जोडलेल्या स्थायूंमधील ओढाताण | उदाहरण लंबकाचे टिक-टॉक (Force balance in attached solids | Example: Oscillations of a pendulum)

जगात अनेक गोष्टी या जोडीने चालत येतात. दिवस-रात्र, श्रीमंती-गरिबी, चांगला-वाईट काळ, क्रीयांमागून प्रतिक्रीया, सुख-दु:ख, शाखाहारी-मांसाहारी प्राणी हे सारेच जोडीने येणारे साथी. यात दोघांनाही तितकेच महत्त्व. एखाद्यात खूप गुण असावेत पण एका  अवगुणाद्वारे सर्व डोलारा कोसळावा. दिवसभर उन्हाचे चटके सोसल्यावर रात्रीने चांदण्याची शीतलता अंथरावी व हळुवार थंड वाऱ्यांची झुळुक फिरवावी. पुन्हा रात्री आलेला आळस जाऊन चैतन्य पसरावं म्हणून सूर्याने क्षितिजे उजळावी. अनेक वर्षांच्या वाईट काळानंतर एकदम चांगला काळ यावा. यातून निसर्गातलं समतोलाचं तत्वच सिद्ध होत असावं का? कोणत्याही गोष्टीच्या मागे लगेच दुसरी गोष्ट येण्यामागे हे समतोलाचं, सांभाळ करण्याचं, कोणतंही टोक गाठू न देण्याचं प्रयोजन असावं का?

“विक्रमा, फारच रे चिंतनशील राजा तू..जोडीने येणाऱ्या गोष्टींसाठी इतका खल करतोयस. पण हे नेहमीच समतोलाचं तत्व असतं का रे यात? सजीव प्राण्यांचं सोड, दोन किंवा त्यापेक्षा जास्त निर्जीव द्रव्ये एकमेकाला जोडली आहेत तर त्यांच्यातही समतोल साधला जाईल? क्रीया-प्रतिक्रीयेचे नियम वगैरे आहेत. पण दोन किंवा अधिक द्रव्ये जेव्हा बरोबर असतात तेव्हा हे कसं होत?”

“वेताळा, याचं आधी तत्व सांगतो. प्रशस्तपादांनी म्हटल्याप्रमाणे

द्रव्यादीनां त्रयाणामपि सत्तासम्बन्ध:, सामान्याविशेषवत्वम्, स्वसमयार्थशब्दाभिधेयत्वम्, धर्म्माधर्म्मकर्त्तुत्वञ्च ||15||

म्हणजे पदार्थामधले द्रव्य, त्या द्रव्यांचे गुण आणि त्या द्रव्यांच्या हालचाली यांचा पदार्थाच्या स्थितीशी संबंध असतो, त्या द्रव्यांचे अविभाज्य घटक असतात, त्या द्रव्याचे वर्गीकरण करता येते,त्यांच्या स्थितीला शब्दात मांडता येते आणि ही द्रव्ये दुसऱ्या द्रव्यांना सहाय्यभूत होऊ शकतात किंवा विरोधही करू शकतात.

कार्य्यत्वानित्यत्वे कारणवतामेव ‌||16||

दुसऱ्या कशाचातरी परिणाम म्हणून निर्माण होणे आणि निश्चित काळापुरतंच अस्तित्व असणे हे फक्त द्रव्य, गुण व कर्म यांनाच लागू आहे. थोडक्यात काय तर ही मूर्त आकाराची द्रव्ये , त्यांचे गुण व त्यांच्या हालचाली क्षणभंगूरच असतात. म्हणजे जर दोन द्रव्ये ही एकमेकांना जोडलेली असली तर ती एखाद्या बाहेरून काम करणाऱ्या मनाच्या संयोगामुळे एकमेकांवर परिणाम करणारच करणार.”

“कसला परिणाम?”

“म्हणजे बघ, एक लाकडाची काठी घेउन त्याला तू एक ताणला जाणारा दोरा लावला तर त्यातून एक धनुष्य तयार होतं. यात काठी वाकवल्यामुळे म्हणजे आकुंचनामुळे त्यात काही शक्ती साठवली गेली. तसेच दोरा ताणून लावल्यामुळे त्यात काही शक्ती साठवली गेली. हा झाला स्थायूंचा संयोग. ते धनुष्य स्थिर स्थितीतच राहिल. जेव्हा एखादा बाण त्या दोरीवर लावला, थोडा मागे घेउन सोडला तर ही साठवलेली शक्ती बाणाला मिळेल व तो सुसाट जाईल.”

“पण काय सगळेच स्थायु असे ताणून शक्ती लावतात?”

“नाही, दुसरा प्रकार म्हणजे संपर्कातून बळ लावणे. हे बघ एका खडबडीत उतारावर एक लोखंडाचा ठोकळा ठेवला आहे. खरेतर गुरुत्वबळामुळे गडगळत गेला असता. पण उताराशी त्याची एक बाजू घासली गेल्याने तो पुढे हालत नाही. हे घसरण्याला विरोध करणारे बळ(sliding friction). आता यात भर म्हणजे एक लोखंडाचा गोळा त्या ठोकळ्याच्या आधी ठेवला तर तो गोळा त्या ठोकळ्याला खाली ढकलण्याचा प्रयत्न करतो व ठोकळा त्या गोळ्याच्या ढकलण्याला विरोध करतो.”

“अच्छा हेच का ते धर्म व अधर्म कर्तृत्व? दुसऱ्या वस्तूच्या नैसर्गिक गतीला बळ देणे हे धर्मकर्त्रृत्व व त्याला विरोध करणे हे अधर्मकर्तृत्व. म्हणजे हे घर्षणबळ संपर्कातल्या स्थायूने दिलेली प्रतिक्रीयाच असते तर..”

“हे बघ वेताळा दोन किंवा अधिक द्रव्ये एकमेकांशी जोडलेली असतात आणि जेव्हा त्यांच्यावर कोणतेतरी बळ बाहेरून लावले जाते तेव्हा त्यांच्यातली काही एका बाजूला झुकतात व काही दुसऱ्या बाजूला. हे जे दोन वेगळ्या पद्धतीनं वागणं होतं हाच तर त्यांचा धर्म किंवा वागण्याची पद्धत. पण त्या हालचालींतून सुध्दा ती त्या बाहेरून आलेल्या बळाला प्रतिसाद देतातच. क्रीया-प्रतिक्रीयेचा नियम पाळला जातोच.”

“अरे विक्रमा काय युद्धाबद्दल वगैरे बोलतोय का आपण? दुसरं उदाहरण दे..”

“बर एक उदाहरण देतो. एक दोरा घेतला, तो एका आकड्या ला वर बांधला आणि त्याच्या दुसऱ्या टोकाला एक लाकडी चेंडू टांगला. जेव्हा असं नुसतंच टांगून ठेवतो तेव्हा आत नक्की काय होत असतं माहितीये?

“कुठे काय होतंय ? सारं कसं शांत, शांत निपचित आहे !!”

“पदार्थ विज्ञानाच्या भाषेत त्या तिन्ही स्थायूंवर पृथ्वी चं गुरुत्व बळ काम करतंय, सर्वांना खाली खेचण्याचा प्रयत्न करतंय. यामुळे तो लाकडी चेंडू ओढला जातोय. तो ओढला गेला की जोडलेल्या दोऱ्याला ओढ बसतेय. दोऱ्याला ओढ बसली की खिळ्याला ओढ बसतेय. पण ही ओढ बसली तरी चेंडू आणि आकडा यांच्या आकारात काही फरक होत नाही. पण दोर्यावर मात्र प्रसरण करणारे बळ चेंडू कडून लावले जातेय. पण दोर्याची लांबी काही वाढत नाही, दोरा ती वाढू देत नाही. मग यासाठी तो चेंडूला ओढणारे बळ लावतो व आपली लांबी कायम ठेवतो.  हेच ते आकुंचन बळ. त्यामुळे या परिस्थितीत गुरुत्व व आकुंचन बळ एकमेकांच्या विरुद्ध बाजूने काम करतायत. खिळ्याने दोऱ्याला व दोऱ्याने चेंडूला धरून ठेवलेले असल्याने तो चेंडू पडत नाहीये. स्थिर आहे.”

“म्हणजे आकुंचन बळ हे गुरुत्व बळाच्या विरोधात काम करतंय आणि संतुलन ठेवतंय. पण काहीच घडत नाहीये तर संतुलन कशाचं ?”

“संतुलन केवळ दोऱ्याला ओढ बसून तो तुटू नये याचं..जर दोरीला ताण असह्य झाला तर ती तुटेल व चेंडू खाली पडेल. ही दोरी ताण सहन करतीये आणि या स्थायूंच्या परिवाराला एकत्र ठेवतीये. तिच्यावर आलेला ताण आकड्यावर सुद्धा जाणवतोय. पण आकड्याने तो त्याच्यावरील भिंतीला दिल्यामुळे तो आकडा ताणला जात नाहीये. लाकडी चेंडूला थोडक्यात तो आकडाच ओढतोय. लाकडी चेंडूच्या ऐवजी अवजड लोखंडाचा गोळा लटकावला व त्याचा भार आकड्याला पेलवला  नाही तर आकडाही निखळून खाली येईल. पण सध्या सगळं ठीक आहे. हे स्थायू कुटुंब शांत आहे. समतोल साधून आहे.”

“बर, पण आता कोणा खट्याळ मुलाला हा चेडू हवा आहे म्हणून त्याने तो ओढला व सोडून दिला तर काय होइल?”

“तर मग या सर्वांना विशेषत: दोरीला आलेला ताण दिसू लागेल. त्या मुलाने चेंडूला ओढण्यासाठी जे बळ लावले त्याला गुरुत्वाकर्षण प्रतिक्रीया देइल..”

म्हणजे त्या मुलाने चेंडू ओढला तर त्या बळाच्या विरोधात गुरुत्वाकर्षण त्या चेंडूला खेचेल व त्याचे दोन वाटे होतील. लंबकाच्या ताणाला विरोध करणारे F gravity cos θ एवढे बळ असेल. आडवे खेचणारे F gravity sin θ एवढे बळ असेल. गुरुत्वाकर्षणाच्या दिशेपासून जसजसं हे लांब जाईल तसे हा sine वाढत जाईल. ते चेंडूला मध्यस्थानाकडे नेईल. ” 

“मग काय मध्यस्थानावर आला तरी तो चेंडू थोडाच थांबणार आहे?”

"गुरुत्वाकर्षणाच्या दिशेपासून जसजसं हे लांब जाईल तसे हा sine वाढत जाईल. मध्यस्थानी गुरुत्वाकर्षण आणि हे खेचणारे बळ ९० अंशात येतील. तेव्हा sin ९० = १ या न्यायाने बळ सर्वाधिक असेल.

“लंबक मध्यस्थानी आला की हे  बळ वाढत जाते. वेग वाढत जातो. मध्यस्थानी तो सर्वाधिक असतो. पण होतं काय की या पुढे चेंडू पृथ्वीच्या गुरुत्वाच्या विरुद्ध दिशेत जाऊ लागल्याने त्याच्यावरील गुरुत्वाकर्षण बळ हे त्याच्यावरील ताणणाऱ्या बळाच्या विरोधात जाते. त्यामुळे चेंडूचा वेग कमी होतो. आणि एके ठिकाणी तो वेग कमी होत होत शेवटी शून्य होतो.”

“अरे मग आता जडत्व की काय येतं मध्यस्थानी खेचायला?”

“नाही, नाही. जसजसा चेंडू वर वर जाऊ लागतो तसतशी पृथ्वी त्याला मागे खेचू लागते, म्हणजेच गुरुत्वबळ तिथे कामाला लागतं आणि चेंडूला मागे खेचू लागतं. चेंडूचा वेग कमी होऊ लागतो व काही वेळाने तो शून्य झाला की चेंडू पुन्हा मध्याकडे जाऊ लागतो. परतीचा प्रवास सुरु करतो. ”

“अच्छा, म्हणजे एकदा का चेंडूला ओढून सोडलं की त्या दोरीतला ताण व गुरुत्वाकर्षण बळ यांच्यातली ओढाताण सारखी चालत राहणार तर..मग मला सांग की या चेंडूला एक फेरी पूर्ण करण्यासाठी लागणारा काळ तसेच त्याचं मध्यस्थानापासूनचं अंतर कशावर अवलंबून असतं? चेंडूच्या वस्तुमानावर?”

“नाही, नाही, दोरीच्या लांबीवर. गुरुत्वाकर्षण सर्वच वस्तूंवर सारखंच काम करत असल्याने, या आदोलनाचा कालावधी(period of oscillation) आणि मध्यस्थानापासूनचं अंशात्मक अंतर(Amplitude of oscillation) हे त्या दोरीच्या लांबीवर अवलंबून असते.”

“ते कसं काय?”

“हे बघ वेताळा, या दोरीची लांबी जेवढी जास्त तेवढा तो चेंडू मध्य स्थानापासून लांब जाणार व तेवढा जास्त कालावधी त्या चेंडूला एक फेरी पूर्ण करण्यासाठी लागणार. वेगळ्या शब्दांत सांगायचं तर दोरी जेवढी लांब तेवढा चेंडू जास्त लांब पडेल.”

“पण मग लाकडाचा, लोखंडाचा, कापसाचा, प्लॅस्टिकचा कशाचाही चेंडू घेतला तरीही लागलेला वेळ तेवढाच राहणार?”

“हो वेताळा, कारण आपण गुरुत्वाकर्षणाच्या कथेत पाहिलं की पृथ्वी कोंबडीच्या पिसाला व लोखंडाच्या गोळ्याला सारख्याच वेगाने ओढून घेते.”

“पण विक्रमा, यात त्याच्यावर काम करणारे बळ किती असते व ते कसे बदलते ते सांग..”

“हे बघ, समजा चेंडूचे वस्तुमान १ किलोग्राम आहे. म्हणजे त्याच्यावर काम करणारे पृथ्वीचे बळ हे F= mxg म्हणजे ९.८ N इतके झाले. लंबकाला मूळ स्थानापासून ६० अंश कोनात ओढले व तो सोडून दिला तर त्यावरील काम करणारे बळ असे असेल

θ	F sin θ
60	8.5
30	4.9
0	0
30	4.9
60	8.5
90	9.8

”

“अच्छा म्हणजे त्यावर काम करणारे बळ या sine च्या फलितानुसार बदलेल तर..म्हणजे या खेचक बळातील व गुरुत्वाकर्षणातील अंश जसा वाढेल तसे खेचक बळ वाढेल..म्हणजे मध्यस्थानी येत असताना बळ सर्वात जास्त असेल व लांब जात असताना कमी असेल.”

“हो..या खेचक बळामुळेच (F sin θ) तर वर्तुळाकार गती मिळते. म्हणूनच मध्य स्थानी येत असताना गती सर्वाधिक असेल आणि लांब जात असताना ती कमी होत गेलेली असेल..झोका घेत असताना नाहीका मध्यस्थानी गती वाढते व लांब असले की कमी होते..आणि बरका या खेचक बळामुळेच चेंडूला चक्रगती मिळते. चेंडू जेव्हा सर्वात खाली असतो तेव्हा गती सर्वात जास्त. याचा दुसरा अर्थ असा की खालून पुढे निघाला की गती कमी होते. सर्वात वरच्या ठिकाणी गेला की गती शून्य. म्हणजे आता त्याची गती पुन्हा वाढणारच असते. अशा रीतीने हे दोरीतले खेचक बळ व गुरुत्वाकर्षण त्या चेंडूला चक्रात फिरवत ठेवतात. आपल्या आयुष्याला ही हे नियम लागू पडतातच की. सर्वात खाली असलं तरी लक्षात घ्यायचं की आता फक्त प्रगती होणार. सर्वात वर गेलं की आता अधोगती सुरु होणार..”

“पण मग विक्रमा जर हा चेंडू कुठल्याही कारणाने निसटला किंवा दोरी तुटल्यामुळे किंवा सैल झाल्यामुळे निसटला व फेकला गेला तर किती लांब पडेल. मला म्हणायचंय की अशी कोणतीही वस्तू जोरात लांब फेकली तर तिच्यावर हे गुरुत्वार्षण बळ कसे काम करेल? पण कायरे हे काळानुसार चालणारे अदृष्य बळ मला पुन्हा बोलावत आहे. आम्हाला ही चक्रगती आहेच. मला जायलाच हवे. येतो विक्रमा, पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

झालं..पुन्हा विषय चक्रगती वर येउन थांबला. मनुष्याला काय, इतर प्राण्यांना काय, त्या चेंडूला काय किंवा वेताळाला काय चक्रापासून सुटका नाहीच हे पाहून प्रत्येक जीव विचारात पडला. यात खोल खोल जाता जाता सारी सृष्टी निद्राचक्रात मात्र गुरफटली. विश्रांती घेती झाली. पृथ्वीनेही स्वत:भोवती एक चक्र पूर्ण केले व नव्या दिवसाची तीही वाट पाहू लागली.

(क्रमश:)

मूळ गोष्ट : विक्रम वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

पदार्थाच्या दृष्य किंवा भौतिक अंगाची पारख कशी करायची? (Understanding the apparent or material facets of Padartha)

दृष्टीआडची सृष्टी पाहणं हे राजाचं लक्षण, त्यातही दूरदर्शी राजाचं लक्षण. कोणत्याही गोष्टीचा अभ्यास करताना पहिलं आडवं याव ते भौतिक अंग. मग ते एखाद्या डोंगरावरची माती असो, फुलपाखराची रंगीत कांती असो वा जंगली प्राण्यांची परिसरात मिसळून जाणारी रंगसंगती असो. पदार्थाचे पहिले दिसावेत ते बाह्यरंग पण तरीही दृष्टीआडच राहावेत ते अंतरंग. वरून महाकाय दिसणारा, मोठे सुळे असणारा गजराज प्रत्यक्षात मात्र गवतावर जगावा आणि वरून सोनेरी, आयाळधारी सिंहराजाने मैत्रीपूर्णता दाखवावीशी वाटावी तर तो निघावा नरभक्षी. बाह्यांग व अंतरंग यांच्या संयोगातून प्रगटावं ते पदार्थाचं खरं स्वरूप..पण महादेवाच्या मंदिरात प्रथमत: नंदीचंच दर्शन घेऊन जावं लागतं तद्वतच पदार्थाच्या अंतरंगाचं स्वरूप समजून घेण्याआधी पहावं लागतं ते त्याचं बाह्य स्वरूप...

“विक्रमा आलास पुन्हा मूळपदावर..पुन्हा असं सुरू झालं तुझं..आत एक बाहेर एक..कसे विचित्र विचार करता तुम्ही? बाहेर एक दाखवावं, आत काहीतरी वेगळं असावं असे विचारच कसे रे येतात तुमच्या मेंदूंमध्ये? मागल्या एका  अमावस्येला पदार्थाच्या सहा अंगांची चर्चा करताना तू द्रव्य(substances), गुण(properties), कर्म(actions) ही अंगे मानवाच्या इद्रियांनी जाणून घेता येणारी असतात असं तू म्हणाला होतास..मला सांग की या अंगांमध्ये काही साम्यस्थळे आहेत? पदार्थ धर्मसंग्रहामध्ये काही म्हटलंय या विषयी..”अधीर वेताळ विक्रमाच्या स्कंदांगावर आरुढ होत्साता म्हणाला.

“वेताळा, द्रव्य, गुण आणि कर्म हीच तीन बाह्यांगे. कुठल्याही पदार्थाला जाणून घेताना ती आधीच सामोरी येतात. प्रशस्तपाद म्हणतात

द्रव्यादीनां त्रयाणामपि सत्तासम्बन्ध:, सामान्याविशेषवत्वम्, स्वसमयार्थशब्दाभिधेयत्वम्, धर्म्माधर्म्मकर्त्तुत्वञ्च ||15||

To the three, Substance and the rest, belong the relationship with Being, the character of having communities and individualities, that of being denoted by the word ‘artha’ as a technicality of the Vaisheshika system, and that of being the cause of virtue and vice.

साम्य	द्रव्य (substance)	गुण (properties)	कर्म (Action)	सामान्य (classification)	विशेष (individuality)	समवाय (inherence)
सत्ता सम्बन्ध (Relationship with being)
सामान्यत्व (classification)
विशेषत्व (Individuality)
स्वसमयार्थभिधेयत्व (Denoted by the word Arth)
धर्मकर्तुत्त्व (cause of virtue)
अधर्मकर्तुत्त्व (cause of vice)

अर्थात ह्या बाह्यांगांचा अस्तित्त्वाशी थेट संबंध असतो, त्यांचे वर्गीकरण करता येते, त्यांना काही विशेष म्हणजे वेगळेपण असते, शब्दात मांडू शकू असा त्यांच्या अस्तित्त्वाला काही ‘अर्थ’ असतो, त्यांना काही धर्म व अधर्म कर्तुत्त्व असते.”

“धर्म-अधर्म पुन्हा इथे कसं आलं पुन्हा?”

“वेताळा, मी म्हणलं तसं हा पदार्थ धर्म संग्रह ग्रंथ आहे. धर्म म्हणजे वागण्याची पद्धत. याठिकाणी धर्म कर्तुत्व म्हणजे काही नैसर्गिक आचरण..समजा शेकोटीवर वा चुलीवर पाणी गरम करायला ठेवलंय, पाणी गरम झालं. चूल विझवली. तर गरम केलेलं पाणी पुन्हा थंड व्हावं हा झाला पाण्याच्या द्रव्य(substance)-धर्म. पाणी हे द्रावक (solvent) आहे व त्यात काहीही मिसळावं हा झाला त्याचा गुण(property)-धर्म. उंचावरून पडलं तरी पाणी खालीच जावं हा झाला त्याचा कर्म(action)-धर्म. ”

“मग यात अधर्म कुठे आला? काय पाप केलं बिचाऱ्या पाण्याने?”

“अधर्म म्हणजे पाप नाही वेताळा..अधर्म म्हणजे नैसर्गिक वृत्तीपेक्षा वेगळं काहीतरी करणं..पाणी गरम केल्यानंतरही चूल विझवलीच नाही तर पाणी पुन्हा नैसर्गिक थंडपणा प्राप्त करू शकणार नाही हा झाला द्रव्याचा अधर्म. उंचावरून खाली पडू न देता पाण्याला अजून उंचीवर वाहायला लावावं तर तो झाला कर्माचा अधर्म. शिवाय गुरुत्वाच्या अंमलाखाली एखादा पदार्थ घरंगळत येण्याऐवजी तो तसाच अडथळे घालून अडवून ठेवावा तर तो झाला गुणाचा अधर्म..”

“पण हा गुणाचा अधर्म काय कामाचा? तू म्हणतोस त्यावरून तरी वाटतंय की पदार्थाच्या नैसर्गिक वृत्तीला दुसऱ्याने अटकाव करावा तर तो झाला अधर्म..पण हा अधर्म काय कामाचा?”

“हे पहा एखादा गोळा उतारावर सोडावा तर तो झाला गोळ्याचा धर्म. पण समजा अश्या अनेक तोफ गोळ्यांचा उंचावर साठा करायचा असेल, त्यांना खाली जाऊ द्यायचं नसेल, म्हणजे त्यांच्याकडून अधर्म कृत्य घडवायचं असेल तर एखाद्या पेटीत किंवा भिंतीच्या आड ते साठवावे लागतील. म्हणजे ती पेटी त्या गोळ्यांच्या बाबतीत अधर्म कर्तुत्व घडवत आहे. पण जर एखाद्या ओंडक्याने त्या गोळ्यांना उतारावर ढकललं तर ते गोळे गुरुत्वाकर्षणाने मिळालेल्या वेगापेक्षाही अधिक वेगाने पळत सुटतील हे झाले त्या गोळ्यांच्या बाबतीतले धर्मकर्तुत्त्व.”

“म्हणजे विक्रमा या गोष्टींचा कुठेतरी जो कोणी हा पदार्थ वापरतोय त्याच्याशी संबंध आहे.. ”

“होय वेताळा..सत्ता संबंध हाजो शब्द आलाय तो बरंच काही बोलून जातो. पदार्थाची द्रव्ये, त्याचे गुण व त्याच्या हालचाली यांचा त्या पदार्थाच्या असण्या(phase of existence)शी संबंधित आहे. कारण यातून त्यापदार्थाचे व्यक्तिमत्त्व साकारतंय..जसं एखादा सजीव आहे तो चालतोय, बोलतोय. म्हणजे इतर द्रव्यांबरोबरच आत्माही निगडित आहे. आत्मा शरीराला सर्व सोडून गेला तर हे चालणं बोलणं थांबतं, म्हणजेच काय तर आत्माद्रव्य सोडून गेलं तर सजीवाचं पार्थिवात रुपांतर होतं, हेच उदाहरण सत्तासंबंधाचं..”

“पण विक्रमा तुझ्या बोलण्यातून असं काही जाणवतंय की ही तीन बाह्यांगे आत्ताच तू सजीव-पार्थिवाचं उदाहरण दिलंस तशी काही कारणाने निर्माण होतात व नंतर पुन्हा बदलत राहतात..असंच काही आहे का?”

“बरोबर आहे वेताळा. ही बाह्यांगे बदलत राहतात. प्रशस्तपाद म्हणतात

कार्य्यत्वानित्यत्वे कारणवतामेव ‌||16||

The character of being an effect and that of being non-eternal, belong only to those (substances, qualities and actions) that have causes.

दुसऱ्या कशाचातरी परिणाम म्हणून निर्माण होणे आणि निश्चित काळापुरतंच अस्तित्व असणे हे फक्त द्रव्य, गुण व कर्म यांनाच लागू आहे.

साम्य	द्रव्य (substance)	गुण (properties)	कर्म (Action)	सामान्य (classification)	विशेष (individuality)	समवाय (inherence)
कार्य्यत्व (character of being an effect)
अनित्यत्त्व (non-eternal)

“म्हणजे काय रे? दुसऱ्या कशाचा तरी परिणाम?”

“आता हे पहा वेताळा. पाणी हे भांड्यात ठेवलंय. आजूबाजूला उष्णता फारशी नाही. म्हणून ते पाणी आपरुपात राहिलं. समजा तेच अतिथंड प्रदेशात नेलं तर त्यापासून बर्फ हे पृथ्वीद्रव्य बनेल. तेच पाणी उष्णतेच्या म्हणजे तेजाच्या संपर्कात आलं तर त्याची वाफ म्हणजे वायुद्रव्य बनेल. म्हणजे द्रव्य हे अंग कायम टिकत नाही. एकदा का द्रव्य बदललं की त्याचे गुण बदलणार. आता तिसरं म्हणजे कर्म किंवा हालचाल..ही तर त्या पदार्थावर म्हणजेच पर्यायाने त्यावर काम कारणाऱ्या द्रव्यांवर अवलंबून असते..”

“अरे थांब, थांब. तू आधी काहीतरी असं सांगितलं होतंस..

क्षितिजलज्योतिरनिलमनसां क्रियावत्त्वमूर्त्तत्वपरत्वापरत्ववेगवत्वानि ||

To Earth, Water, Fire, Air and Mind belong the character of having actions, being corporeal, having distance and proximity, and having speed.

स्थायू, द्रव, वायू, तेज व मन हे हालचाल करत असतात, त्यांना मूर्त स्वरूप असते, ते जवळ येऊ शकतात व लांब जाऊ शकतात आणि ते बलप्रयोग करून गती निर्माण करू शकतात.

“होय वेताळ महाराज, बलप्रयोग करून इतरांमध्ये हालचाल निर्माण होते व काम करणारं बळ किंवा ते द्रव्य गेलं की ती हालचालही मंदावते व काही काळाने तो पदार्थ एका  जागी स्थिर होतो.”

“म्हणजे विक्रमा, न्यूटन वगैरे जे बाह्यबळ(external force) म्हणतात,  ते हेच की काय?”

“होय वेताळा, फक्त वैशेषिकात ते बाह्यबल वर तू म्हणालास तसं स्थायू, द्रव, वायू, तेज व मन यांच्या संयोगात आल्यावर प्रयुक्त होतं असं सांगितलंय. म्हणजेच एखाद्या वस्तूची हालचाल एक सारख्या गतीमध्ये ठेवायला हे बळ जसे साहाय्य करते तसेच ती हालचाल रोखण्यासाठी सुद्धा हे बळ साहाय्य करते. घर्षण(friction) हा जो शब्द आपण रुढार्थाने वापरतो ते या इतर द्रव्यांनी हालचालीला पायबंद घालण्यासाठी लावलेले बळच असते नाही का?”

“हो, ती वस्तू एका विशिष्ट गतीत राहावी किंवा गती रोखावी म्हणून लावलेली ती बळे म्हणजेच वैशेषिकाच्या बाबतीत ‘अधर्मकर्तृत्व’ करणारी बळेच. आणि एक प्रश्न विक्रमा, ह्या बाह्यांगांच्या अभ्यासात द्रव्य, गुण व कर्म या तिन्हींचा अभ्यास होतो. पण मग यात पदार्थातील नऊ द्रव्यांचा अभ्यास होतो? ”

“नाही वेताळा. प्रशस्तपादांनी याच साठी बहुधा सांगितलं असावं की

द्रव्याश्रितत्वञ्चान्यत्र नित्यद्रव्येभ्य:  ||18||

The character of subsisting in substances (belongs to substances, qualities and actions) with the exception of eternal substances.

द्रव्य, गुण व कर्म या तिघांना फक्त अनित्य द्रव्यांमध्येच आश्रय मिळतो. म्हणजेच केवळ पृथ्वी, आप, तेज व वायू या द्रव्यांनाच ही तिन्ही अंगे लागू पडतात.”

“अच्छा, म्हणजे यात फक्त बाह्यांगेच कळतात तर. म्हणजे त्या पदार्थाचं खरं स्वरूप जाणून घ्यायला त्याच्या अंतरंगात शिरावं लागणार..वा विक्रमा वा..हे छान होतं..पण आता वेळ संपली..पदार्थाचे अंतर्भाव, अंतरंग जाणून घेण्याविषयी पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

पुन्हा निरव शांतता..पुन्हा चिडिचुप..पण वरवरचीच..पुढच्या भेटीसाठी प्रत्येकाचेच अंतरंग आसुसलेले होते..

(क्रमश:)

मूळ कथा: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

धक्का (संवेगातील बदल) आणि बळ (Impulse and Force )

विक्रमाच्या दिनक्रमात वा रात्रक्रमात काही बदल नव्हता. विशेषत: अमावस्येच्या रात्रींना. दर अमावस्येला वेताळाच्या प्रश्नांवरून चर्चा होई आणि दर वेळी नवे भूत समोर यावे तसे वेताळाच्या नवनव्या प्रश्नांना व सृष्टीतील न मोजता येणाऱ्या गोष्टींना मोजण्या विषयी बोलणे होई. बोलणे संपत येई तसे वेताळ नवा प्रश्न विचारे व फजिती केल्यासारखे हसून निघून जाई, पण आता खरच अशी वेळ आली होती की मोजमाप करणे तितकेसे सोपे नव्हते.

“हरलास राजा, मागील वेळी मी संवेगात होणाऱ्या बदलाविषयी विचारले होते..काय असतो हा संवेग बदल?” वेताळ नेहमीप्रमाणे योग्य वेळी विक्रमाच्या खांद्यावर आरूढ होत म्हणाला. 

“सदीश (vector) अदीश (scalar) राशींच्या संदर्भातबोलायचं झाल्यास संवेग बदल (change in momentum) हा एकाअर्थी वेगबदल (change in velocity) आहे कारण वस्तुमान (mass) अदीश आहे व दिशेने त्यात बदल होत नाही. पण वेग(velocity) आणि संवेग(momentum) यांच्यातला फरक, म्हणजे संवेगात जोर किंवा लावलेली ताकद या अर्थी त्या वस्तूच्या वस्तुमानाही अंतर्भाव असतो. वेगळ्या शब्दात संवेग म्हणजे पळणारे वस्तुमान (Mass in motion) होय. म्हणूनच वेग हा मी/सेकंद असा मोजतात आणि संवेग हा किलोग्राम मी/सेकंद असा मोजतात.”

“अरे राजा, तुझे पुन्हा शब्दाचे खेळ सुरू झाले. मला उदाहरण सांग. असं असंबद्ध बोलत राहिलास तर तुझी खैर नाही हे निश्चित समज.”

“हो हो. सांगतो सांगतो. एखाद्या गतिमान वस्तूचा विचार करता करता आपण विस्थापन(displacement), वेग(velocity), त्वरण(acceleration) आणि संवेग(momentum) इथपर्यंत मजल मारली. पण आता खरं भूत किंवा या वेगावर नियंत्रण करू पाहणारा वेताळ किंवा त्यांची टोळीच आपल्याला खुणावतेय. या वेताळाचं नाव म्हणजे बळ (force). विस्थापनाला, गतीला, गतीमधील बदलाला, संवेगाला, संवेगामधील बदलाला कारण म्हणजे हे बळच किंवा या बळांची टोळी. संवेगातील बदलाचे मोजमाप हे एका अर्थी बलाचे मोजमाप. बळामुळे संवेगात बदल होतो किंवा संवेगात बदल होतो याचाच अर्थ तेथे बळ काम करतंय. एक साधे उदाहरण घेऊ. मागच्याच आठवड्यात आमच्या राज्यात भालाफेकीच्या स्पर्धा झाल्या...”

“राजा. काय रे हे तुझं राज्य? सारख्या स्पर्धाच खेळता? युद्ध वगैरे नाही होत? का तू केवळ क्रीडांमध्येच रस घेतोस? पुढे बोल. थांबू नकोस.”

“ भालाफेकीचा खेळ काय असतो? भाला घेऊन एक शक्तिवान व वेगवान खेळाडू धावत येतो आणि एका ठिकाणापर्यंत येऊन तो भाला जोरात फेकतो. असे समजू की ६० किलो वस्तुमानाचा खेळाडू ११मी/सेकंद या वेगाने धावत आला. त्याने २ किलो वस्तुमानाचा भाला ३०मी/सेकंद या वेगाने टाकला. तर त्याने किती बळाने भाला फेकला?

असं पहा की धावपटू जेव्हा ११मी/सेकंद वेगाने पळत होता तेव्हा भालाही ११ मी/सेकंद वेगात होता. तो वेग एकदम ३०मी/सेकंद झाला. ही करामत अर्थातच त्या खेळाडूची. अनेक टप्पे घेत जसा तो शेवटच्या टप्प्यात येऊन जोराने एकदम भाला सोडतो तिथेच तो वेगबदल किंवा संवेग बदल घडवतो. याचाच अर्थ त्या काही क्षणांपुरताच तो बळ लावतो आणि भाल्याच्या वेगात बदल घडवतो. कारणाच्या बाजूने विचार केला तर संवेगातील बदल हा त्या खेळाडूचे बळ(Force) त्याने काही काळ(Time Interval) लावल्यामुळे झाला. पण याचा परिणाम म्हणून भाल्याचा संवेग वाढला. याचाच अर्थ भाल्याचे वस्तुमान (Mass) आणि भाल्याचा वाढीव वेग (Change in Velocity) यांचा गुणाकार वाढला. भाल्याचे वस्तुमान तर तेच असणार. म्हणजे परिणामी भाल्याचा वेग वाढला. 

गणिताच्या भाषेत बोलायचं झाल्यास, 

भाल्याचा नंतरचा वेग (V2) = ३० मी/सेकंद

भाल्याचा आधीचा वेग (V1) = ११ मी/सेकंद

भाल्याचे वस्तुमान (m) = २ किलो

संवेगात झालेला बदल = शेवटचा संवेग – आरंभीचा संवेग 

        = mxV2-mxV1=m(V2-V1)= 1x(30-11)=38 किलोग्राम. मी/सेकंद

हा संवेगातील बदल म्हणजेच त्या भालाफेकणाऱ्याने भाल्याला दिलेला धक्का (Impulse) होय, धक्का हा किलोग्राम मी/सेकंद असा मोजतात   

प्रत्यक्ष फेकीचा कालावधी (Δt) = १.५ सेकंद

संवेगात होणाऱ्या बदलाचा दर म्हणजेच त्या कालावधीत लावले गेलेले बळ. न्यूटनच्या गतिनियमानुसार संवेगातील बदल हा बळाच्या दिशेने होतो.

“राजा मागील काही वेळा तू वेगबदलाच्या दराला त्वरण(acceleration) किंवा मंदन (deceleration) ही म्हटला होतास..आता संवेग परिवर्तनाच्या दराला बळ म्हणतोस..मग बळ आणि त्वरण यांच्यात वस्तुमानाचाच काय तो फरक?”

“होय वेताळा. वस्तुमान व वजन यांच्यातील संबंध पाहताना आपण म्हटलं होतं की 

वजन (W) = वस्तुमान (m) x गुरुत्त्वीय त्वरण (g)

W = m x g

वजन हा याअर्थी बळाचाच प्रकार झाला. पण याठिकाणी वस्तू एका जागी स्थिर आहे. पण जेव्हा वस्तू गतिमान आहे तेव्हा त्याठिकाणी कार्यरत असणाऱ्या एकूण बाह्यबळाचा संबंध येतो. हेच समीकरण त्याठिकाणी पुढील स्वरूपात येते.

बळ (F) = वस्तुमान (m) x त्वरण किंवा मंदन (a) 

F = m x a

वेगपरिवर्तनाच्या बाबतीत बोलायचं झाल्यास, आपण वर पाहिलं तसं

F = m x (Δv/Δt)”

बळाच्या दृष्टिकोनातून याची मांडणी करायची झाल्यास,

लावलेले बळ(F)  x बल प्रयोगाचा काळ (Δt) = वस्तूचे वस्तुमान (m) x वेगात झालेला बदल(Δv)  ”

 F x 1.5 = 2 x (30-11)

F = 2x19/ 1.5 = 25.3 किलोग्राम मीटर/सेकंद२

म्हणजेच त्या खेळाडूने भाल्यावर २५.३ किलोग्राम मीटर/सेकंद एवढे बळ प्रयुक्त केले. (आकृती १)

 “अरे पण राजा, कोण स्पर्धक जिंकला हे तर सांगितलेच नाहीस. या बलाचा त्या फेकीवर काय परिणाम होतो हे तुला माहितच दिसत नाही. शिवाय त्या भाल्याला वाऱ्याचाही अडथळा झाला नाही? तुला यातलं काहीच माहित नाही दिसत. किती कीव करू रे तुझ्या अज्ञानाची. पण माझी तर वेळ झाली. हा मी चाललो वायुवेगाने..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ” 

सळसळणारी पाने जणू वाऱ्याला सांगत होती

• संवेगातील बदल म्हणजे धक्का (Impulse is the change in momentum)..सवेग परिवर्ताचा दर म्हणजे बळ (Force is the rate of change of momentum)
• वेगातील बदल म्हणजे त्वरण किंवा मंदन. 
• संवेगातील बदल हा बळाच्या दिशेतच होतो.

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

संवेग (जोर) आणि संवेग अक्षय्यता (Law of conservation of momentum)

विक्रम आज जरा खुशीतच होता. गोष्टच तशी झाली होती. त्याच्या सैन्यासाठी आज त्याने अतिशय उत्तम अशा तोफा निवडल्या होत्या. असाच तो भरभर चालत असता मध्येच कधीतरी त्याच्या पाठीवर वेताळाचं धूड धप्पकन येउन बसलं तेव्हा कुठे त्याला अमावस्येचं, वेताळाचं, रात्रीचं आणि प्रश्नोत्तरांचं भान आलं.

“ गप्प का झालास राजा? आणि तू तुझ्या सैन्यासाठी तोफा निवडल्यास हे ही मला समजलं. बर मला एक सांग राजा, या तोफांमधून तुम्ही वेगाने तोफगोळा डागता तेव्हा ती तोफही थोडी मागे येते, थोडी आगही दिसते, तर मग ती तोफ गोळ्यासारखी मागे का फरफटत येत नाही?”

“वेताळा, युद्धासाठी वापरल्या जाणाऱ्या तोफांमध्ये अजून एक अदृश्य पण अतिपरिचित भूत मदतीला धावून येतं. त्याचं नाव संवेग(momentum) किंवा एकरेषीय संवेग (linear momentum). संवेग म्हणजे कोणत्याही गतिमान वस्तूची गतीमध्ये राहण्याची प्रवृत्ती. न्यूटनच्या गतीनियमांनुसार संवेग परिवर्तन हे बलाच्या(force) दिशेतच होते म्हणूनच संवेग ही सदीशगोत्री (vector) राशी होय.”

“राजा, हा संवेग म्हणजे काहिसा जडत्वा सारखा प्रकार वाटतो. जडत्त्व(inertia) म्हणजे पण वस्तू स्वत:ची स्थिती वा गती सोडत नाही असेच आहे ना?”

“तू काहीसा बरोबर आहेस वेताळा. पण सं’वेग’ म्हणजे ‘वेग’वान वस्तूची वेगातच राहायची प्रवृत्ती होय. त्यामुळे स्थिर वस्तूला संवेग नसतो कारण वेग(velocity) नसतो. शिवाय जडत्त्वाला दिशा नसते, ती अदीश(scalar) राशी आहे. पण संवेग म्हणजे वेग आणि वस्तुमान यांचा गुणाकार असल्या कारणाने संवेग ही सदीश(vector) राशी आहे. दोन्हीमध्ये समान घटक म्हणजे दोन्हीला वस्तुमान(mass) हे कारक असते. जडत्वामध्ये केवळ वस्तुमान हे कारक असल्याने जडत्त्व अदीश होते पण संवेगात वस्तुमान आणि वेग असल्याने आणि वेग हा सदीशगोत्री असल्याने संवेगही सदीश होतो.”

“पण राजा हे संवेगाचं काही लक्षात येत नाही बघ. नक्की काय समजायचं? हे थोडं थोडं ज्याला आपण ‘जोर’ म्हणतो त्या सारखं आहे का?”

“होय वेताळा तू अचूक ताडलंस..संवेग म्हणजे लावलेला जोर. एखादा मत्त गजराज जेव्हा पूर्ण वेगाने दौडत येऊन झाडाला धडक देतो तेव्हा काय होतं? झाड लेचंपेचं असलं तर उन्मळून पडतं. जर विशाल वृक्ष असेल तर एखादी फांदी तुटते. हे कसं होतं.

संवेग(momentum) म्हणजे वेग गुणिले वस्तुमान(velocity x mass). 

गजराजाचं वस्तुमान असेल ५००० किलोग्राम. तो गजराज त्या झाडाच्या दिशेने १२ मी/सेकंद वेगाने धावत निघाला. तर त्याचा संवेग किंवा जोर झाला ५०००x१२=६०००० किग्रा.मी/सेकंद. आता त्या झाडाचं वस्तुमान आपण समजू १००० किलोग्राम. जर त्या जमिनीतून हा वृक्ष बाहेर पडायला काहीच अटकाव झाला नाही, हत्तीला पळताना जमिनीच्या तसेच हवेच्या घर्षणाचा सामना करावा लागला नाही तसेच जमीनही गुळगुळीत होती असे समजले तर ते झाड किती वेगाने जाईल? 

संवेग अक्षय्यतेचा नियम असे सांगतो की कोणतेही तिसरे बळ (हवेचे व जिमिनीचे घर्षण व अन्य) कार्यरत नसेल तर विशिष्ट दर्शकाच्या दृष्टिकोनातून(frame of reference) पाहिल्यास तेथील एकूण संवेग कायम राहतो. आपल्या बाबतीत त्या उन्मत्त गजराजाने स्थिर वृक्षाला धडक दिली व तो गजराज शांत झाला. पण स्थिर असलेले झाड मात्र गडगळत पुढे गेले.

संवेगाच्या भाषेत संवेग अक्षय्यतेचा नियम (law of conservation of momentum) आपणास सांगतो की एकूण संवेग हा कायम स्थिरच राहणार. पळत आलेला गजराज नंतर स्थिर झाला, म्हणजे गजराजाचा नंतरचा संवेग शून्य झाला. इथे हे सुद्धा लक्षात येते की जोर लावणे या शब्दात नेहमीच वेग(velocity) अभिप्रेत असतो. गजराज कितीही महाकाय असले तरीही जर ते जागचे हललेच नाहीत तर जोर शून्य. असो. तो वृक्ष आधी स्थिर होता म्हणजे संवेग शून्य होता. पण नंतर मात्र जेव्हा तो वृक्ष गडगळत गेला तेव्हा त्याला संवेग प्राप्त झाला.

थोडक्यात 

गजराजाचा आरंभीचा संवेग - वृक्षाचा नंतरचा संवेग = ०

किंवा गजराजाचा आरंभीचा संवेग = वृक्षाचा नंतरचा संवेग 

५०००(गजराजाचे वस्तुमान)x (१२)गजराजाचा वेग = (१०००)वृक्षाचे वस्तुमान x (क्ष)वृक्षाचा वेग

थोडक्यात वृक्ष हा (५०००x १२/१०००) = ६० मी प्रति सेकंद किंवा २१६ किमी प्रति तास इतक्या प्रचंड वेगाने गडगळत जाईल. वेताळा हे उदाहरण मी केवळ संवेग अक्षय्यता नियमाचे उदाहरण म्हणून सांगितले. असं प्रत्यक्षात होणं अशक्य आहे. आता तोफगोळ्यांचं सांगतो. (आकृती १)

तोफ आणि गोळा यांनाही हा संवेग अक्षय्यता नियम लागू पडतो. म्हणजेच

तोफेचा संवेग – गोळ्याचा संवेग = ०

तोफेचे वस्तुमान(mass) x तोफेचा वेग(velocity) = गोळ्याचे वस्तुमान x गोळ्याचा वेग

तोफगोळा किती लांब डागायचा हे तोफेच्या व गोळ्याच्या वस्तुमानाच्या पटीवर बरचसं अवलंबून असतं. समजा आपण एक १५०० किलोग्राम वजनाची तोफ घेतली आणि तिच्यामध्ये १० किलोचा तोफगोळा ठेवला. जेव्हा तोफेला बत्ती देण्यात आली तेव्हा तो गोळा १५०मी/सेकंद वेगाने गेला तर ती तोफ किती वेगाने मागे येईल?

१५०० (तोफेचे वस्तुमान)x- क्ष (तोफेचा मागे येण्याचा वेग) + १०(गोळ्याचे वस्तुमान)x १५०(गोळ्याचा वेग)=०

याठिकाणी तोफ ही गोळ्याच्या दिशेच्या विरुद्ध दिशेत मागे येत असल्याने ऋण चिन्ह दिले आहे.

तोफेचा मागे येण्याचा वेग (क्ष) = १०x १५०/१५०० = १मी/सेकंद  

म्हणजेच तोफेचा मागे येण्याचा वेग गोळ्याच्या वेगापेक्षा कैकपटींनी कमी असतो.”

“पण विक्रमा हा तोफगोळा जेव्हा पडतो तेव्हा काय परिणाम होतो? किती बळ(force) प्रयुक्त होतं याचा तुला काहीच पत्ता लागलेला दिसत नाही? तो परिणाम सुद्धा मोजता येतो का? शिवाय तू विशिष्ट दर्शकाचा दृष्टिकोन असंही काहिसं म्हटलास. तू खूपच शब्दांच्या फैरी उडवतोस. पण आता मला वेळ नाही. मी चाललो. पुन्हा भेटू. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

“वेताळाने उड्डाण केल्यावर विक्रम किती वेगाने मागे गेला?” तिथेच उलटे लटकलेल्या वाघुळाने दुसऱ्याला विचारले.

“संवेग अक्षय्यता नियम लाव. लगेच कळेल.” दुसऱ्याने हिंदोळे घेत शांतपणे उत्तर दिले. 

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.