आणि वेग यांच्यातला सूक्ष्म कालसापेक्ष संबंध तुला माहिती आहे का? मला त्वरित उत्तर दे. अरे पण हे काय? हा प्रहर तर संपत आला. हा मी निघालो माझ्या स्थानाकडे. तुला मी एवढ्या सहजी सोडणार नाही.. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

वेताळाच्या हसण्याच्या दिशेने झाडांची पानेही घाबरून थरारली..त्यातील एका पानावर खालील अक्षरे उमटली

• परिणामी बलाच्या दिशेतच विस्थापन होते.
• चाल हा केवळा एक आकडा किंवा परिमाण आहे. वेगात मात्र आकडा आणि दिशा दोन्ही महत्वाच्या.
• गुरुत्वबल सर्व वस्तूंवर सारखाच परिणाम गाजवते. वस्तूच्या वस्तुमानाचा आणि तिला प्राप्त झालेल्या वेगाचा कोणताही थेट संबंध नसतो. असलाच तर तो त्या वस्तूवर कार्य करणाऱ्या बाह्य बलामुळे (external force) तो निर्माण होतो. 

  (क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

विस्थापन आणि अंतर (Displacement and Distance)

फार दिवसांनी राजा विक्रम पुन्हा त्या झाडापाशी आला. वेताळ नाही असे त्याला वाटते न वाटते तोच त्याच्या पाठीवर वेताळ धपकन येऊन बसलाही. “हा, हा, हा...तुला मी गेलोय असं वाटलं काय? इतक्या लवकर नाही जाणार मी..बर आज इतका वेळ का लागला तुला? पटकन सांग नाहीतर तुझ्या तलवारीने तुझे मुंडकेच उडवितो बघ.”

राजा विक्रम वेताळाला घेउन चालू लागला व बोलू लागला” अहो वेताळ महाराज, आज माझ्या राज्यात मी एक स्पर्धा ठेवली होती. झाडाचा ओंडका कोण सर्वात लांब ढकलत नेऊ शकतो याची.” 

“अरे विक्रमा ही रे कसली स्पर्धा? असं केल्याने काय मिळतं? आणि या स्पर्धेचा विजेता कोण ठरतो?”

विक्रम म्हणाला, “ रे वेताळा, मी राजसभेसमोरच्या मैदानात ही स्पर्धा ठेवली होती. मैदानात एक खुंट ठोकला होता. त्या जवळ एक ओंडका ठेवला होता. स्पर्धकाने दोरीच्या सहाय्याने तो ओंडका जास्तीत जास्त लांब अंतरावर ओढत न्यायचा. स्पर्धकाने खुंटापासून ओंडका जिथपर्यंत ओढत नेला असेल त्या ठिकाणा पर्यंत पावलाने मोजत जायचे. यालाच माणसांमध्ये अंतर (distance) म्हणतात. हे अंतर पावले, हात, खांब यापैकी कशानेही मोजायचे. ठरलेल्या वेळेत जो सर्वाधिक अंतर कापेल तो विजेता.”

“हे तर ठिक झाले, पण राजा. पण एखादा स्पर्धक तो ओंडका उतारावरून घेऊन गेला, एखाद्याला जाताना खड्डा लागला व दुसरा एखादा चढाच्या रस्त्याने गेला तर?”

“वेताळा तुझा पुढचा जन्म बहुधा वैज्ञानिकाचाच असणार. आम्ही लोक सर्व स्पर्धकांना एकाच आखलेल्या रस्त्यावरून ओंडका घेऊन जायला सांगतो. तू म्हणतोस ती शक्यता उद्भवत नाही.”

“अरे राजा पण एखादा नेमक्या उलट्या रस्त्याने गेला तर?”

“स्पर्धेच्या नियमात एकच दिशा अभिप्रेत असते. पण त्या दोन ठिकाणांमधील अंतर मोजायला दिशा गरजेची नसते. म्हणूनच अंतर या भूताला अदिश (scalar) भूत म्हणतात. याचाच एक भाऊ सदीश (vector) गोत्रातला आहे ‘विस्थापन’ (displacement) नावाचा. त्याला मात्र दिशेने फरक पडतो. चढावर तो ओंडका ढकलत नेला तर ढकलणाऱ्याची अधिक शक्ती खर्च होते. उतारावरून तो ओंडका मात्र कमी शक्तीमध्ये गडगळत खाली नेला जाऊ शकतो. या विस्थापनाला खर्च होणाऱ्या शक्तीमुळेच विस्थापन ही सदीशगोत्री राशी बनली.”

“अरे राजा, तू अंतर म्हणलास, मग विस्थापन म्हणलास आता शक्तीची गोष्ट करतोस? विस्थापनाचा आणि शक्तीचा काय संबंध?”

“हीच तर मानवी डोक्याची कमाल आहे वेताळा. मानवाला नसल्या ठिकाणी काही अदृश्य गोष्टी दिसतात. वेगसंस्काराची (Mechanical Force) व्याख्या करताना अमरकोश ग्रंथाच्या रामाश्रमी टिकेमध्ये लिहिलंय -

वेजनं इति वेग: |

अर्थात वेग म्हणजे ‘वेजन’. वेजन म्हणजे हालचाल ज्यामुळे निर्माण होते ते.

ओविजिभ्ययचलनयो: वेजयति चालयति इति वेगो इति |

अर्थात हालचाल, चलन ज्या गोष्टीमुळे निर्माण होते ते कारण म्हणजे ‘वेग’.

भारतातले प्राचीन आचार्य ऋषी कणाद यांनी आपल्या वैशेषिक दर्शन या ग्रंथामध्ये बलामुळे होणारे पदार्थाचे विस्थापन इत्यादि अनेक अंगांना स्पर्श केला होता. ही साधरण इसवीसन पूर्व ६व्या शतकातील गोष्ट आहे. त्यावर भाष्य करून त्यातील संकल्पना सोप्या करुन दाखवताना आचार्य प्रशस्तपाद यांनी ‘प्रशस्तपाद भाष्य’ या ग्रंथामध्ये बलाचे पुढील तीन प्रकार सांगितले:

संस्कारस्त्रिविध उक्त: वेगो-भावना-स्थितीस्थापकश्चेति‌|

अर्थ हा की संस्कार किंवा बल (Force) हे तीन प्रकारचे असते: वेग संस्कार (Mechanical Force), भावनिक संस्कार (Emotional Force) आणि स्थितीस्थापक संस्कार (Elastic Force).  (Source: Physics in Ancient India) हे ते तीन प्रकार. त्यातही वेग संस्काराची (Mechanical Force) व्याख्या आचार्य प्रशस्तपाद खालीलप्रमाणे करतात:

वेगो मूर्तिमत्सु पंचसु द्रव्येषु निमित्तविशेषापेक्षात् कर्मणो जायते|

अर्थ हा की पृथ्वी/स्थायू(Solid), आप/द्रव (Liquid), तेज(Energy), वायू (Gaseous) आणि मन(Mind) या  पाचही द्रव्यांपासून बनलेल्या पदार्थांध्ये केवळ वेगसंस्कारामुळेच(Mechanical Force) मुळेच कर्म(Motion) निर्माण होते.  कणाद ‘कार्यविरोधीकर्म’ नावाच्या वैशेषिक सूत्र १-१-१४ मध्ये वेगसंस्काराविषयी म्हणतात

अत्र – वेग: निमित्त-विशेषात् कर्मणो जायते|

Translation: Vega means the force. Karma means motion. Force is specific cause for motion or force generates motion, i.e. a change in motion occurs till the force is active. (Kanada's Science of Physics - N. G. Dongre, S.G. Nene)
Newton's 1st law of motion: The change of motion is due to impressed force.(Principia)

अर्थात एखादी विशिष्ठ हालचाल ही वेगसंस्कारा (Mechanical Force) मुळेच होते.

वेग: अपेक्षात् कर्मणो जायते नियत दिक्-क्रिया-प्रबन्ध हेतु:|

Translation: Force is proportional to the motion (momentum) produced and acts in the same direction.(Kanada's Science of Physics - N. G. Dongre, S.G. Nene)
Newton's 2nd law of motion: The change of motion is proportional to the motive force impressed and is made in the direction of the right line in which the force is imposed. (Principia)

झालेली हालचाल(कर्म) ही वेगसंस्काराच्या (Mechanical Force) प्रमाणातच होते आणि ती हालचाल वेग संस्काराच्या दिशेतच होते.

वेग: संयोगविशेषविरोधी, क्वचित्कारणगुणपूर्वक्रमेणोत्पद्यते|

Translation: Force counteracts material conjunction and sometimes one (vega or force) produces the other in tandem. (Kanada's Science of Physics - N. G. Dongre, S.G. Nene)
Newton's 3rd law of motion: To every action(samyoga) there is always an equal and opposite reaction(virodhi), or the mutual action of the two bodies upon each other are always equal and directed to counterparts. (Principia)

कार्य (Reaction) हे कर्म(Motion) ज्या दिशेत होते त्याच्या विरुद्ध दिशेत कार्य करत असते.

साधरण याच आशयाची सूत्रे न्यूटनने Principia या ग्रंथात गतिनियमांच्या (Laws of motion) स्वरूपात नोंदविली. विविध काळांमध्ये, विविध देशांमध्ये असणाऱ्या शास्रज्ञांमध्ये कशी विचार समानता असते हे पहाण्यासारखे असते.

आधुनिक काळात शास्त्रज्ञांनी बल आणि हालचाल यांच्यातील संबंध शोधण्यासाठी मग त्यांना जोडणारी विस्थापन-वेग-त्वरण-संवेग ही साखळी शोधून काढली. विस्थापन s इतके झाले तर दरक्षणाला त्याचे माप घेतले (ds/dt) तर वेग (v) हाती लागतो. वेगाचे मोजमाप दर क्षणाला घेतले (dv/dt) तर त्वरण (a)  हाती लागते. प्रतिक्षणाला असलेल्या त्वरणाला वस्तूच्या वस्तुमानाने गुणले तर हाती येते ते त्या क्षणाला वस्तूवर काम करणारे बळ (f). थोडक्यात प्रत्येक विस्थापनाला हा बळ नावाचा एक वेताळ वा असे अनेक वेताळ कारणीभूत असतात.”

“अरे विक्रमा, हे तर मलाही कळते की माझ्यासारखाच कोणी वेताळ त्या ठिकाणी काम करत असणार. हे ओंडके ओढण्याचे काम तुम्हासारख्या य:कश्चित माणसाचे असूच शकत नाही. तुम्ही असली नाही ती कामे करण्यातच व मोजमापे करण्यातच वेळ घालवणार. पण तुला माहित आहे का की आपणा सर्वांनाच ओढणारा एक महावेताळ पृथ्वीच्या पोटात दडलाय जो पृथ्वीवरच्या सर्वच वस्तूंना ओढून घेतो. तुला हे माहितच नाही? अरेरे कीव येते मला तुझी, तुझ्या बुद्धीची..तु पुन्हा अपयशी ठरलास आणि हा मी चाललो..तुझी इतक्यात सुटका नाही..हाऽहाऽहाऽ“

• अंतराला दिशेची गरज नाही, परंतु विस्थापनाला असते. अंतर अदिश, विस्थापन सदीश

• विस्थापन हे एकूण कार्यकारी बळाच्या दिशेतच होते

• अंतर = शेवटले ठिकाण – मूळ ठिकाण

©अनिकेत कवठेकर.
x

भूर्जपत्रावर खालील नोंदी होत्या:

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

जगातल्या जवळजवळ सर्वच संस्कृतींमध्ये कपोल कल्पित कथांची रेलचेल आहे. त्यांच्यात भुताखेताच्या, झाडावरील भुता-खेताच्या, हडळींच्या, हैवानांच्या गोष्टी तर असतातच. अशीच काही भुते आपल्या आजुबाजूला कायम वावरत असतात. 

माणूस बसला असला किंवा फिरत असला, जमिनीवर, पाण्यात, हवेत असला, झोपला असला किंवा उतारवरून गडगळत खाली जात असला तरीही त्याला ही पदार्थविज्ञानातली भुते पछाडल्याशिवाय राहत नाहीत. गोष्टीतल्या राक्षसाच्या रक्तातून दुसरा राक्षस निर्माण व्हावा तसे वस्तूने जागा बदलली तर त्यातून विस्थापन (Displacement) हे भूत, विस्थापनातून वेग (Velocity), वेगातून त्वरण (Acceleration), त्वरणातून संवेग (Momentum) आणि त्या संवेगापासून ढकलणाऱ्या बलाचा (Force) शोध लागत जातो. किंबहुना वस्तूचे विस्थापन ज्या दिशेत होते त्या दिशेच्या मागावरच ही भुते टपून बसलेली असतात व सतत वाकुल्या दाखवतात. 

यांचेच काही शापित बांधव आहेत. ते अहिल्येच्या शिळेप्रमाणे एकाच जागी असतात, दिशाविरहित असतात. वस्तुमान (Weight), अंतर (Distance) व चाल (Speed) ही ती शापित भावंडे.

विचार करणाऱ्या शास्त्रज्ञांमुळेच या भुतांचे मोजमाप करण्याची सिद्धी आपल्याला प्राप्त झाली. ऋषी कणाद(कश्यप) यांनी आपल्या वैशेषिक दर्शन (Vaisheshika) या आद्यग्रंथात पदार्थविज्ञानाची मुहूर्तमेढ रोवली. प्रशस्तपादांनी (२रे शतक) त्याचा अर्थ समाजावा म्हणून पदार्थ धर्म संग्रह हा ग्रंथ लिहिला. 

• प्रशस्तपाद ऋषी – भारताचे विज्ञानेश्वर आणि त्यांचा पदार्थधर्मसंग्रह – भारताची पदार्थविज्ञानेश्वरी (Prashastpad Rishi- 2nd century thought leader of Indian Scientific Tradition of Vaisheshika)
• प्रकरण १: पदार्थधर्मसंग्रह: ग्रंथारंभ व उद्देश (Padarthdharmsangraha: Salutation and reasons for studying physics)
• वैशेषिक विज्ञानाचा अभ्यास आता काय कामाचा? (Relevance of Vaisheshik physics in the modern times)
• प्रकरण २: पदार्थधर्मसंग्रह: पदार्थाची सहा अंगे (Padarthsharmsangraha : Six facets of any entity according to Vaisheshika)
• पदार्थाचा विविध अंगांनी अभ्यास कसा करायचा? (How to analyse any entity using Vaisheshika’s six-pronged approach)
• प्रकरण ३ : पदार्थाच्या सहा अंगांमधील सारखेपणा व वेगळेपणा (Similarities and differences between six facets of entities)
• पदार्थांमध्ये चालणाऱ्या स्थिर–चर, दृष्य-अदृष्य अशा ९ द्रव्यांच्या खेळाची मजा पाहणे (How to enjoy the intermingling of nine Vaisheshika substances in the context of a Padarth)
• पदार्थाच्या सहा अंगांच्या अभ्यासाची सुरुवात कशी करायची? (Getting started with the study of the six facets of Padartha)
• पदार्थात होणाऱ्या भौतिक बदलांचा अभ्यास (Appreciating the physical changes in substances)
• पदार्थाच्या दृष्य किंवा भौतिक अंगाची पारख कशी करायची? (Understanding the apparent or material facets of Padartha)
• पदार्थात तेज द्रव्यामुळे होणारे भौतिक बदल व उष्णताक्षयमान (Changes in state due to heat, entropy and second law of thermodynamics)
• पदार्थाच्या अंतरंगाचा म्हणजे वर्गीकरण, विशेष व समवाय या अंगांचा परिचय (Getting to the real nature of Padarth by studying its classification, individualities and concommittant relations)
• सर्व द्रव्यांमधला समान धागा कोणता? (What is the similarity between all the nine substances)
• द्रव्यांचे जवळ येणे व दूर जाणे (Substances and their movements)
• दिक् व काल: विश्वव्यापी व विश्वगामी हेरांची जोडगोळी (Space and Time: The Omnipresent duet of ‘Selfless’ Observers)
• द्रव्यांचे जागा बदलणे हे काळाचे फलित कसे? (How come displacement of substance becomes a function of time?)
• द्रव्यांमधील उष्णतेचे वहन (Conduction of Heat in Substances)
• पदार्थाचे ‘भूत/मूर्त’ अस्तित्त्व व मानवी क्षमता (Using the Five Senses to appreciate the material existence of Substances)
• गुरुत्व, पृथ्वीचे गुरुत्वाकर्षण बल आणि न्यूटनचे सफरचंद (Gravitation, Gravitational force of Earth and Newton’s Apple)
• वायुची स्थायूवरील कुरघोडी उदाहरण चेंडूचे ‘स्विंग’ होणे (How the collision between the cricket ball and air leads to the swing of the ball)
• स्थायू पदार्थांचे उडणे व पुन्हा खाली पडणे (Falling of solids)
• जोडलेल्या स्थायूंमधील ओढाताण | उदाहरण लंबकाचे टिक-टॉक (Force balance in attached solids | Example: Oscillations of a pendulum)
• दोन स्थायूंची टक्कर..और ये लगा सिक्सरऽऽ (Projectile Motion)
• सारांश: पदार्थाच्या सहा अंगांमधील साम्य व भेद स्थळे (Summary Table : Comparative analysis of the six facets of Padarthas)
• सारांश: पदार्थाच्या नवद्रव्यांमधील साम्य व भेद स्थळे (Summary table: Similarities and differences between the characteristics of 9 constituent substances)
• प्रकरण ४ : द्रव्यपदार्थनिरुपण – आरंभ (Chapter 4: Discussion of Individual Substances)
• प्रकरण ४ भाग १: पृथ्वी (Discussion on characteristics, properties and classification of solids)
• मी पृ्थ्वी किंवा स्थायुद्रव्य
• प्रकरण ४ भाग २: आप (Discussion on characteristics, properties and classification of liquids)

त्यानंतर दशपदार्थशास्त्र(इ.स. ६४८), व्योमशिव यांचे व्योमवती (८वे शतक), श्रीधर यांचे न्यायकंदली, उदयन यांचे किरणावली अशी अन्य भाष्येही याच परंपरेतील. शिवाय आर्यभट्ट, वराहमिहिर इत्यादि गणितज्ञ व खगोलविदांनी त्यानंतरच्या काळातही महत्वाची भर घातली.

गलिलिओ, प्लेटो, लिबनिझ या पाश्चात्य शास्त्रज्ञांनी आर्वाचीन काळात हा विचार रुढीवाद्यांच्या विरोधाला पत्करूनही पुढे नेला. त्यांच्यामुळेच या भुतांचा वापर आपण फायद्यासाठी करून घेतला.

या ठिकाणी भूत हा शब्द अंधश्रद्धा म्हणून न वापरता अज्ञातांचा उल्लेख करण्यासाठी वापरला आहे. या भुतांविषयीची माहिती अधिक मनोरंजक पणे मांडून ते विचार अधिक आत्मसात करण्यासाठी कथारूपात लिहिण्याचा हा एक प्रयत्न.

विक्रम वेताळाच्या कथांइतका चांगला साचा अजून कुठला मिळायला. म्हणूनच या कथांचं नाव विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात. भारतीय तत्वज्ञानात व इतर ज्ञानशाखांमध्ये प्रश्नोत्तर पद्धत अगदी श्रीमद्भगवद्गीते पासून चालत आली आहे. ग्रंथराज दासबोधामध्ये ती आहे. लिहिता हात सद्गुरुंचाच. प्रेरणा त्यांचीच. त्याबरोबरच अच्युत गोडबोले या अवलियाला ही सलाम. त्यांच्या पुस्तकांच्या वाचनातूनही प्रेरणामिळाली. विक्रम वेताळाच्या बालसाहित्यामध्ये पदार्थविज्ञान घुसवणे तसे अघोरीच आहे. पण हा धोका पत्करूनही जर पदार्थविज्ञान समजावण्यात सुलभता व रंजकता आणू शकलो तर ती मातृभाषेची व या प्रश्नोत्तर पद्धतीची ताकद समजावी. न झाल्यास लेखकाची मर्यादा समजावी.

ही माहिती मी तंत्रज्ञान्यांसाठी लिहित नसून नवीन शिकू पाहणाऱ्यांसाठी लिहित आहे. Physics, Applied Physics, Mechanics हे विषय शिकताना त्यांमधली सौंदर्यस्थळे निसटून गेली कारण तेव्हा 'Marks'वादी विचारसरणीनेच अभ्यास झाला. आता हे विषय 'भोगणाऱ्या'(कर्मभोग या अर्थी) विद्यार्थ्यांना थोडा दिलासा देण्याच्या व त्यांचे कुतुहल थोडे अधिक जागे करण्याचा हा प्रयत्न.

मी या विषयात स्वत:ला तज्ञ मानत नाही. माझे अभियांत्रिकी पर्यंतचे शिक्षण, काही पुस्तकांचे वाचन व विकीपिडिया यांचा आधार मी घेतला आहे. तात्विक/तांत्रिक त्रुटी आढळल्यास सूचित कराव्यात. त्या सुधारून घेण्यात येतील. 

कथांची यादी:

• विस्थापन आणि अंतर (Displacement and Distance)
• वस्तुमान व वजन (Mass and Weight)
• चाल आणि वेग (Speed and Velocity)
• वेग आणि विस्थापन – एकाच नाण्याच्या दोन बाजू (Relation between Velocity and Displacement)
• वेगातला बदल – वाढता (त्वरण) वा घटता (मंदन) (Acceleration and Deceleration)
• वेगबदल आणि वेग – काळ आलेखाचे चढ-उतार (Measurement of Acceleration)
• गतिविषयक समीकरणे: विस्थापन, वेग, त्वरण यांना सांधणारे दुवे (Kinematic Equations)
• विखंडन पद्धत: बदल मोजण्याची गुरुकिल्ली (Differentiation or derivatives: A tool to measure the rate of change)
• वेग = विस्थापनाच्या रेषीय समीकरणाची चढण (velocity = slope of the linear equation of displacement)
• ब्रह्मगुप्ताची वर्गसमीकरणाची उकल आणि गतीचे दुसरे समीकरण (Brahmagupt’s solution for the quadratic equation and the second kinematic equation)
• क्षणिक बदलांची गोळाबेरीज व संख्यामालिका : अंदाजातील अचूकतेकडे मारलेली हनुमानउडी (Integration and number series : Quantum leap towards exactness in approximations)
• विकलांची गोळाबेरीज: हे n व त्यांची पिल्लावळ कुठून पैदा झाली? (Importance of ‘n’ in integration)
• संवेग (जोर) आणि संवेग अक्षय्यता (Law of conservation of momentum)
• धक्का (संवेगातील बदल) आणि बळ (Impulse and Force )
• निरीक्षकाची स्थिती – गती चौकट आणि सहनिर्देशक पद्धती (Frame of reference and coordinate system)
• दिलेली शक्ती = वाढलेली गतीज ऊर्जा = बळाने केलेले काम (Transmission of power = Increase in Kinetic Energy = Mechanical Work done)
• वळणे घेणे, वर्तुळ मार्गावर फिरणे = खेचणाऱ्या बलाचा योग्य उपयोग करणे (circular motion and centripetal force)
• प्रदक्षिणा घालणे – स्वत:भोवती आणि दुसऱ्या भोवती (Rotational and Circular Displacement )
• चक्री सहनिर्देशकांचा उपयोग करून चक्रव्यूह रचणे (Use of Polar Coordinates to measure Circular displacement)

©अनिकेत कवठेकर.

• डोंगरे सर तुम्हाला भेटायचं होतं! (Tribute to Dr. N. G. Dongare, who unearthed the roots of Physics in ancient Indian texts )
• या लेखमालेच्या हेतुविषयी व लेखकाविषयी माहिती: स्वत: विषयी थोडेसे...ब्लॉगविषयी बरेचसे
• संदर्भ सूची (Bibliography)
• विषय सूची (Topic Index)
• माझा दुसरा  ब्लॉग येथे पहा: सन्या व बबन्याच्या टेक्निकल गप्पा