निरीक्षकाची स्थिती – गती चौकट आणि सहनिर्देशक पद्धती (Frame of reference and coordinate system)

राजा विक्रम आजही चिंतित होता. वेताळाला एवढी उत्तरे देऊन, एवढे तर्क लढवून तो शेवटी असा काही प्रश्न विचारतो आणि निसटतो. हे जसजसं खोल गहन होत होतं तसं ते अधिक गूढरम्यही वाटत होतं. खरोखरीच रोजच्या जगण्यातल्या किती गोष्टींना ही भुतं लपेटून असतात, किती ठिकाणी केवळ तर्क आणि निरीक्षण नसल्याने अंदाज बांधणं अवघड जातं, पण वस्तुनिष्ठ पणे सोप्यासोप्या गोष्टींच्या उकलीतून मग अधिक गहन गुंत्याकडे कसं जाता येतं याचा वस्तुपाठच जणू तो गिरवत होता. वेताळ हा एखाद्या पिशाच्चापणे आक्रस्ताळा न होता हुशार शिक्षकाप्रमाणे विचार करायलाही लावत होता आणि फिरकीही घेत होता. विस्थापन, वस्तुमान, वेग या वरकरणी सोप्या वाटणाऱ्या भुतांच्या पिल्लावळीपासून सुरूवात करून आता तो संवेग, बळ इत्यादि गुंतागुंतीच्या वेताळांकडे घेऊन निघाला होता. 

“विक्रमा, थांब अजून पुढे जायला वेळ आहे.” वेताळच तो, विक्रमाच्या विचारांच्या लहरींना अचूक पकडत आणि नेहमीप्रमाणेच त्याच्या पाठीवर बसत तो म्हणाला, “राजा, तू आतापर्यंत मला अनेक मोजमापे सांगितलीस, अनेक सदीश(vector) राशींशी संबंधित गणितं सांगितलीस, ओढून नेण्याचा गोळा, डोंगरावरून खालपर्यंत गोळे सोडून वेग मोजणं, न्यूटनच्या नियमांमधील दिशांचे संदर्भ या सगळ्यात हा मोजणारा(observer) जो आहे तो नक्की कुठं उभा आहे? तो मोजणारा जर त्या मोजमापाच्या वेळी स्थिर नसला तर तुमचे संदर्भ, गणितं, मोजमापं तीच राहतील का?”

“वेताळा रुढार्थानं याच उत्तर देणे सोपं आहे, की होय निरीक्षकाच्या स्थिती (position), गती (velocity) वर या वस्तूंच्या विस्थापन(displacement), वेग, त्वरण(acceleration)-मंदन(deceleration), संवेग(momentum) इत्यादि सदीशांचं(vector) सारं अवलंबून असतं कारण दिशा हीच मुळात एक निरीक्षक गृहित धरते. शिवाय तो निरीक्षक ज्या वस्तुंच्या वेगाची, विस्थापनाची मोजमापे करायची आहेत त्या वस्तूंच्या भवतालातच आहे हे सुद्धा गृहित धरते. उदाहरणार्थ एखाद्या वस्तूचं वजन(weight) मोजायचं असेल तर निरीक्षक तो वजनकाटा ज्या ठिकाणी आहे त्याच्या जवळच उभा आहे असे गृहित धरलं जातं. पृथ्वीवर वजन मोजलं जात असताना निरीक्षकही पृश्वीवरच आहे असं धरून चालावं लागतं, तो निरीक्षक स्थिर उभा आहे असं धरावं लागतं, त्या ठिकाणी पृथ्वीवरील ‘g’ ची किंमत आणि वजनकाटा जिथे आहे तिथली ‘g’ ची किंमत एकच आहे असं धरून चालावं लागतं. या सर्व गृहितकांना (assumptions) एकत्रितपणे निरीक्षकाची स्थिती-गती चौकट (Observer’s frame of reference) असे आपण म्हणतो. भौतिकशास्त्रातली मोजमापे करताना ही अदृश्य चौकट फारच महत्त्वाची आहे. ती दिसली नाही तर साऱ्याच मोजमापांचा बोजवारा उडेल.”

“आलास मूळपदावर? झाले तुझे शब्दांचे खेळ सुरू? काय तर म्हणे स्थिती गती चौकट? एखादे उदाहरण दे बरं,   उगीच शब्दांचे मनोरे बांधू नकोस.”

“बर बर. उदाहरणच देतो. विस्थापन आणि अंतर(distance) मोजायच्या वरवर सोप्या वाटणाऱ्या प्रयोगाकडे पाहू. प्रयोग तसा साधाच आहे. वस्तू एका ठिकाणी होती ती दुसऱ्या ठिकाणी नेली. म्हणजेच आरंभीचं ठिकाण आणि शेवटचं ठिकाण. पण ही दोन्ही ठिकाणं निरीक्षकापासून किती लांब होती. अंतर मोजताना कसं मोजलं? निरीक्षकापासून आरंभीचं ठिकाण आणि निरीक्षकापासून शेवटचं ठिकाण मोजलं आणि मग फरक काढला का? त्यालाच अंतर म्हटलं का? म्हणजे दोन निरीक्षक वेगवेगळ्या ठिकाणी असले तर पुन्हा मोजलेलं अंतर वेगळे येणार का? अश्या साऱ्या शक्याशक्यतांमुळे मोजमापात फेरफार होऊ नयेत म्हणून काही उपायांचा विचार चालू होता.

परंपरागत भारतीय विचारधारेनुसार ज्ञान मिळवण्याचे चार योग्य पर्याय होत: प्रत्यक्ष(perception), अनुमान(inference), उपमान(comparison and analogy) आणि शब्द (word, authoritative statements of knowledgeable person) हे ते चार मार्ग. वैशेषिक दर्शन तर या पैकी पाहिल्या दोन म्हणजे प्रत्यक्ष आणि अनुमान यांनाच संमती देते. यापैकी प्रत्यक्ष म्हणजे जाणीव किंवा ज्ञातेपणे पाहणे. हे पाहणे दोन प्रकारचे ज्ञानेंद्रियांच्या सहाय्याने रुप,रस,गंध इत्यादिंच्या आधारे इंद्रिय गोचर वस्तूची जाणीव होणे. दुसरी म्हणजे इंद्रियांना न जाणावणारी पण मनाला जाणवणाऱ्या गुणांच्या सहाय्याने अनुभव घेणे. योग्य जाणीव होण्यासाठी चार नियम घालून दिले आहेत:

• इंद्रियार्थसंनिकर्ष - ज्या वस्तूचा अभ्यास कारायचाय तिचा प्रत्यक्ष स्वत:च्या इद्रियांनी प्रत्यक्ष अनुभव घेणे.
• अव्यपदेश्य - ऐकीव माहितीवर आधारित राहू नये. स्वत:च्या अनुभवावरच विसंबावे
• अव्यभिचार – अनुभावावर आधारित निरीक्षण बदलत नाही
• व्यवसायात्मक – निश्चित आणि परिमाणित. योग्य निरीक्षणात कोणत्याही शंकाकुशंकेला जागा नसते कारण सर्व तपशील योग्य पद्धतीने नोंदवलेला असतो.

यावरून साफच दिसते की पहाणाऱ्याने स्वतंत्रबुद्धी व प्रत्यक्ष निरीक्षण यांचाच मुख्य आधार घेणे प्राचीन भारतीय वैशेषिकांना अपेक्षित होते. शिवाय वैशेषिकांनी द्रव्याचे खालील नऊ प्रकार सांगितले आहेत:

पृथिव्यापस्तेजो वायुराकाशं कालो दिगात्मा मन इति द्रव्याणि |
(वैशेषिक दर्शन १-२-५)

अर्थात पृथ्वी(solid), आप(liquid), तेज(energy), वायु(gases), आकाश(plasma), काल(time), दिक्(space), आत्मा, मन ही द्रव्ये आहेत. यापैकी पृथ्वी, आप, वायु, तेज, आकाश यांनी बनलेले पदार्थ हे विशिष्ट दिक्(space) आणि काल(time) व्यापतात. म्हणून त्यांना भूते किंवा पंचमहाभूते म्हटले आहे. म्हणून त्या पंचमहाभूतांच्या मापासाठी काल(time) आणि दिक्(space) या पहिल्या मोजपट्ट्या आल्या.”

“पण काल व दिक् याच का त्या मोजपट्ट्या?”

“याचं  कारण असं आहे वेताळा की दिक् व काल हे अनंत आहेत. शिवाय पंचभूते या दिक् व कालाशिवाय आकारालाच येऊ शकत नाहीत. असो तर हा झाला वैशेशिक विचार. आधुनिक वैज्ञानिक विचाराचीही दिशा तिच असली तरीही नंतर नंतर त्या मोजमापात अधिकाधिक स्पष्टता येऊ लागली. त्यात १७ व्या शतकातील फ्रेंच गणितज्ञ रेने देकार्त ने शोधलेल्या ‘कार्टेशियन सहनिर्देशकांची’(Cartesian coordinates) मोलाची मदत झाली.”

“गणितज्ञाने शोधलेल्या गोष्टीची भौतिकशास्त्रात मदत झाली? ती कशी काय? तुम्ही माणसं जरा विचित्रच असता तुमच्या सोयीसाठी तुम्ही कशाचाही संबंध कुठेही जोडता. हे सहनिर्देशक(coordinates) तुमच्या कामाला कशे आले?”

“तू म्हणतोस ते बरोबरच आहे. मोजमापाच्या सोयीसाठीच हा सर्व खटाटोप आहे. कुठल्याही ठिकाणाबद्दल माहिती देताना जसं आपण तिथल्या जवळच्या खुणांच्या आधारे सांगतो की राजवाड्या पासून तोफखान्या पर्यंत जा आणि मग तिथून डावीकडे वळून सरळ अश्वशाळेपर्यंत जा. त्या जवळच हे ठिकाण आहे वगैरे. तसंच या सहनिर्देशांक पद्धतीचं आहे. जसा आपल्या उदाहरणात आपण सर्वांना माहित असणाऱ्या राजवाड्या पासून सुरुवात केली तसाच या पद्धतीत ० हा आरंभबिंदू (origin) धरला. याठिकाणी उभं राहून समोरचा पूर्ण परिसर हा एक अतिविशाल, अमर्याद चौरस (Square) आहे असं गृहित धरलं आणि त्या चौरसाचा एक शिरोबिंदू (vertex) म्हणजेच ० बिंदू धरला. आता आपल्यासमोर एक अमर्यादित आकाराचा चौरस आहे. ० बिंदूपाशी या चौरसाच्या ज्या दोन बाजू आहेत त्यांपैकी उजवीकडे जाणारी ला x अक्ष (axis) म्हणूया आणि त्यातील दुसऱ्या बाजूला y अक्ष म्हणूया. आता आपल्या मोजण्याच्या सोयीसाठी या अमर्याद चौरसाचे समसमान तुकडे करूया. त्यासाठी एक अदृश्य तलवार घेऊन आधी x अक्षाला ती समांतर धरा व तशीच पुढे पुढे नेत समान अंतरावर तुकडे करा. गंमतीचा भाग म्हणजे तुमचा y अक्ष कापला जाईल व त्यावर सारख्या अंतरावरील बिंदूंची पंगत बसेल. हीच गोष्ट आता ती तलवार y अक्षाला समांतर धरून करा. X अक्ष कापला जाईल व त्यावर समानांतर बिदूंची पंगत बसेल. हे असं उलटसुलट वाटतंय थोडसं. पण त्याचाही उलगडा होईल. पण आता तुमचा कार्टेशियन निर्देशकांचा आराखडा तयार झाला. तुझ्यासारख्या आकाशात उडणाऱ्या वेताळाने तो पाहिला तर तो असा दिसेल.(आकृती १)”  

असं एकदा निश्चित झालं की मग कोणीही मोजमाप केले तरीही ते सारखंच येणार. उदाहरणार्थ एका स्पर्धकाने ओंडका आरंभबिंदूपासून ओढत नेला आणि क या ठिकाणी टाकला तर तो ओंडका किती अंतर गेला? (आकृती २)

आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे तो ओंडक्याने कापलेले अंतर कुठल्याही मार्गाने मोजले तरीही त्याचे शेवटचे सहनिर्देशक हे x = 10 , y = 9 असेच  असणार आहेत. पायथागोरसच्या सिद्धांतानुसार(Pythagoras theorem) हे अंतर म्हणजे x आणि y यांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ असते. गणिती भाषेत (अंतर)२ = (x)२ + (y)२ = (१०)२ + (९)२ = १८१.  शेवटी अंतर हे अंदाजे १३ इतके येते. 

“अरे विक्रमा पण हे सारं पुन्हा मोजमापाचंच बोलतोयस. पण हा निरीक्षक धावत असला किंवा स्थिर बसला असेल तर वेग वगैरे मोजमापांचे काय होते ते तू सांगतच नाहीयेस?”

“वेताळा, वेगाचं मोजमाप जरी नाही केलं तरीही एका वस्तूचा वेग आणि त्याच्या तुलनेत दुसऱ्या वस्तुचा वेग पाहताना निरीक्षक स्थिर आहे, किंवा त्या दोन्हींतील कोणत्याही एका वस्तूवर बसला आहे यावर त्याला जाणवणारा वेग बदलतो. असं पहा, साधं उदाहरण. मी जमिनीवर झाडाशेजारी उभा आहे. मी स्थिर म्हणून झाड ही स्थिर. तू वरून उडत जाताना तेच झाड पाहिलंस. तर तुला ते झाड जवळ येताना किंवा दूर जाताना दिसेल. निरीक्षकांच्या या स्थिती-गतींमुळेच या चौकटींचेही दोन प्रकार पडतात – स्थिर असणारी वा एकसमान वेगाने जाणारी अशी जडत्वभारित चौकट (Inertial Frame of Reference). त्याच्या उलट म्हणजे अस्थिर किंवा वेगात बदल होत राहणारी ती जडत्त्वरहित चौकट (Non-inertial Frame of Reference). जडत्वभारित चौकटीत वेगबदल नसल्याने काम करणारे एकूण परिणामी बल (Resultant Force) शून्य आहे असे आपण म्हणू शकतो. जडत्वरहित चौकटीत वेगबदल असल्याने त्यावर काही एक परिणामी बल कार्य करत असते. ”

“राजा तुला खोडच आहे शब्दच्छल करण्याची. उदाहरण दे, उदाहरण.”

“बर, बर. हे पहा समजा आमच्या राजमार्गावरून एक हत्ती शांतपणे झुलत झुलत ५.५ मी/सेकंद वेगाने महालाच्या डावीकडून उजवीकडे निघाला आहे. त्याच्याच १ किलोमीटर मागे एक घोडागाडी १६.७ मी/सेकंद वेगाने दौडत येत आहे. या घोडागाडीच्या साथीने एक स्वार तितक्याच वेगाने दौडत आहे. उलट एक हत्ती वेगाने दौडत राजमहालाच्या उजवीकडून डावीकडे १३.७ मी/सेकंद वेगाने जात आहे. (आकृती ३)”

आता यात निरीक्षक कुठे असेल त्यावर या सर्वांचा त्याला जाणवणारा वेग (relative velocity) ठरेल. उदाहरणार्थ 

निरीक्षक १ राजवाड्यावर असेल तर त्याची गती शून्य असेल, म्हणजेच तो जडत्वभारित चौकटीत (Inertial Frame of Reference) असेल. त्याला जाणवणारी सर्वांची गती वर दिलेल्या प्रमाणेच असेल. (आकृती ४)

आता निरीक्षक २ हा घोड्यावर बसला आहे असे समजू. घोडा हा ६० किमी/तास या एकसमान वेगाने (constant velocity) चालला असल्यामुळे त्याला वेगबदलाचा सामना करावा लागणार नाही. म्हणून तोही जडत्तवभारित चौकटीतच आहे. त्याचा आणि रथाचा वेग सारखाच असल्यामुळे त्याला रथाचा वेग जाणवणार नाही. त्याने हत्तीला पाहिले असता हत्तीचा वेग त्यापेक्षा कमी असल्यामुळे हत्ती स्थिर असून मागे पडत आहे असे त्याला वाटेल. राजवाडा तर एका जागी स्थिरच आहे. त्यामुळे तिथपर्यंत पहोचेपर्यंत तो जवळ येत असल्या सारखे व त्यानंतर तो वेगाने मागे जात चालल्या सारखे वाटेल. 

निरीक्षक ३ हा झुलत जाणाऱ्या हत्तीवर बसला आहे. त्याचा वेग एकसमान असल्यामुळे तोही जडत्तवभारित चौकटीतच आहे. त्याच्या उजवीकडून घोडा व रथ जात असताना त्यांचा वेग वाढत असल्यासारखे त्याला वाटेल. शिवाय त्यांचा वेग एकसमान असल्यामुळे घोडा आणि रथ एकत्रच चालल्या सारखे त्याला वाटेल. उलटीकडून येणाऱ्या गजराजाचा वेग कमी जास्त होत असला तरीही याला जाणवणाऱ्या चढ-उतारांचे मान कमी असेल. (आकृती ५)

निरीक्षक ४ मात्र समोरून येत आहे. हत्तीचा वेग कमी जास्त होत असल्यामुळे त्याची चौकट जडत्वरहित (Non-inertial or accelerated frame of reference) प्रकारची असेल. त्याला जाणवणारे वेग हे वेगळे असतील. त्याच्या त्वरण मंदनाची माहिती असल्या शिवाय त्याला जाणवणारे इतर प्राण्यांच्या वेगांचा अंदाज बांधणेही अशक्य आहे. पहिल्या ३ निरीक्षकांच्या चौकटीला न्यूटनचा पहिला गतनियम लागू पडतो. चौथ्या निरीक्षकाला मात्र नाही.

“राजा फारच मोठे पुराण सांगितलेस बुवा. पण मी म्हणतो की या परिणामी बलाची(resultant force) मात्र तू काहीच माहिती देत नाहीस. परिणामी बल ही काय नवीन भानगड आहे? किती रे घोळ घालतोस तू? मात्र माझी वेळ झाली. मी निघालो. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

विक्रमाचा खिन्न चेहरा पाहून आभाळ स्तब्ध झाले. शांत तळ्यावर चंद्रकिरण बहुधा चंदेरी नोंदी करण्यात मग्न होते.

• किनाऱ्यावर रुतून बसलेल्या किंवा एकसमान गतीने सरळ जाणाऱ्या नावेत असते ती जडत्वभारित चौकट (Inertial Frame)
• खळाळणाऱ्या, रूद्र प्रपातात हेलकावे खाणाऱ्या किंवा वादळात भेलकांडत जाणाऱ्या, गटांगळ्या खाणाऱ्या नावेत असते ती जडत्वरहित चौकट (Non-inertial frame)
• सर्वांना समान निरीक्षणे नोंदवता यावीत म्हणून x अक्ष आणि y अक्ष या सहकाऱ्यांच्या समन्वयाने चाललेली यंत्रणा म्हणजेच कार्टेशियन सहनिर्देशन पद्धती (coordinate system).

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

धक्का (संवेगातील बदल) आणि बळ (Impulse and Force )

विक्रमाच्या दिनक्रमात वा रात्रक्रमात काही बदल नव्हता. विशेषत: अमावस्येच्या रात्रींना. दर अमावस्येला वेताळाच्या प्रश्नांवरून चर्चा होई आणि दर वेळी नवे भूत समोर यावे तसे वेताळाच्या नवनव्या प्रश्नांना व सृष्टीतील न मोजता येणाऱ्या गोष्टींना मोजण्या विषयी बोलणे होई. बोलणे संपत येई तसे वेताळ नवा प्रश्न विचारे व फजिती केल्यासारखे हसून निघून जाई, पण आता खरच अशी वेळ आली होती की मोजमाप करणे तितकेसे सोपे नव्हते.

“हरलास राजा, मागील वेळी मी संवेगात होणाऱ्या बदलाविषयी विचारले होते..काय असतो हा संवेग बदल?” वेताळ नेहमीप्रमाणे योग्य वेळी विक्रमाच्या खांद्यावर आरूढ होत म्हणाला. 

“सदीश (vector) अदीश (scalar) राशींच्या संदर्भातबोलायचं झाल्यास संवेग बदल (change in momentum) हा एकाअर्थी वेगबदल (change in velocity) आहे कारण वस्तुमान (mass) अदीश आहे व दिशेने त्यात बदल होत नाही. पण वेग(velocity) आणि संवेग(momentum) यांच्यातला फरक, म्हणजे संवेगात जोर किंवा लावलेली ताकद या अर्थी त्या वस्तूच्या वस्तुमानाही अंतर्भाव असतो. वेगळ्या शब्दात संवेग म्हणजे पळणारे वस्तुमान (Mass in motion) होय. म्हणूनच वेग हा मी/सेकंद असा मोजतात आणि संवेग हा किलोग्राम मी/सेकंद असा मोजतात.”

“अरे राजा, तुझे पुन्हा शब्दाचे खेळ सुरू झाले. मला उदाहरण सांग. असं असंबद्ध बोलत राहिलास तर तुझी खैर नाही हे निश्चित समज.”

“हो हो. सांगतो सांगतो. एखाद्या गतिमान वस्तूचा विचार करता करता आपण विस्थापन(displacement), वेग(velocity), त्वरण(acceleration) आणि संवेग(momentum) इथपर्यंत मजल मारली. पण आता खरं भूत किंवा या वेगावर नियंत्रण करू पाहणारा वेताळ किंवा त्यांची टोळीच आपल्याला खुणावतेय. या वेताळाचं नाव म्हणजे बळ (force). विस्थापनाला, गतीला, गतीमधील बदलाला, संवेगाला, संवेगामधील बदलाला कारण म्हणजे हे बळच किंवा या बळांची टोळी. संवेगातील बदलाचे मोजमाप हे एका अर्थी बलाचे मोजमाप. बळामुळे संवेगात बदल होतो किंवा संवेगात बदल होतो याचाच अर्थ तेथे बळ काम करतंय. एक साधे उदाहरण घेऊ. मागच्याच आठवड्यात आमच्या राज्यात भालाफेकीच्या स्पर्धा झाल्या...”

“राजा. काय रे हे तुझं राज्य? सारख्या स्पर्धाच खेळता? युद्ध वगैरे नाही होत? का तू केवळ क्रीडांमध्येच रस घेतोस? पुढे बोल. थांबू नकोस.”

“ भालाफेकीचा खेळ काय असतो? भाला घेऊन एक शक्तिवान व वेगवान खेळाडू धावत येतो आणि एका ठिकाणापर्यंत येऊन तो भाला जोरात फेकतो. असे समजू की ६० किलो वस्तुमानाचा खेळाडू ११मी/सेकंद या वेगाने धावत आला. त्याने २ किलो वस्तुमानाचा भाला ३०मी/सेकंद या वेगाने टाकला. तर त्याने किती बळाने भाला फेकला?

असं पहा की धावपटू जेव्हा ११मी/सेकंद वेगाने पळत होता तेव्हा भालाही ११ मी/सेकंद वेगात होता. तो वेग एकदम ३०मी/सेकंद झाला. ही करामत अर्थातच त्या खेळाडूची. अनेक टप्पे घेत जसा तो शेवटच्या टप्प्यात येऊन जोराने एकदम भाला सोडतो तिथेच तो वेगबदल किंवा संवेग बदल घडवतो. याचाच अर्थ त्या काही क्षणांपुरताच तो बळ लावतो आणि भाल्याच्या वेगात बदल घडवतो. कारणाच्या बाजूने विचार केला तर संवेगातील बदल हा त्या खेळाडूचे बळ(Force) त्याने काही काळ(Time Interval) लावल्यामुळे झाला. पण याचा परिणाम म्हणून भाल्याचा संवेग वाढला. याचाच अर्थ भाल्याचे वस्तुमान (Mass) आणि भाल्याचा वाढीव वेग (Change in Velocity) यांचा गुणाकार वाढला. भाल्याचे वस्तुमान तर तेच असणार. म्हणजे परिणामी भाल्याचा वेग वाढला. 

गणिताच्या भाषेत बोलायचं झाल्यास, 

भाल्याचा नंतरचा वेग (V2) = ३० मी/सेकंद

भाल्याचा आधीचा वेग (V1) = ११ मी/सेकंद

भाल्याचे वस्तुमान (m) = २ किलो

संवेगात झालेला बदल = शेवटचा संवेग – आरंभीचा संवेग 

        = mxV2-mxV1=m(V2-V1)= 1x(30-11)=38 किलोग्राम. मी/सेकंद

हा संवेगातील बदल म्हणजेच त्या भालाफेकणाऱ्याने भाल्याला दिलेला धक्का (Impulse) होय, धक्का हा किलोग्राम मी/सेकंद असा मोजतात   

प्रत्यक्ष फेकीचा कालावधी (Δt) = १.५ सेकंद

संवेगात होणाऱ्या बदलाचा दर म्हणजेच त्या कालावधीत लावले गेलेले बळ. न्यूटनच्या गतिनियमानुसार संवेगातील बदल हा बळाच्या दिशेने होतो.

“राजा मागील काही वेळा तू वेगबदलाच्या दराला त्वरण(acceleration) किंवा मंदन (deceleration) ही म्हटला होतास..आता संवेग परिवर्तनाच्या दराला बळ म्हणतोस..मग बळ आणि त्वरण यांच्यात वस्तुमानाचाच काय तो फरक?”

“होय वेताळा. वस्तुमान व वजन यांच्यातील संबंध पाहताना आपण म्हटलं होतं की 

वजन (W) = वस्तुमान (m) x गुरुत्त्वीय त्वरण (g)

W = m x g

वजन हा याअर्थी बळाचाच प्रकार झाला. पण याठिकाणी वस्तू एका जागी स्थिर आहे. पण जेव्हा वस्तू गतिमान आहे तेव्हा त्याठिकाणी कार्यरत असणाऱ्या एकूण बाह्यबळाचा संबंध येतो. हेच समीकरण त्याठिकाणी पुढील स्वरूपात येते.

बळ (F) = वस्तुमान (m) x त्वरण किंवा मंदन (a) 

F = m x a

वेगपरिवर्तनाच्या बाबतीत बोलायचं झाल्यास, आपण वर पाहिलं तसं

F = m x (Δv/Δt)”

बळाच्या दृष्टिकोनातून याची मांडणी करायची झाल्यास,

लावलेले बळ(F)  x बल प्रयोगाचा काळ (Δt) = वस्तूचे वस्तुमान (m) x वेगात झालेला बदल(Δv)  ”

 F x 1.5 = 2 x (30-11)

F = 2x19/ 1.5 = 25.3 किलोग्राम मीटर/सेकंद२

म्हणजेच त्या खेळाडूने भाल्यावर २५.३ किलोग्राम मीटर/सेकंद एवढे बळ प्रयुक्त केले. (आकृती १)

 “अरे पण राजा, कोण स्पर्धक जिंकला हे तर सांगितलेच नाहीस. या बलाचा त्या फेकीवर काय परिणाम होतो हे तुला माहितच दिसत नाही. शिवाय त्या भाल्याला वाऱ्याचाही अडथळा झाला नाही? तुला यातलं काहीच माहित नाही दिसत. किती कीव करू रे तुझ्या अज्ञानाची. पण माझी तर वेळ झाली. हा मी चाललो वायुवेगाने..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ” 

सळसळणारी पाने जणू वाऱ्याला सांगत होती

• संवेगातील बदल म्हणजे धक्का (Impulse is the change in momentum)..सवेग परिवर्ताचा दर म्हणजे बळ (Force is the rate of change of momentum)
• वेगातील बदल म्हणजे त्वरण किंवा मंदन. 
• संवेगातील बदल हा बळाच्या दिशेतच होतो.

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

संवेग (जोर) आणि संवेग अक्षय्यता (Law of conservation of momentum)

विक्रम आज जरा खुशीतच होता. गोष्टच तशी झाली होती. त्याच्या सैन्यासाठी आज त्याने अतिशय उत्तम अशा तोफा निवडल्या होत्या. असाच तो भरभर चालत असता मध्येच कधीतरी त्याच्या पाठीवर वेताळाचं धूड धप्पकन येउन बसलं तेव्हा कुठे त्याला अमावस्येचं, वेताळाचं, रात्रीचं आणि प्रश्नोत्तरांचं भान आलं.

“ गप्प का झालास राजा? आणि तू तुझ्या सैन्यासाठी तोफा निवडल्यास हे ही मला समजलं. बर मला एक सांग राजा, या तोफांमधून तुम्ही वेगाने तोफगोळा डागता तेव्हा ती तोफही थोडी मागे येते, थोडी आगही दिसते, तर मग ती तोफ गोळ्यासारखी मागे का फरफटत येत नाही?”

“वेताळा, युद्धासाठी वापरल्या जाणाऱ्या तोफांमध्ये अजून एक अदृश्य पण अतिपरिचित भूत मदतीला धावून येतं. त्याचं नाव संवेग(momentum) किंवा एकरेषीय संवेग (linear momentum). संवेग म्हणजे कोणत्याही गतिमान वस्तूची गतीमध्ये राहण्याची प्रवृत्ती. न्यूटनच्या गतीनियमांनुसार संवेग परिवर्तन हे बलाच्या(force) दिशेतच होते म्हणूनच संवेग ही सदीशगोत्री (vector) राशी होय.”

“राजा, हा संवेग म्हणजे काहिसा जडत्वा सारखा प्रकार वाटतो. जडत्त्व(inertia) म्हणजे पण वस्तू स्वत:ची स्थिती वा गती सोडत नाही असेच आहे ना?”

“तू काहीसा बरोबर आहेस वेताळा. पण सं’वेग’ म्हणजे ‘वेग’वान वस्तूची वेगातच राहायची प्रवृत्ती होय. त्यामुळे स्थिर वस्तूला संवेग नसतो कारण वेग(velocity) नसतो. शिवाय जडत्त्वाला दिशा नसते, ती अदीश(scalar) राशी आहे. पण संवेग म्हणजे वेग आणि वस्तुमान यांचा गुणाकार असल्या कारणाने संवेग ही सदीश(vector) राशी आहे. दोन्हीमध्ये समान घटक म्हणजे दोन्हीला वस्तुमान(mass) हे कारक असते. जडत्वामध्ये केवळ वस्तुमान हे कारक असल्याने जडत्त्व अदीश होते पण संवेगात वस्तुमान आणि वेग असल्याने आणि वेग हा सदीशगोत्री असल्याने संवेगही सदीश होतो.”

“पण राजा हे संवेगाचं काही लक्षात येत नाही बघ. नक्की काय समजायचं? हे थोडं थोडं ज्याला आपण ‘जोर’ म्हणतो त्या सारखं आहे का?”

“होय वेताळा तू अचूक ताडलंस..संवेग म्हणजे लावलेला जोर. एखादा मत्त गजराज जेव्हा पूर्ण वेगाने दौडत येऊन झाडाला धडक देतो तेव्हा काय होतं? झाड लेचंपेचं असलं तर उन्मळून पडतं. जर विशाल वृक्ष असेल तर एखादी फांदी तुटते. हे कसं होतं.

संवेग(momentum) म्हणजे वेग गुणिले वस्तुमान(velocity x mass). 

गजराजाचं वस्तुमान असेल ५००० किलोग्राम. तो गजराज त्या झाडाच्या दिशेने १२ मी/सेकंद वेगाने धावत निघाला. तर त्याचा संवेग किंवा जोर झाला ५०००x१२=६०००० किग्रा.मी/सेकंद. आता त्या झाडाचं वस्तुमान आपण समजू १००० किलोग्राम. जर त्या जमिनीतून हा वृक्ष बाहेर पडायला काहीच अटकाव झाला नाही, हत्तीला पळताना जमिनीच्या तसेच हवेच्या घर्षणाचा सामना करावा लागला नाही तसेच जमीनही गुळगुळीत होती असे समजले तर ते झाड किती वेगाने जाईल? 

संवेग अक्षय्यतेचा नियम असे सांगतो की कोणतेही तिसरे बळ (हवेचे व जिमिनीचे घर्षण व अन्य) कार्यरत नसेल तर विशिष्ट दर्शकाच्या दृष्टिकोनातून(frame of reference) पाहिल्यास तेथील एकूण संवेग कायम राहतो. आपल्या बाबतीत त्या उन्मत्त गजराजाने स्थिर वृक्षाला धडक दिली व तो गजराज शांत झाला. पण स्थिर असलेले झाड मात्र गडगळत पुढे गेले.

संवेगाच्या भाषेत संवेग अक्षय्यतेचा नियम (law of conservation of momentum) आपणास सांगतो की एकूण संवेग हा कायम स्थिरच राहणार. पळत आलेला गजराज नंतर स्थिर झाला, म्हणजे गजराजाचा नंतरचा संवेग शून्य झाला. इथे हे सुद्धा लक्षात येते की जोर लावणे या शब्दात नेहमीच वेग(velocity) अभिप्रेत असतो. गजराज कितीही महाकाय असले तरीही जर ते जागचे हललेच नाहीत तर जोर शून्य. असो. तो वृक्ष आधी स्थिर होता म्हणजे संवेग शून्य होता. पण नंतर मात्र जेव्हा तो वृक्ष गडगळत गेला तेव्हा त्याला संवेग प्राप्त झाला.

थोडक्यात 

गजराजाचा आरंभीचा संवेग - वृक्षाचा नंतरचा संवेग = ०

किंवा गजराजाचा आरंभीचा संवेग = वृक्षाचा नंतरचा संवेग 

५०००(गजराजाचे वस्तुमान)x (१२)गजराजाचा वेग = (१०००)वृक्षाचे वस्तुमान x (क्ष)वृक्षाचा वेग

थोडक्यात वृक्ष हा (५०००x १२/१०००) = ६० मी प्रति सेकंद किंवा २१६ किमी प्रति तास इतक्या प्रचंड वेगाने गडगळत जाईल. वेताळा हे उदाहरण मी केवळ संवेग अक्षय्यता नियमाचे उदाहरण म्हणून सांगितले. असं प्रत्यक्षात होणं अशक्य आहे. आता तोफगोळ्यांचं सांगतो. (आकृती १)

तोफ आणि गोळा यांनाही हा संवेग अक्षय्यता नियम लागू पडतो. म्हणजेच

तोफेचा संवेग – गोळ्याचा संवेग = ०

तोफेचे वस्तुमान(mass) x तोफेचा वेग(velocity) = गोळ्याचे वस्तुमान x गोळ्याचा वेग

तोफगोळा किती लांब डागायचा हे तोफेच्या व गोळ्याच्या वस्तुमानाच्या पटीवर बरचसं अवलंबून असतं. समजा आपण एक १५०० किलोग्राम वजनाची तोफ घेतली आणि तिच्यामध्ये १० किलोचा तोफगोळा ठेवला. जेव्हा तोफेला बत्ती देण्यात आली तेव्हा तो गोळा १५०मी/सेकंद वेगाने गेला तर ती तोफ किती वेगाने मागे येईल?

१५०० (तोफेचे वस्तुमान)x- क्ष (तोफेचा मागे येण्याचा वेग) + १०(गोळ्याचे वस्तुमान)x १५०(गोळ्याचा वेग)=०

याठिकाणी तोफ ही गोळ्याच्या दिशेच्या विरुद्ध दिशेत मागे येत असल्याने ऋण चिन्ह दिले आहे.

तोफेचा मागे येण्याचा वेग (क्ष) = १०x १५०/१५०० = १मी/सेकंद  

म्हणजेच तोफेचा मागे येण्याचा वेग गोळ्याच्या वेगापेक्षा कैकपटींनी कमी असतो.”

“पण विक्रमा हा तोफगोळा जेव्हा पडतो तेव्हा काय परिणाम होतो? किती बळ(force) प्रयुक्त होतं याचा तुला काहीच पत्ता लागलेला दिसत नाही? तो परिणाम सुद्धा मोजता येतो का? शिवाय तू विशिष्ट दर्शकाचा दृष्टिकोन असंही काहिसं म्हटलास. तू खूपच शब्दांच्या फैरी उडवतोस. पण आता मला वेळ नाही. मी चाललो. पुन्हा भेटू. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

“वेताळाने उड्डाण केल्यावर विक्रम किती वेगाने मागे गेला?” तिथेच उलटे लटकलेल्या वाघुळाने दुसऱ्याला विचारले.

“संवेग अक्षय्यता नियम लाव. लगेच कळेल.” दुसऱ्याने हिंदोळे घेत शांतपणे उत्तर दिले. 

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

वेगबदल आणि 'वेग – काळ आलेखा'तील चढ-उतार (Measurement of Acceleration)

वेताळाच्या मागच्या भेटीपासून विक्रम जरा अस्वस्थच होता, विचारात होता. वेताळाने विचारलेल्या प्रश्नाप्रमाणे धातुगोळ्याच्या वेगातील बदल (change in velocity) मोजण्याच्या पद्धतीविषयी तो स्वत:शीच खल करण्यात मग्न होता इतका की त्या काळ्याकभिन्न अमावस्येच्या रात्री एका चिखलाच्या खड्ड्यात त्याचा पाय अडकता अडकता राहिला. पाठीवर वेताळही येऊन गनिमाप्रमाणे बसलाच होता. विक्रमाच्या अडखळण्यामुळे त्याचाही तोल जाता जाता राहिला.

“अरे विक्रमा, लक्ष कुठंय तुझं? बहुतेक मागच्याच कोड्याविषयी विचार करत असावास. सांगच आता उत्तर. या वेगबदलाचं माप तुम्ही कसं काढणार?”

“वेताळा मागील एका वेळी आपण वेग आणि काळ यांचा आलेख (velocity-time graph) काढला होता. त्यात आपण वस्तूचा एकसमान वेग गृहित धरला होता. पण व्यवहारात पहायचं झालं तर वेगबदल हा असतोच असतो. म्हणून धातुगोळ्याची वाटचाल टिपण्यासाठी मागील प्रमाणे आपण वेग व काळ यांचा आलेख काढूया. (आकृती १)

१. या आकृती प्रमाणे अ ते ब मधील त्वरण (acceleration) मोजू.

वस्तूने कापलेले उभं अंतर (Vertical Distance) = 3 - 2 = 1

वस्तूने कापलेले आडवं अंतर (Horizontal Distance) = 1 - 0 = 1

चढ = उभं अंतर / आडवं अंतर = १/१ = (+) १

त्वरण १ इतकं आहे. +(धन) म्हणजे वेगात वाढ होते आहे.

२. या आकृती प्रमाणे क ते ड मधील त्वरण मोजू.

वस्तूने कापलेले उभं अंतर (Vertical Distance) = 2 - 3 = -1

वस्तूने कापलेले आडवं अंतर (Horizontal Distance) = 7 - 6= 1

चढ = उभं अंतर / आडवं अंतर = -१/१ = - १

त्वरण -१ इतकं आहे. –(ऋण) म्हणजेच वेगात घट होत आहे. हे मंदन (deceleration) आहे.

या आलेखातला भरीव निळा भाग काय माहिती आहे? 

अरे त्या भागाचे क्षेत्रफळ म्हणजे वस्तूने केलेले विस्थापन(Displacement).

आता दुसऱ्या एका गोळ्याची वाटचाल आणि प्रत्येक टप्प्यावरील त्याच्या त्वरणाची मोजमापे पहा.(आकृती २)

“म्हणजे विक्रमा, तुझं असं म्हणणं आहे का की धन त्वरण (acceleration) ते चांगलं आणि ऋण त्वरण (deceleration) ते वाईट?”

“नाही नाही, वेताळा, या धन आणि ऋण यांचा चांगल्या-वाईटाशी काही संबंध लावू शकत नाही. एखादा रथ सपाटी वरून वेगवान दौड करत निघाला, सतत वाढता वेग ठेवत पुढे जात राहिला, वेगावर कोणतेच नियंत्रण ठेवले नाही आणि अचानक तीव्र उताराचा रस्ता, मोठा खड्डा किंवा वळण आले तर? त्याला मंदन करूनच वेग नियंत्रित करावा लागेल. खूप जास्त वेग असेल आणि वेळेत मंदन करता आले नाही तर त्याचा संवेग (momentum) त्या रथाला आणि घोड्याला अपघाताकडे  घेऊन जाईल. क्वचित जीवही जाईल.

याउलट खूपच कमी वेगात जाणारा रथ एखाद्या तीव्र चढावर गेला तर वेग कमी पडल्यामुळे घोड्याला कदाचित तो ओढवणार नाही. रथ पुढे जाऊ शकला नाही तर गुरुत्वाकर्षण(gravitational force) त्याला मागे खेचेल व पुन्हा अपघाताची शक्यता निर्माण होईल. त्वरण आणि मंदनाच्या सुयोग्य संतुलनातूनच रथ सुरक्षितपणे मार्गक्रमण करू शकतो.

थोडक्यात त्वरण वा मंदनाचा संबंध त्याठिकाणी काम करणाऱ्या बलाशी(force) व गुरुत्वाकर्षणाशी आहे. बलाच्या सहाय्याने आपण वेगबदल साधतो व अपेक्षित वेग गाठतो.”

“विक्रमा हे संतुलन वगैरे ठिक आहे. पण घोडा किती वेगाने पळाला म्हणजे व त्याचे किती वस्तुमान (mass) असले तर तो रथ सुरक्षितपणे नेऊ शकतो? तुम्हाला याचा अंदाज आहे का? शिवाय वळणावर रथ वाचविण्यासाठी काय  करशील हेही सांगितलं नाहीस. तुला माहीत नसावं. पण माझी वेळ मात्र झाली. हा मी चाललो..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

• चढावरचे वेग कमी करणारे ते मंदन, उतारावर घोड्यांना सुसाट वेग देऊन सारथ्याच्या नाकी नऊ आणणारे ते त्वरण
• त्वरण वाईट वा चांगले नाही, त्वरण-मंदनाच्या सहाय्याने इच्छित स्थळी योग्य वेळात सुरक्षित पोहोचवतो तो खरा सारथी

असे काहीसं एक घुबड दुसऱ्याला सांगत होतं!

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

वेगातला बदल – वाढता (त्वरण) वा घटता (मंदन) (Acceleration and Deceleration)

घनदाट जंगल, कीर्र अंधार, श्वापदांच्या हृदयाचा थरकाप उडवणाऱ्या आरोळ्या, शिकार होणाऱ्यांच्या आर्त किंकाळ्या, जंगली पाणवठ्यावर पाणी पिण्याचे आवाज सारं मागं जात होतं पण विक्रमाचे मन मात्र वारा पिलेल्या घोड्याप्रमाणे विचारांच्या मागे धावत सुटले होते. हे वेताळाचे प्रश्न एकातून दुसऱ्या, दुसऱ्यातून तिसऱ्याच ठिकाणी घेऊन जात होते.

“काय राजा आज पुन्हा आलास सज्ज होउन आपल्या कोड्यासाठी? तर मग ऐक. मागील एका प्रश्नात मी तुला सर्वाधिक वजनाचा गोळा ठरविण्यास सांगितले होते. आता हाच गोळा घेऊन तू एका जादुई प्रदेशात गेलास. तिथे जमीन सर्वत्र गुळगुळीत (friction-less) आहे. हवा एका दिशेनेच वाहते. बाकी कोणतीही बले कार्यरत नाहीत. तिथे एका सरळ रेषतून हा गोळा सोडलास तर या गोळ्याचा वेग (velocity) बदलेल का समान राहील? बदलला तर तो कशामुळे? पटकन सांग नाहीतर मी तुझ्या डोक्याचेच सूक्ष्म भाग करीन.”  

“वेताळा सांगतो. जगात एकसमान कोणतीही वस्तू एकसमान वेगाने (constant velocity) जाणे, तिच्या वेगात किंचितही बदल न होणे हे केवळ अशक्य. वस्तूच्या मार्गक्रमणाला बाधक आणि पोषक अशा अनेक गोष्टी असू शकतात. सुरुवात वस्तूच्या वस्तुमान (mass) आणि जडत्वापासून(inertia) होते. कोणत्याही वस्तूला जागचे हलायचे नसते किंवा जर गतिमान असेल तर गतीमध्ये बदल करायचा नसतो. न्यूटनचा पहिला गतिनियम (Newton’s First Law of Motion) आपल्याला हेच तर सांगतो. 

जर ही वस्तू हालत असेल तर तिच्या वेगात बदल करणं म्हणजे तिचा संवेग (Momentum) बदलणं. ज्या वस्तूला वेग आहे त्या वस्तूलाच संवेग किंवा जोर (momentum) असतो. वस्तूचा संवेग म्हणजे त्या वस्तूच्या वस्तुमानाचा (Mass) आणि वेगाचा (Velocity) गुणाकार. म्हणूनच या वस्तूच्या संवेगात बदल करायचा असेल तर काहीतरी कुठूनतरी जोर लावावा लागेल. आता हा जोर किती आणि का लावायचा, त्याने त्या गतीमध्ये वाढ करायची का घट करायची हे बळ (Force) लावणाऱ्याच्या हेतूवर अवलंबून असलं तरीही न्यूटनचा दुसरा गतिनियम (Newton’s Second Law of Motion) असं सांगतो की एका विशिष्ट वस्तूच्या संदर्भात विचार करताना (Frame of Reference) संवेगात (पर्यायाने वेगात) बदल होण्याचा दर लावलेल्या बळाच्या प्रमाणावर अवलंबून असतो आणि संवेगातला (म्हणजेच वेगातला) हा बदल लावलेल्या बळाच्या दिशेतच होतो. (आकृती १)

उदाहरणार्थ दोन रेड्यांची झुंज लावली तर दोघेही एकमेकांना ढकलू पाहतात. जो रेडा अधिक वस्तुमानाचा व वेगाचा तो दुसऱ्याला ढकलू पाहणार. समजा रेडा अ आणि रेडा ब. रेडा अ हा पळत येणाऱ्या ब ला समोरून भिडला तर? यात तीन शक्यता आहेत – 

१. रेडा अ हा ब च्या पेक्षा कमी संवेगाचा/जोराचा असेल तरी तो ब ला विरोध करून त्याची गती कमी करणार

२. रेडा अ हा इतकाच संवेगाचा असेल तर अ हा बला पुढे जाऊ देणार नाही व ब हा अ ला पुढे जाऊ देणार नाही. म्हणजे पुन्हा रेडा अ च्या बाजुने विचार केला (Frame of Reference) तर त्याने ब ची गती कमी केली व ब च्या संवेगात बदल केला.

३. रेडा अ हा ब पेक्षा अधिक संवेगाचा/जोराचा असेल तर तो ब ची गती तर कमी करेलच पण ब ला त्याच्या गतीच्या दिशेन पुढे घेऊन जाईल.

वेताळा रेड्यांचे उदाहरण मी फक्त संवेग डोळ्यासमोर यावा म्हणून दिले. निर्जीव वस्तूंनाही संवेग असतोच असतो. पदार्थविज्ञान हे वस्तूची सजीवता (Life) लक्षात घेत नाही. ते एक जडवादी शास्त्र (Material Science) आहे. असो.     

पण मग स्वत:वर बळाचा वापर होत असताना ती वस्तू थोडीच गप्प राहणार? ज्या वस्तूवर बळ लावले जाते ती वस्तू ह्या बळजबरीचा तितक्याच ताकदीने आणि विरुद्ध दिशेनं प्रतिकार करते हा झाला न्युटनचा तिसरा गतीनियम (Newton’s Third Law of Motion). म्हणजे काय तर जसा रेडा अ चा विचार केलास तसा रेडा ब चा विचार करायचा.”  

“अरे नियमावर नियम सांगतोयस, रेड्यांच्या गोष्टी सांगतोस पण यात गतीमधला बदल कुठे आला ते सांग.”

“अरे वेताळा, दोन बळे जेव्हा एकमेकांना भिडतात, तेव्हा ती त्यांच्या पूर्ण संवेगानिशी/ताकदीनिशी (वस्तुमान X वेग) भिडतात व आपल्या दिशेने गतीबदल घडवतात. तू म्हणतोस त्या गोळ्याकडे जाण्याआधी मी अजून एक उदाहरण देतो ते म्हणजे रथाच्या सारथ्याचं. (आकृती २)

१. जेव्हा तो रथ थांबलेला असतो तेव्हा गती शून्य, म्हणजे संवेग शून्य. 

२. जेव्हा तो घोड्याला आज्ञा देतो तेव्हा घोडा जोरात पुढे ओढतो रथाला. शून्य गतीमधून रथ वेगवान होतो, तेव्हा त्याला संवेगही प्राप्त होतो. इथे आला तो वेगबदल किंवा वाढणारे त्वरण (Acceleration) जे रथालाही प्राप्त होते. घोड्याच्या पळण्याच्या दिशेने ते कार्य करू लागते. रथाचा संवेग आणि घोड्याचे बळ(force) एकाच दिशेने जाऊ लागतात. घोड्यामुळे रथाचा वेग वाढतो. घोड्याचा व रथाचा वेग एक होईपर्यंत हे होत राहतो. सारथ्याला मात्र त्याच्या जडत्वामुळे मागे खेचल्यासारखे होते. 

३. पण आता असे समजूया की त्या सारथ्याने घोड्याला थांबायची आज्ञा दिली. घोड्याला हे कळल्याने तो काही अंतर जाऊन थांबला. पण रथ हा निर्जीव असल्याने त्याचे जडत्व(inertia) त्याला पुढे ढकलत होते पण घोड्याचे बळ मात्र आता तितक्या वेगाने पुढे ओढत नव्हते. म्हणजे मंदन (Deceleration) किंवा गती कमी कमी होत गेली. यात असे लक्षात येते की लगाम खेचल्याने घोड्याचा वेग कमी झाला, परिणामी रथाला ओढणारे बळ कमी झाले, त्यामुळे रथाचा वेग कमी होत गेला, सारथ्याला जडत्वामुळे पुढे ढकलले गेल्यासारखे होते. पण हळुहळु घोडा आणि रथ एकाच वेगात पुन्हा येतात. रथ मात्र आहे त्याच दिशेत चालत राहतो.

याठिकाणी हे लक्षात घ्यायला पाहिजे की वेगात वाढ होताना वेग आणि त्वरण एकाच दिशेत असतात. पण वेग कमी होत असतो, तेव्हा वेग आणि मंदन विरुद्ध दिशेत असतात.”

“राजा काय रे हे? इतके रेडे, घोडे, रथ, नियम सांगितलेस पण या वेगबदलांच्या घटत्या –वाढत्या भुतांना मोजणं मात्र तुमच्याच्यानं शक्य झालेलं दिसत नाहीये. आणि हो माझा अजून एक प्रश्न आहेच की हा रथ वळणे घेत गेला की तुझी वेग व त्वरण भुते कुठे जातात? कुठल्या दिशांना तोंडे फिरवतात? मी मात्र आता माझी दिशा फिरवतो आणि पुन्हा माझ्या झाडाकडे जातो..पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

वाऱ्याच्या झुळुकेबरोबरच हा आवाज फिरत गेला

• वेगात वाढ होताना वेग आणि त्वरण एकाच दिशेत असतात. 
• पण वेग कमी होत असतो, तेव्हा वेग आणि मंदन विरुद्ध दिशेत असतात.

  (क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

विस्थापन आणि अंतर (Displacement and Distance)

फार दिवसांनी राजा विक्रम पुन्हा त्या झाडापाशी आला. वेताळ नाही असे त्याला वाटते न वाटते तोच त्याच्या पाठीवर वेताळ धपकन येऊन बसलाही. “हा, हा, हा...तुला मी गेलोय असं वाटलं काय? इतक्या लवकर नाही जाणार मी..बर आज इतका वेळ का लागला तुला? पटकन सांग नाहीतर तुझ्या तलवारीने तुझे मुंडकेच उडवितो बघ.”

राजा विक्रम वेताळाला घेउन चालू लागला व बोलू लागला” अहो वेताळ महाराज, आज माझ्या राज्यात मी एक स्पर्धा ठेवली होती. झाडाचा ओंडका कोण सर्वात लांब ढकलत नेऊ शकतो याची.” 

“अरे विक्रमा ही रे कसली स्पर्धा? असं केल्याने काय मिळतं? आणि या स्पर्धेचा विजेता कोण ठरतो?”

विक्रम म्हणाला, “ रे वेताळा, मी राजसभेसमोरच्या मैदानात ही स्पर्धा ठेवली होती. मैदानात एक खुंट ठोकला होता. त्या जवळ एक ओंडका ठेवला होता. स्पर्धकाने दोरीच्या सहाय्याने तो ओंडका जास्तीत जास्त लांब अंतरावर ओढत न्यायचा. स्पर्धकाने खुंटापासून ओंडका जिथपर्यंत ओढत नेला असेल त्या ठिकाणा पर्यंत पावलाने मोजत जायचे. यालाच माणसांमध्ये अंतर (distance) म्हणतात. हे अंतर पावले, हात, खांब यापैकी कशानेही मोजायचे. ठरलेल्या वेळेत जो सर्वाधिक अंतर कापेल तो विजेता.”

“हे तर ठिक झाले, पण राजा. पण एखादा स्पर्धक तो ओंडका उतारावरून घेऊन गेला, एखाद्याला जाताना खड्डा लागला व दुसरा एखादा चढाच्या रस्त्याने गेला तर?”

“वेताळा तुझा पुढचा जन्म बहुधा वैज्ञानिकाचाच असणार. आम्ही लोक सर्व स्पर्धकांना एकाच आखलेल्या रस्त्यावरून ओंडका घेऊन जायला सांगतो. तू म्हणतोस ती शक्यता उद्भवत नाही.”

“अरे राजा पण एखादा नेमक्या उलट्या रस्त्याने गेला तर?”

“स्पर्धेच्या नियमात एकच दिशा अभिप्रेत असते. पण त्या दोन ठिकाणांमधील अंतर मोजायला दिशा गरजेची नसते. म्हणूनच अंतर या भूताला अदिश (scalar) भूत म्हणतात. याचाच एक भाऊ सदीश (vector) गोत्रातला आहे ‘विस्थापन’ (displacement) नावाचा. त्याला मात्र दिशेने फरक पडतो. चढावर तो ओंडका ढकलत नेला तर ढकलणाऱ्याची अधिक शक्ती खर्च होते. उतारावरून तो ओंडका मात्र कमी शक्तीमध्ये गडगळत खाली नेला जाऊ शकतो. या विस्थापनाला खर्च होणाऱ्या शक्तीमुळेच विस्थापन ही सदीशगोत्री राशी बनली.”

“अरे राजा, तू अंतर म्हणलास, मग विस्थापन म्हणलास आता शक्तीची गोष्ट करतोस? विस्थापनाचा आणि शक्तीचा काय संबंध?”

“हीच तर मानवी डोक्याची कमाल आहे वेताळा. मानवाला नसल्या ठिकाणी काही अदृश्य गोष्टी दिसतात. वेगसंस्काराची (Mechanical Force) व्याख्या करताना अमरकोश ग्रंथाच्या रामाश्रमी टिकेमध्ये लिहिलंय -

वेजनं इति वेग: |

अर्थात वेग म्हणजे ‘वेजन’. वेजन म्हणजे हालचाल ज्यामुळे निर्माण होते ते.

ओविजिभ्ययचलनयो: वेजयति चालयति इति वेगो इति |

अर्थात हालचाल, चलन ज्या गोष्टीमुळे निर्माण होते ते कारण म्हणजे ‘वेग’.

भारतातले प्राचीन आचार्य ऋषी कणाद यांनी आपल्या वैशेषिक दर्शन या ग्रंथामध्ये बलामुळे होणारे पदार्थाचे विस्थापन इत्यादि अनेक अंगांना स्पर्श केला होता. ही साधरण इसवीसन पूर्व ६व्या शतकातील गोष्ट आहे. त्यावर भाष्य करून त्यातील संकल्पना सोप्या करुन दाखवताना आचार्य प्रशस्तपाद यांनी ‘प्रशस्तपाद भाष्य’ या ग्रंथामध्ये बलाचे पुढील तीन प्रकार सांगितले:

संस्कारस्त्रिविध उक्त: वेगो-भावना-स्थितीस्थापकश्चेति‌|

अर्थ हा की संस्कार किंवा बल (Force) हे तीन प्रकारचे असते: वेग संस्कार (Mechanical Force), भावनिक संस्कार (Emotional Force) आणि स्थितीस्थापक संस्कार (Elastic Force).  (Source: Physics in Ancient India) हे ते तीन प्रकार. त्यातही वेग संस्काराची (Mechanical Force) व्याख्या आचार्य प्रशस्तपाद खालीलप्रमाणे करतात:

वेगो मूर्तिमत्सु पंचसु द्रव्येषु निमित्तविशेषापेक्षात् कर्मणो जायते|

अर्थ हा की पृथ्वी/स्थायू(Solid), आप/द्रव (Liquid), तेज(Energy), वायू (Gaseous) आणि मन(Mind) या  पाचही द्रव्यांपासून बनलेल्या पदार्थांध्ये केवळ वेगसंस्कारामुळेच(Mechanical Force) मुळेच कर्म(Motion) निर्माण होते.  कणाद ‘कार्यविरोधीकर्म’ नावाच्या वैशेषिक सूत्र १-१-१४ मध्ये वेगसंस्काराविषयी म्हणतात

अत्र – वेग: निमित्त-विशेषात् कर्मणो जायते|

Translation: Vega means the force. Karma means motion. Force is specific cause for motion or force generates motion, i.e. a change in motion occurs till the force is active. (Kanada's Science of Physics - N. G. Dongre, S.G. Nene)
Newton's 1st law of motion: The change of motion is due to impressed force.(Principia)

अर्थात एखादी विशिष्ठ हालचाल ही वेगसंस्कारा (Mechanical Force) मुळेच होते.

वेग: अपेक्षात् कर्मणो जायते नियत दिक्-क्रिया-प्रबन्ध हेतु:|

Translation: Force is proportional to the motion (momentum) produced and acts in the same direction.(Kanada's Science of Physics - N. G. Dongre, S.G. Nene)
Newton's 2nd law of motion: The change of motion is proportional to the motive force impressed and is made in the direction of the right line in which the force is imposed. (Principia)

झालेली हालचाल(कर्म) ही वेगसंस्काराच्या (Mechanical Force) प्रमाणातच होते आणि ती हालचाल वेग संस्काराच्या दिशेतच होते.

वेग: संयोगविशेषविरोधी, क्वचित्कारणगुणपूर्वक्रमेणोत्पद्यते|

Translation: Force counteracts material conjunction and sometimes one (vega or force) produces the other in tandem. (Kanada's Science of Physics - N. G. Dongre, S.G. Nene)
Newton's 3rd law of motion: To every action(samyoga) there is always an equal and opposite reaction(virodhi), or the mutual action of the two bodies upon each other are always equal and directed to counterparts. (Principia)

कार्य (Reaction) हे कर्म(Motion) ज्या दिशेत होते त्याच्या विरुद्ध दिशेत कार्य करत असते.

साधरण याच आशयाची सूत्रे न्यूटनने Principia या ग्रंथात गतिनियमांच्या (Laws of motion) स्वरूपात नोंदविली. विविध काळांमध्ये, विविध देशांमध्ये असणाऱ्या शास्रज्ञांमध्ये कशी विचार समानता असते हे पहाण्यासारखे असते.

आधुनिक काळात शास्त्रज्ञांनी बल आणि हालचाल यांच्यातील संबंध शोधण्यासाठी मग त्यांना जोडणारी विस्थापन-वेग-त्वरण-संवेग ही साखळी शोधून काढली. विस्थापन s इतके झाले तर दरक्षणाला त्याचे माप घेतले (ds/dt) तर वेग (v) हाती लागतो. वेगाचे मोजमाप दर क्षणाला घेतले (dv/dt) तर त्वरण (a)  हाती लागते. प्रतिक्षणाला असलेल्या त्वरणाला वस्तूच्या वस्तुमानाने गुणले तर हाती येते ते त्या क्षणाला वस्तूवर काम करणारे बळ (f). थोडक्यात प्रत्येक विस्थापनाला हा बळ नावाचा एक वेताळ वा असे अनेक वेताळ कारणीभूत असतात.”

“अरे विक्रमा, हे तर मलाही कळते की माझ्यासारखाच कोणी वेताळ त्या ठिकाणी काम करत असणार. हे ओंडके ओढण्याचे काम तुम्हासारख्या य:कश्चित माणसाचे असूच शकत नाही. तुम्ही असली नाही ती कामे करण्यातच व मोजमापे करण्यातच वेळ घालवणार. पण तुला माहित आहे का की आपणा सर्वांनाच ओढणारा एक महावेताळ पृथ्वीच्या पोटात दडलाय जो पृथ्वीवरच्या सर्वच वस्तूंना ओढून घेतो. तुला हे माहितच नाही? अरेरे कीव येते मला तुझी, तुझ्या बुद्धीची..तु पुन्हा अपयशी ठरलास आणि हा मी चाललो..तुझी इतक्यात सुटका नाही..हाऽहाऽहाऽ“

• अंतराला दिशेची गरज नाही, परंतु विस्थापनाला असते. अंतर अदिश, विस्थापन सदीश

• विस्थापन हे एकूण कार्यकारी बळाच्या दिशेतच होते

• अंतर = शेवटले ठिकाण – मूळ ठिकाण

©अनिकेत कवठेकर.
x

भूर्जपत्रावर खालील नोंदी होत्या:

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

जगातल्या जवळजवळ सर्वच संस्कृतींमध्ये कपोल कल्पित कथांची रेलचेल आहे. त्यांच्यात भुताखेताच्या, झाडावरील भुता-खेताच्या, हडळींच्या, हैवानांच्या गोष्टी तर असतातच. अशीच काही भुते आपल्या आजुबाजूला कायम वावरत असतात. 

माणूस बसला असला किंवा फिरत असला, जमिनीवर, पाण्यात, हवेत असला, झोपला असला किंवा उतारवरून गडगळत खाली जात असला तरीही त्याला ही पदार्थविज्ञानातली भुते पछाडल्याशिवाय राहत नाहीत. गोष्टीतल्या राक्षसाच्या रक्तातून दुसरा राक्षस निर्माण व्हावा तसे वस्तूने जागा बदलली तर त्यातून विस्थापन (Displacement) हे भूत, विस्थापनातून वेग (Velocity), वेगातून त्वरण (Acceleration), त्वरणातून संवेग (Momentum) आणि त्या संवेगापासून ढकलणाऱ्या बलाचा (Force) शोध लागत जातो. किंबहुना वस्तूचे विस्थापन ज्या दिशेत होते त्या दिशेच्या मागावरच ही भुते टपून बसलेली असतात व सतत वाकुल्या दाखवतात. 

यांचेच काही शापित बांधव आहेत. ते अहिल्येच्या शिळेप्रमाणे एकाच जागी असतात, दिशाविरहित असतात. वस्तुमान (Weight), अंतर (Distance) व चाल (Speed) ही ती शापित भावंडे.

विचार करणाऱ्या शास्त्रज्ञांमुळेच या भुतांचे मोजमाप करण्याची सिद्धी आपल्याला प्राप्त झाली. ऋषी कणाद(कश्यप) यांनी आपल्या वैशेषिक दर्शन (Vaisheshika) या आद्यग्रंथात पदार्थविज्ञानाची मुहूर्तमेढ रोवली. प्रशस्तपादांनी (२रे शतक) त्याचा अर्थ समाजावा म्हणून पदार्थ धर्म संग्रह हा ग्रंथ लिहिला. 

• प्रशस्तपाद ऋषी – भारताचे विज्ञानेश्वर आणि त्यांचा पदार्थधर्मसंग्रह – भारताची पदार्थविज्ञानेश्वरी (Prashastpad Rishi- 2nd century thought leader of Indian Scientific Tradition of Vaisheshika)
• प्रकरण १: पदार्थधर्मसंग्रह: ग्रंथारंभ व उद्देश (Padarthdharmsangraha: Salutation and reasons for studying physics)
• वैशेषिक विज्ञानाचा अभ्यास आता काय कामाचा? (Relevance of Vaisheshik physics in the modern times)
• प्रकरण २: पदार्थधर्मसंग्रह: पदार्थाची सहा अंगे (Padarthsharmsangraha : Six facets of any entity according to Vaisheshika)
• पदार्थाचा विविध अंगांनी अभ्यास कसा करायचा? (How to analyse any entity using Vaisheshika’s six-pronged approach)
• प्रकरण ३ : पदार्थाच्या सहा अंगांमधील सारखेपणा व वेगळेपणा (Similarities and differences between six facets of entities)
• पदार्थांमध्ये चालणाऱ्या स्थिर–चर, दृष्य-अदृष्य अशा ९ द्रव्यांच्या खेळाची मजा पाहणे (How to enjoy the intermingling of nine Vaisheshika substances in the context of a Padarth)
• पदार्थाच्या सहा अंगांच्या अभ्यासाची सुरुवात कशी करायची? (Getting started with the study of the six facets of Padartha)
• पदार्थात होणाऱ्या भौतिक बदलांचा अभ्यास (Appreciating the physical changes in substances)
• पदार्थाच्या दृष्य किंवा भौतिक अंगाची पारख कशी करायची? (Understanding the apparent or material facets of Padartha)
• पदार्थात तेज द्रव्यामुळे होणारे भौतिक बदल व उष्णताक्षयमान (Changes in state due to heat, entropy and second law of thermodynamics)
• पदार्थाच्या अंतरंगाचा म्हणजे वर्गीकरण, विशेष व समवाय या अंगांचा परिचय (Getting to the real nature of Padarth by studying its classification, individualities and concommittant relations)
• सर्व द्रव्यांमधला समान धागा कोणता? (What is the similarity between all the nine substances)
• द्रव्यांचे जवळ येणे व दूर जाणे (Substances and their movements)
• दिक् व काल: विश्वव्यापी व विश्वगामी हेरांची जोडगोळी (Space and Time: The Omnipresent duet of ‘Selfless’ Observers)
• द्रव्यांचे जागा बदलणे हे काळाचे फलित कसे? (How come displacement of substance becomes a function of time?)
• द्रव्यांमधील उष्णतेचे वहन (Conduction of Heat in Substances)
• पदार्थाचे ‘भूत/मूर्त’ अस्तित्त्व व मानवी क्षमता (Using the Five Senses to appreciate the material existence of Substances)
• गुरुत्व, पृथ्वीचे गुरुत्वाकर्षण बल आणि न्यूटनचे सफरचंद (Gravitation, Gravitational force of Earth and Newton’s Apple)
• वायुची स्थायूवरील कुरघोडी उदाहरण चेंडूचे ‘स्विंग’ होणे (How the collision between the cricket ball and air leads to the swing of the ball)
• स्थायू पदार्थांचे उडणे व पुन्हा खाली पडणे (Falling of solids)
• जोडलेल्या स्थायूंमधील ओढाताण | उदाहरण लंबकाचे टिक-टॉक (Force balance in attached solids | Example: Oscillations of a pendulum)
• दोन स्थायूंची टक्कर..और ये लगा सिक्सरऽऽ (Projectile Motion)
• सारांश: पदार्थाच्या सहा अंगांमधील साम्य व भेद स्थळे (Summary Table : Comparative analysis of the six facets of Padarthas)
• सारांश: पदार्थाच्या नवद्रव्यांमधील साम्य व भेद स्थळे (Summary table: Similarities and differences between the characteristics of 9 constituent substances)
• प्रकरण ४ : द्रव्यपदार्थनिरुपण – आरंभ (Chapter 4: Discussion of Individual Substances)
• प्रकरण ४ भाग १: पृथ्वी (Discussion on characteristics, properties and classification of solids)
• मी पृ्थ्वी किंवा स्थायुद्रव्य
• प्रकरण ४ भाग २: आप (Discussion on characteristics, properties and classification of liquids)

त्यानंतर दशपदार्थशास्त्र(इ.स. ६४८), व्योमशिव यांचे व्योमवती (८वे शतक), श्रीधर यांचे न्यायकंदली, उदयन यांचे किरणावली अशी अन्य भाष्येही याच परंपरेतील. शिवाय आर्यभट्ट, वराहमिहिर इत्यादि गणितज्ञ व खगोलविदांनी त्यानंतरच्या काळातही महत्वाची भर घातली.

गलिलिओ, प्लेटो, लिबनिझ या पाश्चात्य शास्त्रज्ञांनी आर्वाचीन काळात हा विचार रुढीवाद्यांच्या विरोधाला पत्करूनही पुढे नेला. त्यांच्यामुळेच या भुतांचा वापर आपण फायद्यासाठी करून घेतला.

या ठिकाणी भूत हा शब्द अंधश्रद्धा म्हणून न वापरता अज्ञातांचा उल्लेख करण्यासाठी वापरला आहे. या भुतांविषयीची माहिती अधिक मनोरंजक पणे मांडून ते विचार अधिक आत्मसात करण्यासाठी कथारूपात लिहिण्याचा हा एक प्रयत्न.

विक्रम वेताळाच्या कथांइतका चांगला साचा अजून कुठला मिळायला. म्हणूनच या कथांचं नाव विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात. भारतीय तत्वज्ञानात व इतर ज्ञानशाखांमध्ये प्रश्नोत्तर पद्धत अगदी श्रीमद्भगवद्गीते पासून चालत आली आहे. ग्रंथराज दासबोधामध्ये ती आहे. लिहिता हात सद्गुरुंचाच. प्रेरणा त्यांचीच. त्याबरोबरच अच्युत गोडबोले या अवलियाला ही सलाम. त्यांच्या पुस्तकांच्या वाचनातूनही प्रेरणामिळाली. विक्रम वेताळाच्या बालसाहित्यामध्ये पदार्थविज्ञान घुसवणे तसे अघोरीच आहे. पण हा धोका पत्करूनही जर पदार्थविज्ञान समजावण्यात सुलभता व रंजकता आणू शकलो तर ती मातृभाषेची व या प्रश्नोत्तर पद्धतीची ताकद समजावी. न झाल्यास लेखकाची मर्यादा समजावी.

ही माहिती मी तंत्रज्ञान्यांसाठी लिहित नसून नवीन शिकू पाहणाऱ्यांसाठी लिहित आहे. Physics, Applied Physics, Mechanics हे विषय शिकताना त्यांमधली सौंदर्यस्थळे निसटून गेली कारण तेव्हा 'Marks'वादी विचारसरणीनेच अभ्यास झाला. आता हे विषय 'भोगणाऱ्या'(कर्मभोग या अर्थी) विद्यार्थ्यांना थोडा दिलासा देण्याच्या व त्यांचे कुतुहल थोडे अधिक जागे करण्याचा हा प्रयत्न.

मी या विषयात स्वत:ला तज्ञ मानत नाही. माझे अभियांत्रिकी पर्यंतचे शिक्षण, काही पुस्तकांचे वाचन व विकीपिडिया यांचा आधार मी घेतला आहे. तात्विक/तांत्रिक त्रुटी आढळल्यास सूचित कराव्यात. त्या सुधारून घेण्यात येतील. 

कथांची यादी:

• विस्थापन आणि अंतर (Displacement and Distance)
• वस्तुमान व वजन (Mass and Weight)
• चाल आणि वेग (Speed and Velocity)
• वेग आणि विस्थापन – एकाच नाण्याच्या दोन बाजू (Relation between Velocity and Displacement)
• वेगातला बदल – वाढता (त्वरण) वा घटता (मंदन) (Acceleration and Deceleration)
• वेगबदल आणि वेग – काळ आलेखाचे चढ-उतार (Measurement of Acceleration)
• गतिविषयक समीकरणे: विस्थापन, वेग, त्वरण यांना सांधणारे दुवे (Kinematic Equations)
• विखंडन पद्धत: बदल मोजण्याची गुरुकिल्ली (Differentiation or derivatives: A tool to measure the rate of change)
• वेग = विस्थापनाच्या रेषीय समीकरणाची चढण (velocity = slope of the linear equation of displacement)
• ब्रह्मगुप्ताची वर्गसमीकरणाची उकल आणि गतीचे दुसरे समीकरण (Brahmagupt’s solution for the quadratic equation and the second kinematic equation)
• क्षणिक बदलांची गोळाबेरीज व संख्यामालिका : अंदाजातील अचूकतेकडे मारलेली हनुमानउडी (Integration and number series : Quantum leap towards exactness in approximations)
• विकलांची गोळाबेरीज: हे n व त्यांची पिल्लावळ कुठून पैदा झाली? (Importance of ‘n’ in integration)
• संवेग (जोर) आणि संवेग अक्षय्यता (Law of conservation of momentum)
• धक्का (संवेगातील बदल) आणि बळ (Impulse and Force )
• निरीक्षकाची स्थिती – गती चौकट आणि सहनिर्देशक पद्धती (Frame of reference and coordinate system)
• दिलेली शक्ती = वाढलेली गतीज ऊर्जा = बळाने केलेले काम (Transmission of power = Increase in Kinetic Energy = Mechanical Work done)
• वळणे घेणे, वर्तुळ मार्गावर फिरणे = खेचणाऱ्या बलाचा योग्य उपयोग करणे (circular motion and centripetal force)
• प्रदक्षिणा घालणे – स्वत:भोवती आणि दुसऱ्या भोवती (Rotational and Circular Displacement )
• चक्री सहनिर्देशकांचा उपयोग करून चक्रव्यूह रचणे (Use of Polar Coordinates to measure Circular displacement)

©अनिकेत कवठेकर.

• डोंगरे सर तुम्हाला भेटायचं होतं! (Tribute to Dr. N. G. Dongare, who unearthed the roots of Physics in ancient Indian texts )
• या लेखमालेच्या हेतुविषयी व लेखकाविषयी माहिती: स्वत: विषयी थोडेसे...ब्लॉगविषयी बरेचसे
• संदर्भ सूची (Bibliography)
• विषय सूची (Topic Index)
• माझा दुसरा  ब्लॉग येथे पहा: सन्या व बबन्याच्या टेक्निकल गप्पा