धक्का (संवेगातील बदल) आणि बळ (Impulse and Force )

विक्रमाच्या दिनक्रमात वा रात्रक्रमात काही बदल नव्हता. विशेषत: अमावस्येच्या रात्रींना. दर अमावस्येला वेताळाच्या प्रश्नांवरून चर्चा होई आणि दर वेळी नवे भूत समोर यावे तसे वेताळाच्या नवनव्या प्रश्नांना व सृष्टीतील न मोजता येणाऱ्या गोष्टींना मोजण्या विषयी बोलणे होई. बोलणे संपत येई तसे वेताळ नवा प्रश्न विचारे व फजिती केल्यासारखे हसून निघून जाई, पण आता खरच अशी वेळ आली होती की मोजमाप करणे तितकेसे सोपे नव्हते.

“हरलास राजा, मागील वेळी मी संवेगात होणाऱ्या बदलाविषयी विचारले होते..काय असतो हा संवेग बदल?” वेताळ नेहमीप्रमाणे योग्य वेळी विक्रमाच्या खांद्यावर आरूढ होत म्हणाला. 

“सदीश (vector) अदीश (scalar) राशींच्या संदर्भातबोलायचं झाल्यास संवेग बदल (change in momentum) हा एकाअर्थी वेगबदल (change in velocity) आहे कारण वस्तुमान (mass) अदीश आहे व दिशेने त्यात बदल होत नाही. पण वेग(velocity) आणि संवेग(momentum) यांच्यातला फरक, म्हणजे संवेगात जोर किंवा लावलेली ताकद या अर्थी त्या वस्तूच्या वस्तुमानाही अंतर्भाव असतो. वेगळ्या शब्दात संवेग म्हणजे पळणारे वस्तुमान (Mass in motion) होय. म्हणूनच वेग हा मी/सेकंद असा मोजतात आणि संवेग हा किलोग्राम मी/सेकंद असा मोजतात.”

“अरे राजा, तुझे पुन्हा शब्दाचे खेळ सुरू झाले. मला उदाहरण सांग. असं असंबद्ध बोलत राहिलास तर तुझी खैर नाही हे निश्चित समज.”

“हो हो. सांगतो सांगतो. एखाद्या गतिमान वस्तूचा विचार करता करता आपण विस्थापन(displacement), वेग(velocity), त्वरण(acceleration) आणि संवेग(momentum) इथपर्यंत मजल मारली. पण आता खरं भूत किंवा या वेगावर नियंत्रण करू पाहणारा वेताळ किंवा त्यांची टोळीच आपल्याला खुणावतेय. या वेताळाचं नाव म्हणजे बळ (force). विस्थापनाला, गतीला, गतीमधील बदलाला, संवेगाला, संवेगामधील बदलाला कारण म्हणजे हे बळच किंवा या बळांची टोळी. संवेगातील बदलाचे मोजमाप हे एका अर्थी बलाचे मोजमाप. बळामुळे संवेगात बदल होतो किंवा संवेगात बदल होतो याचाच अर्थ तेथे बळ काम करतंय. एक साधे उदाहरण घेऊ. मागच्याच आठवड्यात आमच्या राज्यात भालाफेकीच्या स्पर्धा झाल्या...”

“राजा. काय रे हे तुझं राज्य? सारख्या स्पर्धाच खेळता? युद्ध वगैरे नाही होत? का तू केवळ क्रीडांमध्येच रस घेतोस? पुढे बोल. थांबू नकोस.”

“ भालाफेकीचा खेळ काय असतो? भाला घेऊन एक शक्तिवान व वेगवान खेळाडू धावत येतो आणि एका ठिकाणापर्यंत येऊन तो भाला जोरात फेकतो. असे समजू की ६० किलो वस्तुमानाचा खेळाडू ११मी/सेकंद या वेगाने धावत आला. त्याने २ किलो वस्तुमानाचा भाला ३०मी/सेकंद या वेगाने टाकला. तर त्याने किती बळाने भाला फेकला?

असं पहा की धावपटू जेव्हा ११मी/सेकंद वेगाने पळत होता तेव्हा भालाही ११ मी/सेकंद वेगात होता. तो वेग एकदम ३०मी/सेकंद झाला. ही करामत अर्थातच त्या खेळाडूची. अनेक टप्पे घेत जसा तो शेवटच्या टप्प्यात येऊन जोराने एकदम भाला सोडतो तिथेच तो वेगबदल किंवा संवेग बदल घडवतो. याचाच अर्थ त्या काही क्षणांपुरताच तो बळ लावतो आणि भाल्याच्या वेगात बदल घडवतो. कारणाच्या बाजूने विचार केला तर संवेगातील बदल हा त्या खेळाडूचे बळ(Force) त्याने काही काळ(Time Interval) लावल्यामुळे झाला. पण याचा परिणाम म्हणून भाल्याचा संवेग वाढला. याचाच अर्थ भाल्याचे वस्तुमान (Mass) आणि भाल्याचा वाढीव वेग (Change in Velocity) यांचा गुणाकार वाढला. भाल्याचे वस्तुमान तर तेच असणार. म्हणजे परिणामी भाल्याचा वेग वाढला. 

गणिताच्या भाषेत बोलायचं झाल्यास, 

भाल्याचा नंतरचा वेग (V2) = ३० मी/सेकंद

भाल्याचा आधीचा वेग (V1) = ११ मी/सेकंद

भाल्याचे वस्तुमान (m) = २ किलो

संवेगात झालेला बदल = शेवटचा संवेग – आरंभीचा संवेग 

        = mxV2-mxV1=m(V2-V1)= 1x(30-11)=38 किलोग्राम. मी/सेकंद

हा संवेगातील बदल म्हणजेच त्या भालाफेकणाऱ्याने भाल्याला दिलेला धक्का (Impulse) होय, धक्का हा किलोग्राम मी/सेकंद असा मोजतात   

प्रत्यक्ष फेकीचा कालावधी (Δt) = १.५ सेकंद

संवेगात होणाऱ्या बदलाचा दर म्हणजेच त्या कालावधीत लावले गेलेले बळ. न्यूटनच्या गतिनियमानुसार संवेगातील बदल हा बळाच्या दिशेने होतो.

“राजा मागील काही वेळा तू वेगबदलाच्या दराला त्वरण(acceleration) किंवा मंदन (deceleration) ही म्हटला होतास..आता संवेग परिवर्तनाच्या दराला बळ म्हणतोस..मग बळ आणि त्वरण यांच्यात वस्तुमानाचाच काय तो फरक?”

“होय वेताळा. वस्तुमान व वजन यांच्यातील संबंध पाहताना आपण म्हटलं होतं की 

वजन (W) = वस्तुमान (m) x गुरुत्त्वीय त्वरण (g)

W = m x g

वजन हा याअर्थी बळाचाच प्रकार झाला. पण याठिकाणी वस्तू एका जागी स्थिर आहे. पण जेव्हा वस्तू गतिमान आहे तेव्हा त्याठिकाणी कार्यरत असणाऱ्या एकूण बाह्यबळाचा संबंध येतो. हेच समीकरण त्याठिकाणी पुढील स्वरूपात येते.

बळ (F) = वस्तुमान (m) x त्वरण किंवा मंदन (a) 

F = m x a

वेगपरिवर्तनाच्या बाबतीत बोलायचं झाल्यास, आपण वर पाहिलं तसं

F = m x (Δv/Δt)”

बळाच्या दृष्टिकोनातून याची मांडणी करायची झाल्यास,

लावलेले बळ(F)  x बल प्रयोगाचा काळ (Δt) = वस्तूचे वस्तुमान (m) x वेगात झालेला बदल(Δv)  ”

 F x 1.5 = 2 x (30-11)

F = 2x19/ 1.5 = 25.3 किलोग्राम मीटर/सेकंद२

म्हणजेच त्या खेळाडूने भाल्यावर २५.३ किलोग्राम मीटर/सेकंद एवढे बळ प्रयुक्त केले. (आकृती १)

 “अरे पण राजा, कोण स्पर्धक जिंकला हे तर सांगितलेच नाहीस. या बलाचा त्या फेकीवर काय परिणाम होतो हे तुला माहितच दिसत नाही. शिवाय त्या भाल्याला वाऱ्याचाही अडथळा झाला नाही? तुला यातलं काहीच माहित नाही दिसत. किती कीव करू रे तुझ्या अज्ञानाची. पण माझी तर वेळ झाली. हा मी चाललो वायुवेगाने..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ” 

सळसळणारी पाने जणू वाऱ्याला सांगत होती

• संवेगातील बदल म्हणजे धक्का (Impulse is the change in momentum)..सवेग परिवर्ताचा दर म्हणजे बळ (Force is the rate of change of momentum)
• वेगातील बदल म्हणजे त्वरण किंवा मंदन. 
• संवेगातील बदल हा बळाच्या दिशेतच होतो.

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

संवेग (जोर) आणि संवेग अक्षय्यता (Law of conservation of momentum)

विक्रम आज जरा खुशीतच होता. गोष्टच तशी झाली होती. त्याच्या सैन्यासाठी आज त्याने अतिशय उत्तम अशा तोफा निवडल्या होत्या. असाच तो भरभर चालत असता मध्येच कधीतरी त्याच्या पाठीवर वेताळाचं धूड धप्पकन येउन बसलं तेव्हा कुठे त्याला अमावस्येचं, वेताळाचं, रात्रीचं आणि प्रश्नोत्तरांचं भान आलं.

“ गप्प का झालास राजा? आणि तू तुझ्या सैन्यासाठी तोफा निवडल्यास हे ही मला समजलं. बर मला एक सांग राजा, या तोफांमधून तुम्ही वेगाने तोफगोळा डागता तेव्हा ती तोफही थोडी मागे येते, थोडी आगही दिसते, तर मग ती तोफ गोळ्यासारखी मागे का फरफटत येत नाही?”

“वेताळा, युद्धासाठी वापरल्या जाणाऱ्या तोफांमध्ये अजून एक अदृश्य पण अतिपरिचित भूत मदतीला धावून येतं. त्याचं नाव संवेग(momentum) किंवा एकरेषीय संवेग (linear momentum). संवेग म्हणजे कोणत्याही गतिमान वस्तूची गतीमध्ये राहण्याची प्रवृत्ती. न्यूटनच्या गतीनियमांनुसार संवेग परिवर्तन हे बलाच्या(force) दिशेतच होते म्हणूनच संवेग ही सदीशगोत्री (vector) राशी होय.”

“राजा, हा संवेग म्हणजे काहिसा जडत्वा सारखा प्रकार वाटतो. जडत्त्व(inertia) म्हणजे पण वस्तू स्वत:ची स्थिती वा गती सोडत नाही असेच आहे ना?”

“तू काहीसा बरोबर आहेस वेताळा. पण सं’वेग’ म्हणजे ‘वेग’वान वस्तूची वेगातच राहायची प्रवृत्ती होय. त्यामुळे स्थिर वस्तूला संवेग नसतो कारण वेग(velocity) नसतो. शिवाय जडत्त्वाला दिशा नसते, ती अदीश(scalar) राशी आहे. पण संवेग म्हणजे वेग आणि वस्तुमान यांचा गुणाकार असल्या कारणाने संवेग ही सदीश(vector) राशी आहे. दोन्हीमध्ये समान घटक म्हणजे दोन्हीला वस्तुमान(mass) हे कारक असते. जडत्वामध्ये केवळ वस्तुमान हे कारक असल्याने जडत्त्व अदीश होते पण संवेगात वस्तुमान आणि वेग असल्याने आणि वेग हा सदीशगोत्री असल्याने संवेगही सदीश होतो.”

“पण राजा हे संवेगाचं काही लक्षात येत नाही बघ. नक्की काय समजायचं? हे थोडं थोडं ज्याला आपण ‘जोर’ म्हणतो त्या सारखं आहे का?”

“होय वेताळा तू अचूक ताडलंस..संवेग म्हणजे लावलेला जोर. एखादा मत्त गजराज जेव्हा पूर्ण वेगाने दौडत येऊन झाडाला धडक देतो तेव्हा काय होतं? झाड लेचंपेचं असलं तर उन्मळून पडतं. जर विशाल वृक्ष असेल तर एखादी फांदी तुटते. हे कसं होतं.

संवेग(momentum) म्हणजे वेग गुणिले वस्तुमान(velocity x mass). 

गजराजाचं वस्तुमान असेल ५००० किलोग्राम. तो गजराज त्या झाडाच्या दिशेने १२ मी/सेकंद वेगाने धावत निघाला. तर त्याचा संवेग किंवा जोर झाला ५०००x१२=६०००० किग्रा.मी/सेकंद. आता त्या झाडाचं वस्तुमान आपण समजू १००० किलोग्राम. जर त्या जमिनीतून हा वृक्ष बाहेर पडायला काहीच अटकाव झाला नाही, हत्तीला पळताना जमिनीच्या तसेच हवेच्या घर्षणाचा सामना करावा लागला नाही तसेच जमीनही गुळगुळीत होती असे समजले तर ते झाड किती वेगाने जाईल? 

संवेग अक्षय्यतेचा नियम असे सांगतो की कोणतेही तिसरे बळ (हवेचे व जिमिनीचे घर्षण व अन्य) कार्यरत नसेल तर विशिष्ट दर्शकाच्या दृष्टिकोनातून(frame of reference) पाहिल्यास तेथील एकूण संवेग कायम राहतो. आपल्या बाबतीत त्या उन्मत्त गजराजाने स्थिर वृक्षाला धडक दिली व तो गजराज शांत झाला. पण स्थिर असलेले झाड मात्र गडगळत पुढे गेले.

संवेगाच्या भाषेत संवेग अक्षय्यतेचा नियम (law of conservation of momentum) आपणास सांगतो की एकूण संवेग हा कायम स्थिरच राहणार. पळत आलेला गजराज नंतर स्थिर झाला, म्हणजे गजराजाचा नंतरचा संवेग शून्य झाला. इथे हे सुद्धा लक्षात येते की जोर लावणे या शब्दात नेहमीच वेग(velocity) अभिप्रेत असतो. गजराज कितीही महाकाय असले तरीही जर ते जागचे हललेच नाहीत तर जोर शून्य. असो. तो वृक्ष आधी स्थिर होता म्हणजे संवेग शून्य होता. पण नंतर मात्र जेव्हा तो वृक्ष गडगळत गेला तेव्हा त्याला संवेग प्राप्त झाला.

थोडक्यात 

गजराजाचा आरंभीचा संवेग - वृक्षाचा नंतरचा संवेग = ०

किंवा गजराजाचा आरंभीचा संवेग = वृक्षाचा नंतरचा संवेग 

५०००(गजराजाचे वस्तुमान)x (१२)गजराजाचा वेग = (१०००)वृक्षाचे वस्तुमान x (क्ष)वृक्षाचा वेग

थोडक्यात वृक्ष हा (५०००x १२/१०००) = ६० मी प्रति सेकंद किंवा २१६ किमी प्रति तास इतक्या प्रचंड वेगाने गडगळत जाईल. वेताळा हे उदाहरण मी केवळ संवेग अक्षय्यता नियमाचे उदाहरण म्हणून सांगितले. असं प्रत्यक्षात होणं अशक्य आहे. आता तोफगोळ्यांचं सांगतो. (आकृती १)

तोफ आणि गोळा यांनाही हा संवेग अक्षय्यता नियम लागू पडतो. म्हणजेच

तोफेचा संवेग – गोळ्याचा संवेग = ०

तोफेचे वस्तुमान(mass) x तोफेचा वेग(velocity) = गोळ्याचे वस्तुमान x गोळ्याचा वेग

तोफगोळा किती लांब डागायचा हे तोफेच्या व गोळ्याच्या वस्तुमानाच्या पटीवर बरचसं अवलंबून असतं. समजा आपण एक १५०० किलोग्राम वजनाची तोफ घेतली आणि तिच्यामध्ये १० किलोचा तोफगोळा ठेवला. जेव्हा तोफेला बत्ती देण्यात आली तेव्हा तो गोळा १५०मी/सेकंद वेगाने गेला तर ती तोफ किती वेगाने मागे येईल?

१५०० (तोफेचे वस्तुमान)x- क्ष (तोफेचा मागे येण्याचा वेग) + १०(गोळ्याचे वस्तुमान)x १५०(गोळ्याचा वेग)=०

याठिकाणी तोफ ही गोळ्याच्या दिशेच्या विरुद्ध दिशेत मागे येत असल्याने ऋण चिन्ह दिले आहे.

तोफेचा मागे येण्याचा वेग (क्ष) = १०x १५०/१५०० = १मी/सेकंद  

म्हणजेच तोफेचा मागे येण्याचा वेग गोळ्याच्या वेगापेक्षा कैकपटींनी कमी असतो.”

“पण विक्रमा हा तोफगोळा जेव्हा पडतो तेव्हा काय परिणाम होतो? किती बळ(force) प्रयुक्त होतं याचा तुला काहीच पत्ता लागलेला दिसत नाही? तो परिणाम सुद्धा मोजता येतो का? शिवाय तू विशिष्ट दर्शकाचा दृष्टिकोन असंही काहिसं म्हटलास. तू खूपच शब्दांच्या फैरी उडवतोस. पण आता मला वेळ नाही. मी चाललो. पुन्हा भेटू. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

“वेताळाने उड्डाण केल्यावर विक्रम किती वेगाने मागे गेला?” तिथेच उलटे लटकलेल्या वाघुळाने दुसऱ्याला विचारले.

“संवेग अक्षय्यता नियम लाव. लगेच कळेल.” दुसऱ्याने हिंदोळे घेत शांतपणे उत्तर दिले. 

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

वेगबदल आणि 'वेग – काळ आलेखा'तील चढ-उतार (Measurement of Acceleration)

वेताळाच्या मागच्या भेटीपासून विक्रम जरा अस्वस्थच होता, विचारात होता. वेताळाने विचारलेल्या प्रश्नाप्रमाणे धातुगोळ्याच्या वेगातील बदल (change in velocity) मोजण्याच्या पद्धतीविषयी तो स्वत:शीच खल करण्यात मग्न होता इतका की त्या काळ्याकभिन्न अमावस्येच्या रात्री एका चिखलाच्या खड्ड्यात त्याचा पाय अडकता अडकता राहिला. पाठीवर वेताळही येऊन गनिमाप्रमाणे बसलाच होता. विक्रमाच्या अडखळण्यामुळे त्याचाही तोल जाता जाता राहिला.

“अरे विक्रमा, लक्ष कुठंय तुझं? बहुतेक मागच्याच कोड्याविषयी विचार करत असावास. सांगच आता उत्तर. या वेगबदलाचं माप तुम्ही कसं काढणार?”

“वेताळा मागील एका वेळी आपण वेग आणि काळ यांचा आलेख (velocity-time graph) काढला होता. त्यात आपण वस्तूचा एकसमान वेग गृहित धरला होता. पण व्यवहारात पहायचं झालं तर वेगबदल हा असतोच असतो. म्हणून धातुगोळ्याची वाटचाल टिपण्यासाठी मागील प्रमाणे आपण वेग व काळ यांचा आलेख काढूया. (आकृती १)

१. या आकृती प्रमाणे अ ते ब मधील त्वरण (acceleration) मोजू.

वस्तूने कापलेले उभं अंतर (Vertical Distance) = 3 - 2 = 1

वस्तूने कापलेले आडवं अंतर (Horizontal Distance) = 1 - 0 = 1

चढ = उभं अंतर / आडवं अंतर = १/१ = (+) १

त्वरण १ इतकं आहे. +(धन) म्हणजे वेगात वाढ होते आहे.

२. या आकृती प्रमाणे क ते ड मधील त्वरण मोजू.

वस्तूने कापलेले उभं अंतर (Vertical Distance) = 2 - 3 = -1

वस्तूने कापलेले आडवं अंतर (Horizontal Distance) = 7 - 6= 1

चढ = उभं अंतर / आडवं अंतर = -१/१ = - १

त्वरण -१ इतकं आहे. –(ऋण) म्हणजेच वेगात घट होत आहे. हे मंदन (deceleration) आहे.

या आलेखातला भरीव निळा भाग काय माहिती आहे? 

अरे त्या भागाचे क्षेत्रफळ म्हणजे वस्तूने केलेले विस्थापन(Displacement).

आता दुसऱ्या एका गोळ्याची वाटचाल आणि प्रत्येक टप्प्यावरील त्याच्या त्वरणाची मोजमापे पहा.(आकृती २)

“म्हणजे विक्रमा, तुझं असं म्हणणं आहे का की धन त्वरण (acceleration) ते चांगलं आणि ऋण त्वरण (deceleration) ते वाईट?”

“नाही नाही, वेताळा, या धन आणि ऋण यांचा चांगल्या-वाईटाशी काही संबंध लावू शकत नाही. एखादा रथ सपाटी वरून वेगवान दौड करत निघाला, सतत वाढता वेग ठेवत पुढे जात राहिला, वेगावर कोणतेच नियंत्रण ठेवले नाही आणि अचानक तीव्र उताराचा रस्ता, मोठा खड्डा किंवा वळण आले तर? त्याला मंदन करूनच वेग नियंत्रित करावा लागेल. खूप जास्त वेग असेल आणि वेळेत मंदन करता आले नाही तर त्याचा संवेग (momentum) त्या रथाला आणि घोड्याला अपघाताकडे  घेऊन जाईल. क्वचित जीवही जाईल.

याउलट खूपच कमी वेगात जाणारा रथ एखाद्या तीव्र चढावर गेला तर वेग कमी पडल्यामुळे घोड्याला कदाचित तो ओढवणार नाही. रथ पुढे जाऊ शकला नाही तर गुरुत्वाकर्षण(gravitational force) त्याला मागे खेचेल व पुन्हा अपघाताची शक्यता निर्माण होईल. त्वरण आणि मंदनाच्या सुयोग्य संतुलनातूनच रथ सुरक्षितपणे मार्गक्रमण करू शकतो.

थोडक्यात त्वरण वा मंदनाचा संबंध त्याठिकाणी काम करणाऱ्या बलाशी(force) व गुरुत्वाकर्षणाशी आहे. बलाच्या सहाय्याने आपण वेगबदल साधतो व अपेक्षित वेग गाठतो.”

“विक्रमा हे संतुलन वगैरे ठिक आहे. पण घोडा किती वेगाने पळाला म्हणजे व त्याचे किती वस्तुमान (mass) असले तर तो रथ सुरक्षितपणे नेऊ शकतो? तुम्हाला याचा अंदाज आहे का? शिवाय वळणावर रथ वाचविण्यासाठी काय  करशील हेही सांगितलं नाहीस. तुला माहीत नसावं. पण माझी वेळ मात्र झाली. हा मी चाललो..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

• चढावरचे वेग कमी करणारे ते मंदन, उतारावर घोड्यांना सुसाट वेग देऊन सारथ्याच्या नाकी नऊ आणणारे ते त्वरण
• त्वरण वाईट वा चांगले नाही, त्वरण-मंदनाच्या सहाय्याने इच्छित स्थळी योग्य वेळात सुरक्षित पोहोचवतो तो खरा सारथी

असे काहीसं एक घुबड दुसऱ्याला सांगत होतं!

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

वेगातला बदल – वाढता (त्वरण) वा घटता (मंदन) (Acceleration and Deceleration)

घनदाट जंगल, कीर्र अंधार, श्वापदांच्या हृदयाचा थरकाप उडवणाऱ्या आरोळ्या, शिकार होणाऱ्यांच्या आर्त किंकाळ्या, जंगली पाणवठ्यावर पाणी पिण्याचे आवाज सारं मागं जात होतं पण विक्रमाचे मन मात्र वारा पिलेल्या घोड्याप्रमाणे विचारांच्या मागे धावत सुटले होते. हे वेताळाचे प्रश्न एकातून दुसऱ्या, दुसऱ्यातून तिसऱ्याच ठिकाणी घेऊन जात होते.

“काय राजा आज पुन्हा आलास सज्ज होउन आपल्या कोड्यासाठी? तर मग ऐक. मागील एका प्रश्नात मी तुला सर्वाधिक वजनाचा गोळा ठरविण्यास सांगितले होते. आता हाच गोळा घेऊन तू एका जादुई प्रदेशात गेलास. तिथे जमीन सर्वत्र गुळगुळीत (friction-less) आहे. हवा एका दिशेनेच वाहते. बाकी कोणतीही बले कार्यरत नाहीत. तिथे एका सरळ रेषतून हा गोळा सोडलास तर या गोळ्याचा वेग (velocity) बदलेल का समान राहील? बदलला तर तो कशामुळे? पटकन सांग नाहीतर मी तुझ्या डोक्याचेच सूक्ष्म भाग करीन.”  

“वेताळा सांगतो. जगात एकसमान कोणतीही वस्तू एकसमान वेगाने (constant velocity) जाणे, तिच्या वेगात किंचितही बदल न होणे हे केवळ अशक्य. वस्तूच्या मार्गक्रमणाला बाधक आणि पोषक अशा अनेक गोष्टी असू शकतात. सुरुवात वस्तूच्या वस्तुमान (mass) आणि जडत्वापासून(inertia) होते. कोणत्याही वस्तूला जागचे हलायचे नसते किंवा जर गतिमान असेल तर गतीमध्ये बदल करायचा नसतो. न्यूटनचा पहिला गतिनियम (Newton’s First Law of Motion) आपल्याला हेच तर सांगतो. 

जर ही वस्तू हालत असेल तर तिच्या वेगात बदल करणं म्हणजे तिचा संवेग (Momentum) बदलणं. ज्या वस्तूला वेग आहे त्या वस्तूलाच संवेग किंवा जोर (momentum) असतो. वस्तूचा संवेग म्हणजे त्या वस्तूच्या वस्तुमानाचा (Mass) आणि वेगाचा (Velocity) गुणाकार. म्हणूनच या वस्तूच्या संवेगात बदल करायचा असेल तर काहीतरी कुठूनतरी जोर लावावा लागेल. आता हा जोर किती आणि का लावायचा, त्याने त्या गतीमध्ये वाढ करायची का घट करायची हे बळ (Force) लावणाऱ्याच्या हेतूवर अवलंबून असलं तरीही न्यूटनचा दुसरा गतिनियम (Newton’s Second Law of Motion) असं सांगतो की एका विशिष्ट वस्तूच्या संदर्भात विचार करताना (Frame of Reference) संवेगात (पर्यायाने वेगात) बदल होण्याचा दर लावलेल्या बळाच्या प्रमाणावर अवलंबून असतो आणि संवेगातला (म्हणजेच वेगातला) हा बदल लावलेल्या बळाच्या दिशेतच होतो. (आकृती १)

उदाहरणार्थ दोन रेड्यांची झुंज लावली तर दोघेही एकमेकांना ढकलू पाहतात. जो रेडा अधिक वस्तुमानाचा व वेगाचा तो दुसऱ्याला ढकलू पाहणार. समजा रेडा अ आणि रेडा ब. रेडा अ हा पळत येणाऱ्या ब ला समोरून भिडला तर? यात तीन शक्यता आहेत – 

१. रेडा अ हा ब च्या पेक्षा कमी संवेगाचा/जोराचा असेल तरी तो ब ला विरोध करून त्याची गती कमी करणार

२. रेडा अ हा इतकाच संवेगाचा असेल तर अ हा बला पुढे जाऊ देणार नाही व ब हा अ ला पुढे जाऊ देणार नाही. म्हणजे पुन्हा रेडा अ च्या बाजुने विचार केला (Frame of Reference) तर त्याने ब ची गती कमी केली व ब च्या संवेगात बदल केला.

३. रेडा अ हा ब पेक्षा अधिक संवेगाचा/जोराचा असेल तर तो ब ची गती तर कमी करेलच पण ब ला त्याच्या गतीच्या दिशेन पुढे घेऊन जाईल.

वेताळा रेड्यांचे उदाहरण मी फक्त संवेग डोळ्यासमोर यावा म्हणून दिले. निर्जीव वस्तूंनाही संवेग असतोच असतो. पदार्थविज्ञान हे वस्तूची सजीवता (Life) लक्षात घेत नाही. ते एक जडवादी शास्त्र (Material Science) आहे. असो.     

पण मग स्वत:वर बळाचा वापर होत असताना ती वस्तू थोडीच गप्प राहणार? ज्या वस्तूवर बळ लावले जाते ती वस्तू ह्या बळजबरीचा तितक्याच ताकदीने आणि विरुद्ध दिशेनं प्रतिकार करते हा झाला न्युटनचा तिसरा गतीनियम (Newton’s Third Law of Motion). म्हणजे काय तर जसा रेडा अ चा विचार केलास तसा रेडा ब चा विचार करायचा.”  

“अरे नियमावर नियम सांगतोयस, रेड्यांच्या गोष्टी सांगतोस पण यात गतीमधला बदल कुठे आला ते सांग.”

“अरे वेताळा, दोन बळे जेव्हा एकमेकांना भिडतात, तेव्हा ती त्यांच्या पूर्ण संवेगानिशी/ताकदीनिशी (वस्तुमान X वेग) भिडतात व आपल्या दिशेने गतीबदल घडवतात. तू म्हणतोस त्या गोळ्याकडे जाण्याआधी मी अजून एक उदाहरण देतो ते म्हणजे रथाच्या सारथ्याचं. (आकृती २)

१. जेव्हा तो रथ थांबलेला असतो तेव्हा गती शून्य, म्हणजे संवेग शून्य. 

२. जेव्हा तो घोड्याला आज्ञा देतो तेव्हा घोडा जोरात पुढे ओढतो रथाला. शून्य गतीमधून रथ वेगवान होतो, तेव्हा त्याला संवेगही प्राप्त होतो. इथे आला तो वेगबदल किंवा वाढणारे त्वरण (Acceleration) जे रथालाही प्राप्त होते. घोड्याच्या पळण्याच्या दिशेने ते कार्य करू लागते. रथाचा संवेग आणि घोड्याचे बळ(force) एकाच दिशेने जाऊ लागतात. घोड्यामुळे रथाचा वेग वाढतो. घोड्याचा व रथाचा वेग एक होईपर्यंत हे होत राहतो. सारथ्याला मात्र त्याच्या जडत्वामुळे मागे खेचल्यासारखे होते. 

३. पण आता असे समजूया की त्या सारथ्याने घोड्याला थांबायची आज्ञा दिली. घोड्याला हे कळल्याने तो काही अंतर जाऊन थांबला. पण रथ हा निर्जीव असल्याने त्याचे जडत्व(inertia) त्याला पुढे ढकलत होते पण घोड्याचे बळ मात्र आता तितक्या वेगाने पुढे ओढत नव्हते. म्हणजे मंदन (Deceleration) किंवा गती कमी कमी होत गेली. यात असे लक्षात येते की लगाम खेचल्याने घोड्याचा वेग कमी झाला, परिणामी रथाला ओढणारे बळ कमी झाले, त्यामुळे रथाचा वेग कमी होत गेला, सारथ्याला जडत्वामुळे पुढे ढकलले गेल्यासारखे होते. पण हळुहळु घोडा आणि रथ एकाच वेगात पुन्हा येतात. रथ मात्र आहे त्याच दिशेत चालत राहतो.

याठिकाणी हे लक्षात घ्यायला पाहिजे की वेगात वाढ होताना वेग आणि त्वरण एकाच दिशेत असतात. पण वेग कमी होत असतो, तेव्हा वेग आणि मंदन विरुद्ध दिशेत असतात.”

“राजा काय रे हे? इतके रेडे, घोडे, रथ, नियम सांगितलेस पण या वेगबदलांच्या घटत्या –वाढत्या भुतांना मोजणं मात्र तुमच्याच्यानं शक्य झालेलं दिसत नाहीये. आणि हो माझा अजून एक प्रश्न आहेच की हा रथ वळणे घेत गेला की तुझी वेग व त्वरण भुते कुठे जातात? कुठल्या दिशांना तोंडे फिरवतात? मी मात्र आता माझी दिशा फिरवतो आणि पुन्हा माझ्या झाडाकडे जातो..पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

वाऱ्याच्या झुळुकेबरोबरच हा आवाज फिरत गेला

• वेगात वाढ होताना वेग आणि त्वरण एकाच दिशेत असतात. 
• पण वेग कमी होत असतो, तेव्हा वेग आणि मंदन विरुद्ध दिशेत असतात.

  (क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.